几何复习专题卷
题号 |
一 |
二 |
三 |
总分 |
得分 |
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一、选择题(每题3分，共30分)
1．[母题·教材P41目标与评定T1 2024·温州期末]用三根木棒首尾相接围成△ABC，其中AC＝6cm，BC＝9cm，则AB的长可能是( )
A．2cm B．3cm C．14cm D．15cm
2．[新考向知识情境化]如图，在平分角的仪器中，AB＝AD，BC＝DC，将点A放在一个角的顶点，AB和AD分别与这个角的两边重合，能说明AC就是这个角的平分线的数学依据是( )
(第2题)
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
3．如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．若BC＝10cm，则△ODE的周长为( )
(第3题)
A．10cm B．8cm
C．12cm D．20cm
4．[2024·宁波奉化区期末]下列命题的逆命题是假命题的是( )
A．直角三角形的两个锐角互余
B．两直线平行，内错角相等
C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形
D．同角的余角相等
5．过直线l外一点P作直线l的垂线PQ，下列尺规作图错误的是( )
A B C D
6．[2024·杭州西湖区期末]如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1＋S2＝9，且AC＋BC＝10，则AB的长为( )
(第6题)
A．6 B．7 C．8 D．
7．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④CD平分∠ACB．其中正确的有( )
(第7题)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，AD＝AB，则有( )
(第8题)
A．若AC＝2AB，则∠C＝30°
B．若3AC＝4AB，则7BD＝18CD
C．若∠B＝2∠C，则AC＝2AB
D．若∠B＝2∠C，则S△ABD＝2S△ACD
9．[2024·宁波奉化区期末]如图，在△ABC中，AB＝2
，∠B＝60°，∠A＝45°，D为BC上一点，点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，则PQ的最小值是( )
(第9题)
A．
B．
C．3
D．3
10．[2023·金华]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q．若HF＝FG，则
的值是( )
(第10题)
A．
B．
C．
D．
二、填空题(每题4分，共24分)
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝6，BC＝8，则CD＝ ．
(第11题)
12．如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，DA长为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，ED长为半径画圆弧，交AB于点F．若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝ °．
(第12题)
13．[2024·温州期末]如图，在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，CE⊥AB于点E，交AD于点F．若∠BAC＝45°，AF＝6，则BD的长为 ．
(第13题)
14．如图，D为等边三角形ABC的AB边的中点，P是BC上的一个动点，连结DP，将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，连结AE，若∠BAE＝40°，则∠BDP的度数为 ．
(第14题)
15．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，长方形内有一个点P，连结AP，BP，CP，已知∠APB＝90°，CP＝CB，延长CP交AD于点E，则AE等于 ．
(第15题)
16．[新考法分类讨论法]如图①是一副直角三角板，已知在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠F＝30°，点B，D，C，F在同一直线上，点A在DE上．如图②，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°＜α＜135°)，得到△E'DF'，当直线E'F'与直线AC，BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为 ．
(第16题)
三、解答题(共66分)
17．(6分) [新视角·动手操作题2024·金华月考]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列问题(仅用无刻度的直尺作图，且保留必要的作图痕迹)：
(1)在AB上找一点D，使CD⊥AB；
(2)在AC上找一点E，使BE平分∠ABC．
18．(6分)如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
19．(6分)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图 |
|
测量数据 |
①测得水平距离BC的长为15m |
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17m |
|
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1．7m |
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．
请完成以下任务．
(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15m，AB＝17m，求线段AD的长．
(2)如果小明想要风筝沿DA方向再上升12m，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
20．(8分) [新考法构造全等三角形法]如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，CE＝CF．
(1)求证：CB＝CD；
(2)若AE＝CE＝5，AB＝AD＝8，求线段EF的长．
21．(8分)[2024·杭州西湖区期中]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
(1)若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
(2)设∠ACD＝α，∠ABE＝β，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
22．(10分)[2023·宁波七中期中]如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°．D为BC边的中点，E，F分别在边AB，AC上，DE⊥DF．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)求EF的最小值．
23．(10分)[2024·衢州月考]如图①，在等腰三角形ABC中，AD是BC边上的中线，延长BC至点E，使AD＝DE，连结AE．
(1)求证：△ADE是等腰直角三角形；
(2)如图②，过点B作AC的垂线交AE于点P，试判断△ABP的形状，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，AD＝4，连结CP，若△CPE是直角三角形，求CE的长．
24．(12分)如果两个顶角相等的等腰三角形具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连结起来得到两个全等三角形，那么我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图①，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图①的结论成立；
(2)如图②，△ABC和△ADE是等边三角形，连结BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图③，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠BCD的数量关系．
答案
一、1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．C
7．C 【点拨】∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC．∴∠DAC＝∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
∴△ADC≌△ABE(SAS)．
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE．
又∵∠AFD＝∠BFO，∴∠DOB＝∠DAB＝50°，故①②③正确．现有条件无法得到CD平分∠ACB．
8．B 【点拨】A．若AC＝2AB，则BC＝
＝
AB，若∠C＝30°，则易得BC＝2AB，故A选项错误．
B．若3AC＝4AB，则AC＝
AB，
∴BC＝
＝
AB．
作AE⊥BC，则S△ABC＝
AB·AC＝
BC·AE，可得AE＝
＝
AB．
∵AD＝AB，∴BE＝DE＝
＝
AB．
∴BD＝
AB．∴DC＝BC－BD＝
AB．
∴7BD＝18CD，故B选项正确．
C．若∠B＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B＋∠C＝90°．∴∠C＝30°，∠B＝60°．
∴易得BC＝2AB．∴AC＜2AB，故C选项错误．
D．若∠B＝2∠C，由选项C可得∠C＝30°，∠B＝60°．
∵AD＝AB，∴△ABD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．∴∠DAC＝∠ADB－∠C＝30°＝∠C．∴AD＝DC＝BD，即AD为△ABC的中线．
∴S△ABD＝S△ACD，故D选项错误．
9．C 【点拨】连结AD，AP，AQ．
∵点P，Q分别是点D关于AB，AC的对称点，
∴AD＝AP，AD＝AQ，∠PAD＝2∠DAB，∠QAD＝2∠DAC．
∴AD＝AP＝AQ，∠PAQ＝2(∠BAD＋∠CAD)＝2∠BAC＝90°．
∴△PAQ是等腰直角三角形．
∴易知PQ＝
AP＝
AD．
∵D为BC上一点，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，此时PQ取得最小值．
当AD⊥BC时，∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝30°．
∴易得BD＝
AB＝
．∴AD＝
＝3．
∴PQ＝
AD＝3
．∴PQ的最小值为3
．
10．B 【点拨】设AC＝b，AB＝c，BC＝a，HF＝FG＝x，则a2＋b2＝c2．
∵四边形ACGH，四边形BCMN，四边形ABEF都是正方形，
∴AC＝AH＝HG＝b，AB＝AF，∠H＝∠G＝∠EBA＝∠AFE＝∠BCM＝90°．∴b＝2x．
在Rt△AHF与Rt△ACB中，
∵AH＝AC，AF＝AB，
∴Rt△AHF≌Rt△ACB(HL)．
∴HF＝BC＝FG＝a＝x，∠HFA＝∠ABC，
S△AHF＝S△ACB．
∵∠HFA＋∠GFP＝180°－90°＝90°＝∠ABC＋∠CBQ，∴∠GFP＝∠CBQ．
在△GFP与△CBQ中，
∵∠G＝∠BCQ＝90°，FG＝BC，∠GFP＝∠CBQ，
∴△GFP≌△CBQ(ASA)．∴S△GFP＝S△CBQ．
∵S正方形ACGH＝S△AHF＋S△PFG＋S四边形ACPF＝b2，
∴S正方形ACGH＝S△ABC＋S△BCQ＋S四边形ACPF＝b2．
∴S四边形PCQE＝S正方形ABEF－(S△ABC＋S△BCQ＋S四边形ACPF)＝S正方形ABEF－S正方形ACGH＝c2－b2＝a2．
在Rt△ABC中，由勾股定理得c2＝b2＋a2＝(2x)2＋x2＝5x2．
∴
＝
＝
＝
．
二、11．5 12．36
13．3 【点拨】在等腰三角形ABC中，AD是底边BC上的高线，∴AD⊥BC，BD＝CD．∴∠ADC＝90°．
∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．
又∵∠BAC＝45°，∴∠ACE＝45°＝∠BAC．
∴AE＝CE．
∵∠ADC＝∠AEF＝90°，∠AFE＝∠CFD，
∴∠BAD＝∠BCE．∴△AEF≌△CEB(ASA)．
∴AF＝BC＝6．∴BD＝3．
14．40° 【点拨】∵D为等边三角形ABC的AB边的中点，∴AD＝BD，
将△DBP沿DP翻折，得到△DEP，
∴BD＝DE＝AD，∠BDP＝∠PDE．
∴∠BAE＝∠AED＝40°．
∴∠BDE＝40°＋40°＝80°．
∴∠BDP＝
∠BDE＝40°．
15．
【点拨】延长AP交CD于点F．
∵∠APB＝90°，∴∠FPB＝90°，∠OAB＋∠ABP＝90°．
∴∠CPF＋∠CPB＝90°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝3．
∴∠EAP＋∠BAP＝∠ABP＋∠BAP＝∠ABP＋∠CBP＝90°．∴∠EAP＝∠ABP．
∵CP＝CB＝3，∴∠CPB＝∠CBP．
∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP．
又∵∠EPA＝∠CPF，∴∠EAP＝∠APE．
∴AE＝PE．在Rt△CDE中，CD2＋DE2＝CE2，
∴42＋(3－AE)2＝(3＋AE)2，解得AE＝
．
16．7．5°或75°或97．5°或120°
【点拨】设直线E'F'与直线AC，BC分别交于点P，Q，
∵△CPQ为等腰三角形，
∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角．
①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ＝∠CQP，若∠PCQ为钝角，如图①，
∵∠BAC＝90°，∠B＝45°，∴∠ACB＝45°．
∴∠CPQ＋∠CQP＝∠ACB＝45°．∴∠CQP＝22．5°．
∵∠E'F'D＝30°，
∴∠F'DQ＝∠E'F'D－∠CQP＝30°－22．5°＝7．5°，即α＝7．5°．
若∠PCQ为锐角，如图②，
则∠CPQ＝∠CQP＝67．5°．
∵∠E'DF'＝90°，∠F'＝30°，∴∠E'＝60°．
∴∠E'DQ＝∠CQP－∠E'＝67．5°－60°＝7．5°．
∴α＝90°＋7．5°＝97．5°．
②当∠CPQ为顶角时，∠CQP＝∠PCQ＝45°，如图③．
∵∠DE'F'＝∠CQP＋∠QDE'，
∴∠QDE'＝∠DE'F'－∠CQP＝60°－45°＝15°．
∴α＝90°－15°＝75°．
③当∠CQP为顶角时，∠CPQ＝∠PCQ＝45°，如图④，
∴∠CQP＝90°．∴∠QDF'＝90°－∠DF'E'＝60°．
∴∠QDE'＝∠E'DF'－∠QDF'＝30°，
∴α＝90°＋30°＝120°．
综上所述，α的大小为7．5°或75°或97．5°或120°．
三、17．【解】(1)如图，点D即为所求．
(2)如图，点E即为所求．
18．(1)【证明】∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD．
∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠EBD＝∠EDB．
(2)【解】CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC．
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC．
∴∠ADE＝∠AED．∴AD＝AE．
∴CD＝BE．由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．∴CD＝ED．
19．【解】(1)由题易知CD＝1．7m．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15m，AB＝17m，
∴AC＝
＝
＝8(m)．
∴AD＝AC＋CD＝8＋1．7＝9．7(m)．
(2)∵风筝沿DA方向再上升12m后，AC＝8＋12＝20(m)，
∴此时风筝线的长为
＝25(m)．
25－17＝8(m)．
答：他应该再放出8m线．
20．(1)【证明】如图，连结AC．
在△AEC与△AFC中，
∴△AEC≌△AFC(SSS)．∴∠CAE＝∠CAF．
又∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．
(2)【解】如图，过F作FG⊥AB，垂足为G．
∵AE＝CE＝5，AB＝8，
∴EB＝3，AF＝5，∠ACE＝∠CAE．
由勾股定理得BC＝4．
由(1)知△AEC≌△AFC，∴∠ECA＝∠FCA．
∴∠FCA＝∠CAE．∴AE∥CF．
∴FG＝BC＝4．易知AG＝3，∴EG＝2．
在Rt△EFG中，易知EF＝
．
21．【解】(1)∵∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝
＝50°．
∴∠ACD＝∠BDC－∠A＝20°．
(2)2α＝β．理由：设∠BCD＝x，则∠BDC＝x，
∴∠DBC＝180°－2x．
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝α＋x．
∴∠EBC＝180°－2(α＋x)．
∴∠DBC－∠EBC＝180°－2x°－[180°－2(α＋x)]＝2α．
又∵∠DBC－∠EBC＝∠ABE＝β，∴2α＝β．
22．(1)【证明】如图，连结AD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝45°．
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC＝45°＝∠B．
∴AD＝BD＝
BC，∠ADB＝90°．
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°．
∴∠ADF＝90°－∠ADE＝∠BDE．
在△ADF和△BDE中，
∴△ADF≌△BDE(ASA)．
∴DF＝DE．∴△DEF是等腰三角形．
(2)【解】∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝
＝
＝
．
∴AD＝
BC＝
×
＝
．
如图，取EF的中点G，连结AG，DG．
∵∠EAF＝∠EDF＝90°，∴AG＝DG＝
EF．
∴EF＝2AG＝AG＋DG．
又∵AG＋DG≥AD，∴EF≥
．
∴EF的最小值为
．
23．(1)【证明】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC．∴∠ADC＝90°．
又∵AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形．
(2)【解】△ABP是等腰三角形．
理由如下：∵∠ADC＝90°，
∴∠CAD＋∠DCA＝90°．
∵BP⊥AC，∴易得∠PBE＋∠DCA＝90°．
∴∠CAD＝∠PBE．
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD．∴∠BAD＝∠PBE．
∵△ADE是等腰直角三角形∴∠DAE＝∠E．
∴∠BAD＋∠DAE＝∠PBE＋∠E，
即∠BAP＝∠BPA．
∴BA＝BP．∴△ABP是等腰三角形．
(3)【解】①如图①，若∠PCE＝90°．
在△ABD和△BPC中，
∴△ABD≌△BPC(AAS)(证△ACD≌△BPC亦可)．∴BC＝AD＝DE＝4．
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．
设CE＝x，则CD＝4－x，∴BD＝4－x．
∴BC＝8－2x．
∴8－2x＝4，解得x＝2，即CE＝2．
②如图②，若∠CPE＝90°．
作PF⊥CE于点F，同理可证△ABD≌△BPF，
∴BF＝AD＝4．
设EF＝x，易知∠E＝45°，
∴易得CF＝EF＝x．∴CD＝4－2x．
∴BD＝4－2x．∴BC＝8－4x．∴BF＝8－3x．
∴8－3x＝4，解得x＝
．∴CE＝2x＝
．
综上，CE的长为2或
．
24．(1)【证明】∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)．
(2)【解】由题意可知△ABD≌△ACE．
∴∠ADB＝∠AEC．
在等边三角形ADE中，∠DAE＝60°．
记AD与CE的交点为G．
∵∠AGE＝∠DGO，
∴∠DOE＝∠DAE＝60°．
∴∠BOC＝∠DOE＝60°．
(3)【解】如图，延长DC至点P，使DP＝DB．
∵∠BDC＝60°，
∴△BDP是等边三角形．
∴BD＝BP，∠DBP＝60°．
∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP．
∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP(SAS)．
∴∠BCP＝∠A．