期末学情评估
一、选择题(每题3分，共30分)
题序 |
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答案 |
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1．在，，，，，中，分式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若x2＝2，则x＝；④若a≥b，则－a≥－b.其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列长度的四组小木棒能构成三角形的是( )
A．7 cm，4 cm，2 cm B．5 cm，5 cm，6 cm
C．3 cm，4 cm，8 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
4．如图，有一把直角三角尺DEF放置在△ABC上，三角尺DEF的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若在△ABC中，∠DBA＋∠DCA＝45°，则∠A的度数是( )
(第4题)
A．40°
B．44°
C．45°
D．50°
5．下列说法中正确的是( )
A．立方根等于它本身的数是0和1
B．－9是81的一个平方根
C．2的平方根是
D．无限小数就是无理数
6．下列计算正确的是( )
A.＋＝ B.＝－
C．2 －＝ D.＝±3
7．光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000 000 193 m，该光源波长用科学记数法表示为( )
A．1.93×107 m B．193×10－9 m
C．1.93×10－7 m D．1.93×10－9 m
8．若关于x的方程＝＋2有增根，则m的值为( )
A．1 B．0 C．3 D．－2
9．北起张家界，南至怀化，串起张家界、芙蓉镇、古丈、凤凰古城等众多著名风景区，被誉为“湘西最美高铁”的张吉怀高铁线路全长245 km，已知高铁的平均速度是普通列车的3倍，相较于以往普通列车时间上节约3 h，设普通列车的平均速度是x km/h，则下列方程正确的是( )
A.－＝3 B.－＝3
C.－＝3 D.－＝3
10．已知关于x的不等式3x－m＋1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是( )
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
二、填空题(每题3分，共18分)
11．在实数0，，π，0.3，，中，无理数有________个．
12.与的最简公分母是________．
13．若最简二次根式与可以合并，则m的值是______．
14．如图，等边三角形ABC的边长为2，BD是高，延长BC到点E，使CE＝CD，则CE的长为________．
(第14题)
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足y＜x，则a的取值范围是______．
16．为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分学生和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助交警维持交通秩序，若每个路口安排4人，则每个路口安排完后还剩下18人；若每个路口安排6人，则每个路口安排完后还剩下的人数不足4人；若每个路口安排7人，则只有最后一个路口不足7人，则该附中一共选派的学生和家长志愿者的总人数为________人．
三、解答题(第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分)
17．计算：
(1)＋＋(－1)2 024＋(＋2)0－|2－|；
(2)＋ (－)＋.
18．解方程：
(1)＝； (2)＝－.
19．解不等式组并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．
(第19题)
20．先化简，再求值：÷，其中a＝2－.
21．如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32.
(1)求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
(2)求阴影部分的面积．
(第21题)
22．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，连接DE，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若AB＝AC，CE＝10，CF＝14，求DB的长．
(第22题)
23．端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用10 000元购进A、B两种风味粽子共2 000 个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用之比为2∶3.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的2倍．
(1)求A、B两种粽子的单价各是多少；
(2)若计划用不超过8 000元的资金再次购进A、B两种粽子共1 600个，且A、B两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个．
(第23题)
24．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：5＋2＝＋2＝2＋2＋2××＝，8＋2 ＝＋2＝12＋2＋2×1×＝2.
【类比应用】
(1)请你仿照小明的方法，将7＋2化成另一个式子的平方；
【变式探究】
(2)若a＋2＝(＋)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
25．已知等边三角形ABC和等边三角形BDE，点D始终在射线AC上运动．
(1)如图①，当点D在边AC上时，连接CE，求证：AD＝CE；
(2)如图②，当点D不在边AC上而在边AC的延长线上时，连接CE，(1)中的结论是否成立？并给予证明；
(3)如图③，当点D不在边AC上而在边AC的延长线上时，条件中的“等边三角形BDE”改为“以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE＝30°”，其余条件不变，连接CE并延长，与AB的延长线交于点F，求证：AD＝BF.
(第25题)
答案
一、1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C 7.C 8.D 9.B
10．A 点拨：解不等式3x－m＋1＞0，得x＞，因为不等式的最小整数解为2，所以1≤＜2，解得4≤m＜7.
二、11.3 12.6a2b3c 13.－1 14.1
15．a＞1 点拨：②－①，得y－x＝3－3a，因为y<x，所以y－x＜0，所以3－3a＜0，解得a＞1.
16．50 点拨：设共到x个交通路口协助交警维持交通秩序，则选派的学生和家长志愿者的总人数为(4x＋18)人，由题意得解得7＜x＜，因为x为整数，所以x＝8，所以4x＋18＝4×8＋18＝50.
三、17.解：(1)原式＝2－2＋1＋1－2＋＝.
(2)原式＝＋×－×＋2 ＝＋1＋3－3 ＋2 ＝4.
18．解：(1)＝，2x＝3(x－3)，2x＝3x－9，2x－3x＝－9，－x＝－9，x＝9，检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，
所以原方程的解为x＝9.
(2)原方程变形为＝－，x＋1＝3(2x－1)－2(2x＋1)，x＋1＝6x－3－4x－2，－6x＋4x＋x＝－3－2－1，－x＝－6，x＝6，检验：当x＝6时，(2x＋1)(2x－1)≠0，所以原方程的解为x＝6.
19．解：解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤2，所以原不等式组的解集为－＜x≤2.解集在数轴上表示如图所示．
(第19题)
20．解：原式＝·＝·＝·＝·＝，
当a＝2－时，原式＝＝.
21．解：(1)正方形ABCD的边长为＝2 ，正方形ECFG的边长为＝4 .
(2)∵BF＝2 ＋4 ＝6 ，GF＝4 ，AB＝AD＝2 ，∴S△BFG＝GF·BF＝24，S△ABD＝AB·AD＝4，∴S阴影＝S正方形ABCD＋S正方形ECFG－S△BFG－S△ABD＝8＋32－24－4＝12.
22．(1)证明：∵E是边AC的中点，∴AE＝EC，
∵CF∥AB，∴∠DAC＝∠ACF.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(ASA)．
(2)解：∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝14.∵E是边AC的中点，∴AC＝2CE＝2×10＝20.∵AB＝AC，
∴AB＝20，∴DB＝AB－AD＝20－14＝6.
23．解：(1)10 000×＝6 000(元)，1 000×＝4 000(元)．设B种粽子的单价为x元，则A种粽子的单价为2x元，根据题意，得＋＝2 000，解得x＝4，经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意，所以2x＝8.
答：A种粽子的单价为8元，B种粽子的单价为4元．
(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(1 600－m)个，依题意，得8m＋4(1 600－m)≤8 000，
解得m≤400.
答：A种粽子最多能购进400个．
24．解：(1)7＋2＝(2＋5)＋2＝()2＋()2＋2××＝(＋)2.
(2)∵a＋2 ＝(＋)2＝m＋n＋2 ，
∴m＋n＝a，mn＝21.
∵a，m，n均为正整数，而21＝1×21＝3×7，
∴a＝3＋7＝10或a＝1＋21＝22.
25．(1)证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.
(2)解：成立．证明：∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.
(3)证明：延长BE至点H，使EH＝BE，连接CH，DH.
∵BE＝EH，DE⊥BH，∴DB＝DH，∠BDE＝∠HDE＝30°，∴∠BDH＝60°，∴△DBH是等边三角形，又∵△ABC是等边三角形，点D不在边AC上而在边AC的延长线上，∴由(2)知△ABD≌△CBH，AD＝CH，∴∠A＝∠HCB＝60°＝∠ABC，
∴BF∥CH，∴∠F＝∠ECH.
在△EBF和△EHC中，
∴△EBF≌△EHC，∴BF＝CH，∴AD＝BF.