第一章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2024·济宁任城区月考]下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是(　　)

A.6a²b²＝3ab·2ab B.(x＋1)(x－1)＝x²－1

C. x²－4x＋4＝(x－2)² D. x²－x－4＝x(x－1)－4

2.分解因式b²(x－2)＋b(2－x)，下列结果正确的是(　　)

A.(x－2)(b²＋b) B. b(x－2)(b＋1)

C.(x－2)(b²－b) D. b(x－2)(b－1)

3.[2023·淄博张店区月考]下列式子中，分解因式的结果为(3a－y)(3a＋y)的多项式是(　　)

A.9a²＋y² B.－9a²＋y²

C.9a²－y² D.－9a²－y²

4.多项式－8x²y³z＋12xy²z³－24x³yz²的公因式是(　　)

A.－xyz B.－4x³y³z³ C.－4xyz D.－x³y³z³

5.[2024·东营期末]下列各式中不能用公式法分解因式的是(　　)

A. x²－4 B.－x²－4

C. x²＋x＋ D.－x²＋4x－4

6.[母题教材P7习题T4]利用因式分解可以简便计算：57×99＋44×99－99，下列因式分解的结果正确的是(　　)

A.99×(57＋44)

B.99×(57＋44－1)

C.99×(57＋44＋1)

D.99×(57＋44－99)

7.[新考法整体思想]已知a＝2b－5，则代数式a²－4ab＋4b²－5的值是(　　)

A.20 B.0 C.－10 D.－30

8.如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去一个边长为a的正方形.然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用M表示该纸盒底面积与侧面积的差，则M可因式分解为(　　)

A.(b－6a)(b－2a)

B.(b－3a)(b－2a)

C.(b－5a)(b－a)

D.(b－2a)²

9.[新考法作差法]已知M＝3x²－x＋3，N＝2x²＋3x－1，则M，N的大小关系是(　　)

A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N

10.[新视角新定义题]如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝3²－1²，24＝7²－5²，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为(　　)

A.160 B.164 C.168 D.177

二、填空题(每题3分，共18分)

11.[2023·哈尔滨]把多项式mx²－16m分解因式的结果是　　　　.

12.已知二次三项式x²－4x＋m有一个因式是x＋3，则m的值为　　　　.

13.[新考法分类讨论法]若4x²－(k－1)x＋9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　　　　.

14.[母题教材P11习题T3]边长分别为(a＋b)和(a－b)的两个正方形的摆放方式如图所示，则阴影部分的面积化简后的结果是　　　　.

15.若a＝2025，b＝2026，c＝2027，则a²＋b²＋c²－ab－bc－ac＝　　　　.

16.多项式4a²－9bⁿ(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，那么n能取的值共有　　　　个.

三、解答题(共72分)

17.(6分)[2024·济宁任城区月考]把下列各式因式分解：

(1)a(x－3)＋2b(x－3)；

(2)－x²－25y²＋10xy；

(3)9(m＋n)²－(m－n)².

18.(8分)[2023·淄博期末]先因式分解，再求值：

(1)9x²＋12xy＋4y²，其中x＝ ，y＝－ ；

(2) － ，其中a＝－ ，b＝2.

19.(8分)[2023·烟台莱阳市期中]在对多项式x²＋ax＋b进行分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋1)(x＋9)；乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－4).那么x²＋ax＋b分解因式正确的结果是多少？

20.(8分)[母题教材P7习题T4]用简便方法计算：

(1)2026²－2025²；

(2)2.2²＋4.4×17.8＋17.8².

21.(9分)已知x＋y＝5，(x－2)(y－2)＝－3，求下列代数式的值.

(1)xy；

(2)x²＋4xy＋y²；

(3)x²＋xy＋5y.

22.(9分)[情境题生活应用]小刚家门口的商店正在装修，小刚发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，割去四个半径为r的小圆，如图所示，小刚测得R＝6.8dm，r＝1.6dm，他想知道剩余部分(阴影部分)的面积，你能利用所学的因式分解的知识帮他计算吗？请写出求解过程.(结果保留π)

23.(12分)观察下列分解因式的过程：

x²－2xy－3y².

解：原式＝x²－2xy＋y²－y²－3y²＝(x²－2xy＋y²)－4y²＝(x－y)²－(2y)²＝(x－y＋2y)(x－y－2y)＝(x＋y)(x－3y).

像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.

(1)请你运用上述配方法分解因式：x²－6xy＋5y²；

(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a²＋b²＝20a＋14b－99，求△ABC周长的最大值.

24.(12分)如图①，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图②是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形.

(1)请写出利用图形的面积关系所得到的公式：　　　(用式子表示).

(2)依据这个公式，康康展示了“计算：(2＋1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)”的解题过程：

解：原式＝(2－1)×(2＋1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)＝(2²－1)×(2²＋1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)＝(2⁴－1)×(2⁴＋1)×(2⁸＋1)＝(2⁸－1)×(2⁸＋1)＝2¹⁶－1.

请仿照康康的解题过程计算：2×(3＋1)×(3²＋1)×(3⁴＋1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1.

(3)请用(1)中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数.

答案及点拨

一、1. C　2. D　3. C　4. C　5. B　6. B

7. A　【点拨】∵a＝2b－5，∴a－2b＝－5，

∴a²－4ab＋4b²－5

＝(a－2b)²－5

＝(－5)²－5

＝25－5

＝20.

8. A　【点拨】由题意得该纸盒的底面积为(b－2a)²，

侧面积为a·(b－2a)·4＝4a(b－2a)，

∴M＝(b－2a)²－4a·(b－2a)

＝(b－2a)(b－2a－4a)

＝(b－2a)(b－6a).

9. A　【点拨】∵M－N＝(3x²－x＋3)－(2x²＋3x－1)

＝3x²－x＋3－2x²－3x＋1

＝x²－4x＋4

＝(x－2)²≥0，

∴M≥N.

10. C　【点拨】设相邻的两奇数分别为2n＋1，2n－1(n≥1且n为正整数)，(2n＋1)²－(2n－1)²＝8n，

根据题意得8n≤50，∴n≤ ，

∴n的最大值为6，当n＝6时，2n＋1＝13，2n－1＝11，

∴3²－1²＋5²－3²＋…＋13²－11²＝13²－1²＝168.

二、11. m(x＋4)(x－4)

12.－21　【点拨】设另一个因式为(x＋p)，

由题意得x²－4x＋m＝(x＋3)(x＋p)，

则x²－4x＋m＝x²＋(3＋p)x＋3p，

∴ 解得

13.13或－11

14.4ab　【点拨】由题意得S_阴影＝(a＋b)²－(a－b)²

＝(a＋b－a＋b)(a＋b＋a－b)

＝2b·2a

＝4ab.

15.3　【点拨】原式＝ (2a²＋2b²＋2c²－2ab－2bc－2ac)

＝ [(a²－2ab＋b²)＋(a²－2ac＋c²)＋(b²－2bc＋c²)]

＝ [(a－b)²＋(a－c)²＋(b－c)²].

将a＝2025，b＝2026，c＝2027代入，

得原式＝ ×(1＋4＋1)＝3.

16.5　【点拨】多项式4a²－9bⁿ(其中n是小于10的自然数，b≠0)可以分解因式，则n能取的值为0，2，4，6，8，共5个.

三、17.【解】(1)原式＝(x－3)(a＋2b).

(2)原式＝－(x²＋25y²－10xy)＝－(x－5y)².

(3)原式＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]

＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)

＝(4m＋2n)(2m＋4n)

＝4(2m＋n)(m＋2n).

18.【解】(1)9x²＋12xy＋4y²＝(3x＋2y)²，

当x＝ ，y＝－ 时，原式＝ ＝9.

(2) － ＝ ·( － )＝ab，

当a＝－ ，b＝2时，原式＝－ ×2＝－ .

19.【解】∵甲看错了a的值，分解的结果是(x＋1)(x＋9)＝x²＋10x＋9，∴b＝9.

∵乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)(x－4)＝x²－6x＋8，

∴a＝－6，∴这个多项式为x²－6x＋9，

∴正确的分解因式的结果为(x－3)².

20.【解】(1)原式＝(2 026＋2 025)×(2 026－2 025)＝4 051×1＝4 051.

(2)原式＝2.2²＋2×2.2×17.8＋17.8²＝(2.2＋17.8)²＝20²＝400.

21.【解】(1)∵(x－2)(y－2)＝－3，

∴xy－2(x＋y)＋4＝－3.

又∵x＋y＝5，∴xy＝3.

(2)∵x＋y＝5，xy＝3，

∴x²＋4xy＋y²＝(x＋y)²＋2xy＝25＋6＝31.

(3)x²＋xy＋5y＝x(x＋y)＋5y，

∵x＋y＝5，

∴x(x＋y)＋5y＝5x＋5y＝5(x＋y)＝5×5＝25.

22.【解】剩余部分的面积为πR²－4πr²＝π(R²－4r²)＝π(R＋2r)(R－2r).

将R＝6.8 dm，r＝1.6 dm代入上式，

得π×(6.8＋3.2)×(6.8－3.2)＝36π(dm²).

23.【解】(1)原式＝x²－6xy＋9y²－4y²＝(x－3y)²－(2y)²＝(x－3y＋2y)(x－3y－2y)＝(x－y)(x－5y).

(2)整理2a²＋b²＝20a＋14b－99，

得2a²－20a＋50＋b²－14b＋49＝0，

∴2(a²－10a＋25)＋(b²－14b＋49)＝0，

∴2(a－5)²＋(b－7)²＝0，解得a＝5，b＝7.

由三角形三边之间的关系，得2＜c＜12.

∵c为正整数，

∴△ABC的周长最大时，c＝11，

∴a＋b＋c＝5＋7＋11＝23，

即△ABC周长的最大值为23.

24.(1)a²－b²＝(a＋b)(a－b)

(2)【解】2×(3＋1)×(3²＋1)×(3⁴＋1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1＝(3－1)×(3＋1)×(3²＋1)×(3⁴＋1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1＝(3²－1)×(3²＋1)×(3⁴＋1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1＝(3⁴－1)×(3⁴＋1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1＝(3⁸－1)×(3⁸＋1)×(3¹⁶＋1)＋1＝(3¹⁶－1)×(3¹⁶＋1)＋1＝3³²－1＋1＝3³².

(3)【证明】设一个奇数为2n－1(n为整数)，另一个相邻的奇数为2n＋1，

∴(2n－1)²－(2n＋1)²＝[(2n－1)＋(2n＋1)][(2n－1)－(2n＋1)]＝4n×(－2)＝－8n，

∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数.