第一章综合素质评价

八年级数学 上(BS版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a²＝5，b²＝12，则c²的值为(　　)

A．13 B．17 C．7 D．169

2. (2024重庆江津区期末) 已知△ABC的三边分别是a，b，c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是(　　)

A．a²＋b²＝c² B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

C．∠A＝∠C－∠B D．a＝8，b＝15，c＝17

3. （教材P7习题T2变式) 历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的边AE，EB在一条直线上，验证勾股定理用到的面积相等的关系式是(　　)

A．S_△EDA＝S_△CEB B．S_△EDA＋S_△CEB＝S_△CDE

C．S_{四边形CDAE}＝S_{四边形CDEB} D．S_△EDA＋S_△CDE＋S_△CEB＝S_{四边形ABCD}

4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(　　)

A．5 B．6 C．7 D．8

5. （2023日照) 已知直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，分别以a，b，c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S₁，均重叠部分的面积为S₂，则(　　)

A．S₁＞S₂ B．S₁＜S₂

C．S₁＝S₂ D．S₁，S₂大小无法确定

6.（2023天津) 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为(　　)

A．9 B．8 C．7 D．6

7.（2023泸州) 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m²－n²)，b＝mn，c＝(m²＋n²)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　)

A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25

8. （新考向 数学文化）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(　　)

A．2x²＝(x－4)²＋(x－2)² B．x²＝(x－4)²＋(x－2)²

C．x²＝(x－4)²＋2² D．x²＝4²＋(x－2)²

9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门口4 m及4 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．一个身高1.5 m的学生刚走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为(　　)

(第9题)

A．7 m B．6 m C．5 m D．4 m

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是(　　)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5

二、填空题(每题3分，共24分)

11．如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝________．

12．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a²－c²－b²)²＋＝0，则△ABC的形状为____________________．

13.（2023东营) 一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港，则A，C两港之间的距离为________km.

14. 如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离的平方为________．

(第14题)

　　　

15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆形的面积分别记为S₁，S₂，则S₁＋S₂的值为________．

(第15题)　　 (第16题)

16．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为________．

17.（新情境 环境保护） 如图，这是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB＝90°)，于是在草坪内走出了一条捷径AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长为6米，BC的长为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌，则提示牌上的“多行数步”是指多行________米．

(第17题)

　　　　　　

18. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．

三、解答题(每题11分，共66分)

19.（2024合肥蜀山区期末) 如图所示，在每个小正方形的边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．

20．某消防部队进行消防演练．在模拟演练现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？

21.（新视角 新定义题） 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

(1)已知点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝5，MN＝13，BN＝12，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．

(2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．

22.（2024开封龙亭区期末) 如图，一工厂位于点C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H(点A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB＝2.5 km，CH＝2 km，BH＝1.5 km.

(1)CH是否为从工厂C到河边最近的一条路(即CH与AB是否垂直)？请说明理由．

(2)求AC的长．

23.（教材P15习题T4变式) 如图，长方体的底面(正方形)边长为3 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四个侧面爬行一圈到达点B，求蚂蚁爬行的最短路径有多长．

24．如图，在长方形ABCD中，DC＝5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设落点为F.若△ABF的面积为30 cm²，求△ADE的面积．

答案

一、1.B　2.B　3.D

4．B　点拨：如图，连接ED交AC于点F.

因为四边形ABCD是正方形，

所以点B与点D关于AC对称．

所以BF＝DF.所以△BFE的周长＝BF＋EF＋BE＝DE＋BE，此时△BFE的周长最小．

根据勾股定理易求得DE＝5，所以△BFE的周长最小为DE＋BE＝5＋1＝6.

5．C　点拨：因为直角三角形的三边a，b，c满足c＞a＞b，

所以该直角三角形的斜边为c，所以c²＝a²＋b²，即c²－a²－b²＝0.

所以S₁＝c²－a²－b²＋b(a＋b－c)＝ab＋b²－bc，

因为S₂＝b(a＋b－c)＝ab＋b²－bc，所以S₁＝S₂.

6．D　点拨：由题意得MN是AC的垂直平分线，所以AC＝2AE＝8，DA＝DC，所以∠DAC＝∠C.

因为BD＝CD，所以BD＝AD，所以∠B＝∠BAD，因为∠B＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°，所以2∠BAD＋2∠DAC＝180°.

所以∠BAD＋∠DAC＝90°，即∠BAC＝90°.

在Rt△ABC中，BC＝BD＋CD＝2AD＝10，

所以AB²＝BC²－AC²＝10²－8²＝6²，所以AB＝6.

7．C　点拨：因为当m＝3，n＝1时，a＝(m²－n²)＝×(3²－1²)＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝(m²＋n²)＝×(3²＋1²)＝5，

所以选项A不符合题意；

因为当m＝5，n＝1时，a＝(m²－n²)＝×(5²－1²)＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝(m²＋n²)＝×(5²＋1²)＝13，

所以选项B不符合题意；

因为当m＝7，n＝1时，a＝(m²－n²)＝×(7²－1²)＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝(m²＋n²)＝×(7²＋1²)＝25，

所以选项D不符合题意；

因为没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，所以选项C符合题意，故选C.

8．B　9.C

10．A　点拨：如图，连接DF，

在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.

所以AB²＝AC²＋BC²＝3²＋4²＝5²，

所以AB＝5.

因为AD＝AC＝3，AF⊥CD，所以CE＝DE，BD＝AB－AD＝2，所以CF＝DF.

在△ADF 和△ACF 中，

所以△ADF≌△ACF(SSS)，所以∠ADF＝∠ACF＝90°，所以∠BDF＝90°.

设 CF＝DF＝x，则 BF＝4－x.

在Rt△BDF 中，由勾股定理得DF²＋BD²＝BF²，

即 x²＋2²＝(4－x)²，解得x＝1.5，所以CF＝1.5.

二、11.12　12.等腰直角三角形

13．50　14.2　15.2π　16.4　17.4

18．127　点拨：因为第一代勾股树中正方形有1＋2＝3(个)，

第二代勾股树中正方形有1＋2＋2²＝7(个)，

第三代勾股树中正方形有1＋2＋2²＋2³＝15(个)，

……

所以第六代勾股树中正方形有1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋2⁶＝127(个)．

三、19.解：设AB边上的高为h，

因为AB²＝3²＋4²＝5²，

所以AB＝5，

所以×5h＝×3×3，

解得h＝，

即AB边上的高是.

20．解：由题意知PC＝12.8 m，CD＝AB＝3.8 m，

所以PD＝PC－CD＝12.8－3.8＝9(m)．

在Rt△ADP中，AP²＝AD²＋PD²，

所以AP²＝12²＋9².

所以AP＝15 m.

故此消防车的云梯至少应伸长15 m.

21．解：(1)是．理由如下：因为AM²＋BN²＝5²＋12²＝169，MN²＝13²＝169，

所以AM²＋BN²＝MN².

所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形．

故点M，N是线段AB的勾股分割点．

(2)设BN＝x，则MN＝AB－AM－BN＝7－x，

①当MN为最长线段时，MN²＝AM²＋BN²，

即(7－x)²＝x²＋25，解得x＝；

②当BN为最长线段时，BN²＝AM²＋MN²，即x²＝25＋(7－x)²，解得x＝.

综上所述，BN的长为或.

22．解：(1)CH是从工厂C到河边最近的一条路．

理由如下：在△CHB中，

因为CH²＋BH²＝2²＋1.5²＝6.25，BC²＝2.5²＝6.25，

所以CH²＋BH²＝BC²，

所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，所以CH与AB垂直，即CH是从工厂C到河边最近的一条路；

(2)设AC＝x km，则AB＝AC＝x km.

因为∠CHB＝90°，所以∠CHA＝90°.

在Rt△ACH中，AH＝(x－1.5)km，CH＝2 km，

由勾股定理得AC²＝AH²＋CH²，

所以x²＝(x－1.5)²＋2²，解这个方程，得x＝.

所以AC的长为 km.

23．解：将长方体的侧面展开如图所示，连接AB′.

因为在Rt△AA′B′中，AA′＝12 cm，A′B′＝5 cm，

所以AB′²＝AA′²＋A′B′²＝169.　

所以AB′＝13 cm.

所以蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm.

24．解：由折叠可知AD＝AF，DE＝EF.

由S_△ABF＝BF·AB＝30 cm²，AB＝DC＝5 cm，

得BF＝12 cm.

在Rt△ABF中，由勾股定理得AF²＝AB²＋BF²＝5²＋12²＝169，

所以AF＝13 cm.

所以BC＝AD＝AF＝13 cm.

设DE＝x cm，则EC＝(5－x)cm，EF＝x cm.

在Rt△ECF中，FC＝13－12＝1(cm)，

由勾股定理得EC²＋FC²＝EF²，即(5－x)²＋1²＝x²，

解得x＝.所以DE＝ cm.

所以△ADE的面积为AD·DE＝×13×＝16.9 (cm²)．