第15章 分式
类型一 新考法
1.（2024宁波模拟) 小文和小艺在做一道练习题：已知0<a<b，试比较与的大小，小文说：“当a＝1，b＝2时，＝，＝.因为＜，所以＜.”
小艺说：“小文的做法不正确，因为a＝1，b＝2只是一个特例．”你同意小艺的说法吗？请说明理由．
2. （2024吉林船营区一模) 下面解题过程中，第一步就出现了错误，但最后所求得的值是正确的．
先化简，再求值：x＋2－，其中x＝
.
解：原式＝－＝－＝4.
(1)请写出正确的化简过程；
(2)图中被遮住的x的值是__________．
3. (2024孝感安陆市期末) 某公司会计欲查询乙商品的进价(如下表)，发现进货单已被墨水污染．
-
商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7 200
乙
3 200
李师傅：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅：我记得甲商品比乙商品的数量多40件．
请你帮助他们补全进货单．
类型二 新定义题
4. (2024北京顺义区月考) 对于任意实数a，b，规定：a⊙b＝若(x－2)⊙(x＋2)＝1，则x的值为________．
5. (2024重庆万州第二高级中学月考) 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构，对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝c1＝x，计算a2＝＝，b2＝a1a2＝，c2＝a1＋a2＝，称为第一次操作；计算a3＝＝－，b3＝a1a2a3＝，c3＝a1＋a2＋a3＝，称为第二次操作；以此类推：①a5＝－x；②＝；③当x＝2时，c2 401＝－698；④对任意正整数n，等式b4n＋3＝b4n＋2总成立．以上说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
类型三 情境题
6. (2024泰兴市黄桥初中教育集团月考) 数学来源于生活，生活中处处有数学，我们用平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度(即糖与糖水的质量比)为.
实验1：加入m(m>0)克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后甜味会变淡，由此可以写出一个不等式：>，我们趣称为“糖水不等式”．
(1)实验2：将“实验1”中的“加入m(m>0)克水”改为“加入m(m>0)克糖”，则糖水的浓度发生了变化，根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”：____________，并验证你写的不等式的正确性．
(2)设a，b，c为△ABC三边的长，根据上述实验，求证：＋＋<2.
7. (2024北京第一六一中学开学考) 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：
实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干(存留一些污水)的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
(1)方案一：采用一次漂洗的方式，将20斤清水一次用掉，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
(2)方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同，如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
(3)方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的__________．
实验结论：(4)对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好(填“一”“二”或“三”)．
推广证明：(5)将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留a(a>0)斤污水，现用m(m>0)斤清水漂洗(方案二中第一次用水量为x斤，其中x<m，且x≠m)，请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果．
第15章 分式
1．解：同意小艺的说法．理由如下：
－＝－＝.
因为0<a<b，
所以a－b<0，b>0.
所以<0，所以－<0，所以<.
2．解：(1)x＋2－
＝－
＝
＝.
(2)－1
3．解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为(1＋50%)x元/件，
根据题意，得－＝40，
解得x＝40.
经检验，x＝40是原分式方程的解．
∴乙商品的进价是40元/件，
甲商品的进价是(1＋50%)×40＝60(元/件)，
甲商品的进货数量为＝120(件)，
乙商品的进货数量为＝80(件)．
4．6
5．C 点拨：①a4＝＝，a5＝＝x，故①是错误的；
②由题意知a1，a2，a3，a4，……是以x，，－，为循环组依次循环的，
∴a5＝a1，a6＝a2，a7＝a3，a8＝a4，
∴＝，＝，
∴＝，
∴②是正确的；
③当x＝2时，a1，a2，a3，a4，……是以2，－3，－，为循环组依次循环，
∵2 401÷4＝600……1，
∴c2 401＝600×＋2＝－698，故③是正确的；
④易知b1，b2，b3，b4，……是以x，，，1为循环组依次循环，
∵b4n＋3(c4n－c4n＋1)＝b3(－c1)＝，b4n＋2＝b2＝，
∴b4n＋3(c4n－c4n＋1)＝b4n＋2，故④是正确的．故选C.
6．(1)解：< 证明如下：由题意得：加入m(m>0)克糖后，糖水的浓度为，
∴－＝＝.
∵a>b>0，m>0，
∴a－b>0，a＋m>0.
∴>0，
∴－>0，
∴<.
(2)证明：在△ABC中，a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，且a>0，b>0，c>0，∴<1，<1，<1.
由“糖水不等式”得<，<，
<，
∴＋＋<＋＋.
∴＋＋<2.
7．解：(1)
(2)
(3)
(4)三
(5)方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的×＝.
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的×＝.
方案三比方案二漂洗效果好．证明如下：
∵－
＝
＝，
当x≠m时，－>0，
∴方案三比方案二漂洗效果好．