第十五章综合素质评价

八年级数学 上(R版)　　时间：90分钟　满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分)

1.（教材P129练习T3变式)若式子有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x＝ B．x＝－5 C．x≠ D．x≠－5

2. （教材P129练习T2变式)下列各式中：，，＋y，，，其中分式共有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．下列各式中，是最简分式的是(　　)

A. B. C. D.

4. 芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体，单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“A”．已知1A＝0.000 000 000 1 m，即纳米的十分之一．若将“15A”用科学记数法表示为1.5×10ⁿ m，则n＝(　　)

A．8 B．－8 C．9 D．－9

5.（2024天津红桥区期末)分式方程＝－2的解是(　　)

A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝

6．下列式子错误的是(　　)

A.＝ B.＝

C.÷＝(x－y)² D.＋＝－1

7.（2024连云港海宁中学月考)将分式中的m，n同时扩大为原来的3倍，分式的值将(　　)

A．扩大3倍 B．不变

C．缩小为原来的 D．缩小为原来的

8．如果关于x的分式方程＋2＝有整数解，且关于x的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数a的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．0

9.（2023广元)近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比走路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为(　　)

A.－＝ B.－＝10

C.－＝ D.－＝10

10.（2024济南莱芜实验中学模拟)已知a²＝3，则＋·4a的值为(　　)

A．6 B．－6 C．3 D．9

二、填空题(每题3分，共18分)

11.（教材P134习题T13变式)若分式的值为0，则x的值为________．

12．计算：(2024－π)⁰＋(－)^－2－＝________．

13.（2023北京海淀区一模)若代数式的值为正整数，则整数x的值为________．

14.（2024石家庄二十七中期中)若＝＋对任意自然数n都成立，则a＝________，b＝________．

15.（2023十堰)林林家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟，准时到校．若某一天林林从家中出发迟了c分钟，则她每分钟应骑________千米才能不迟到．

16. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如：5※3＝＝.若(x＋1)※(x－2)＝3，则x的值为________．

三、解答题(共8小题，满分72分)

17．(8分)计算：

(1)÷； (2)÷－.

18．(8分)解方程：

(1)－＝1; (2)＝＋.

19.(8分)先化简，再求值：·÷，其中x＝π⁰－，y＝－2.

20．(8分)（2023邹城第六中学南校区模拟)某县坚持民生工程优先，积极治理内河水质，为了解决生活污水排放问题，需要铺设一段全长为420 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加50%，结果共用32天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度为多少米．

21．(8分)小红想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：＝2－.

(1)她把这个数“？”猜成－2，请你帮小红解这个分式方程；

(2)小红的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少．

22．(10分) 数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成正整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so.研究15，12，10这三个数的倒数发现－＝－，我们称15，12，10这三个正整数为一组“调和数”．

(1)已知三个数x，5，3(x>5)是一组“调和数”，则x的值为________．

(2)若a，b，c是一组“调和数”，其中a>b>c>0，证明：a＋c>2b.

23．(10分) （2024晋城高平市一模)宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1 480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍．

(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价．

(2)某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2 252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？

24．(12分) 【阅读材料】

已知a，b为非负实数，∵a＋b－2 ＝()²＋()²－2 ·＝(－)²≥0，∴a＋b≥2 .当且仅当“a＝b”时，等号成立．

这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．

例：已知x>0，求代数式x＋的最小值．

解：令a＝x，b＝，则由a＋b≥2 可得x＋≥2 ＝6.

当且仅当x＝，即x＝3时，代数式取到最小值，最小值为6.

根据以上材料解答下列问题：

【灵活运用】

(1)已知x>0，则当x＝________时，代数式x＋有最小值，最小值为________．

(2)已知x>0，求代数式的最小值．

【拓展运用】

(3)某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为500平方米的花圃，所用的围栏至少为多少米？

答案

一、1.D　2.B　3.A　4.D　5.C　6.C　7.C

8．A　9.A　10.A

二、11.5　12.7　13.3或7　14.；－　15.　16.1

三、17.解：(1)÷

＝×

＝×

＝；

(2)÷－

＝·－

＝－

＝

＝

＝1.

18．解：(1)－＝1，

去分母得x＋3＋x²＝x²－3x，

解得x＝－，

检验：当x＝－时，x²－3x≠0，

∴x＝－是原分式方程的解．

(2)＝＋，

去分母得(x－1)²＝(x＋1)²＋4，

解得x＝－1，

检验：当x＝－1时，(x＋1)(x－1)＝0，

∴x＝－1是分式方程的增根，原分式方程无解．

19．解：原式＝xy··＝x－y，

当x＝π⁰－＝1－2＝－1，

y＝－2时，原式＝－1－(－2)＝1.

20．解：设原计划每天铺设管道的长度为x米，则提高工效后每天铺设管道的长度为(1＋50%)x米，

依题意得，＋＝32，

解得，x＝10.

经检验：x＝10是原方程的解，且符合题意．

∴原计划每天铺设管道的长度为10米．

21．解：(1)由题意，得＝2－，

去分母，得x＝2(x－3)＋2，

去括号，得x＝2x－6＋2，

移项、合并同类项，得x＝4，

经检验，当x＝4时，x－3≠0，

∴x＝4是原分式方程的解．

(2)设原分式方程中“？”代表的数为m，

方程两边同时乘(x－3)，得x＝2(x－3)－m，

由于x＝3是原分式方程的增根，

把x＝3代入上面的等式，解得m＝－3，

∴原分式方程中“？”代表的数是－3.

【点方法】本题考查了分式方程的增根，掌握根据增根求相关字母值的步骤：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程是解题的关键．

22．(1)15

(2)证明：∵a，b，c是一组“调和数”，其中a>b>c>0，

∴－＝－.∴＝＋.

∴b＝.

∵a>c，∴(a－c)²>0.

∴(a＋c)²>4ac.

∵a＋c>0，∴a＋c>＝2b.

∴a＋c>2b.

23．解：(1)设甲种点茶器具套装的单价为x元，则乙种点茶器具套装的单价为(x＋30)元．根据题意可得＝2×，解得x＝148.

经检验，x＝148是该分式方程的解．

∴x＋30＝178.

∴甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元．

(2)设学校购进甲种点茶器具套装m套，则购进乙种点茶器具套装(m－2)套．

根据题意，可得148m＋178(m－2)＝2 252.

解得m＝8，∴m－2＝6.

答：学校购进甲种点茶器具套装8套，购进乙种点茶器具套装6套．

24．(1)；2

(2)解：＝－＋＝2x＋－5，

令a＝2x，b＝，则由a＋b≥2 可得2x＋≥2 ＝2 .当且仅当2x＝，即x＝时，代数式取到最小值，最小值为2 .

∴代数式的最小值为2 －5.

(3)解：设花圃的宽为x米，则由题意得长为米，

∴所用的围栏为米．

令a＝4x，b＝，则由a＋b≥2 可得4x＋≥2 ＝40 .

当且仅当4x＝，即x＝5 时，代数式取到最小值，最小值为40 .故所用的围栏至少为40 米．