第十七章综合素质评价

题　号	一	二	三	总　分
得　分

一、选择题(每题3分，共36分)

1．[母题·教材P164习题T2]用反证法证明命题“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设(　　)

A.∠B≥90° B.∠B＞90° C.∠B＜90° D. AB≠AC

2．[母题教材P143习题A组T3]如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)

(第2题)

A.35° B.45° C.55° D.60°

3．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠C＝48°，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数是(　　)

(第3题)

A.15° B.16° C.18° D.20°

4．如图①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图②所示的四边形OABC.若OC＝ ，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的长为(　　)

(第4题)

A. B. C. D.1

5．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行.已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船的距离AB为60海里，则乙轮船的速度是(　　)

(第5题)

A.20 海里/时 B.20海里/时

C.10 海里/时 D.40 海里/时

6．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A. AB＝DE，AC＝DF B.∠C＝∠E，AC＝DF

C. AB＝DE，BC＝EF D.∠C＝∠F，BC＝EF

7．[2024·沧州期中]如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于(　　)

(第7题)

A.15° B.20° C.25° D.30°

8．如图，在△ABC中，AB＝BC，以点B为圆心，适当长为半径画弧交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点D，射线BD交AC于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝4，则△CEF的周长是(　　)

(第8题)

A.8 B.2 ＋2 C.2 ＋6 D.2 ＋2

9．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(　　)

(第9题)

A. B. C.4 D.5

10．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是BC上一点，且PC＝ BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬行到点P的最短路程是(　　)

(第10题)

A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm

11．我们称网格线的交点为格点.如图，在6行×5列的长方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则符合条件的格点C的个数是(　　)

(第11题)

A.3 B.4 C.5 D.6

12．[2024·沧州月考]如图，在△ABC中，AB＝21cm，AC＝12cm，∠A＝60°，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当△APQ为直角三角形时，t的值为(　　)

(第12题)

A.2.5 B.3 C.2.5或3 D.3或

二、填空题(每题3分，共12分)

13．如图，∠MAN＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEM＝　　　　.

(第13题)

14．若a，b为等腰三角形ABC的两边，且满足(a－4)²＋ ＝0，则三角形ABC的周长为　　　　.

15．如图，在边长为a、高为b的等边三角形ABC的外侧作等腰直角△ABE，其中∠ABE＝90°，AB＝EB，过点E作EF⊥BC，交CB的延长线于点F，则△EFB的周长＝　　　　.

(第15题)

16．[新视角·规律探究题] 如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，以它的斜边AC为直角边画第2个等腰直角三角形ACD，再以斜边AD为直角边画第3个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，AC的长为 ，AD的长为2，…，则第4个等腰直角三角形斜边AF的长为　　　　，第n个等腰直角三角形斜边的长为　　　　.

(第16题)

三、解答题(第17，18题每题6分，第19～21题每题8分，第22～

24题每题12分，共72分)

17．[母题教材P166复习题A组T1] 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE.

求证：AB＝AC.

18．[母题教材P146习题A组T2] 如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC.求证：△ABC是等腰三角形.

19．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF与∠FBC的度数.

20．[2024·廊坊霸州期末]如图，在△ABC中，∠ACB＝72°，∠CAB＝48°，作AD⊥BC于点D，按如图所示方式进行尺规作图.

(1)求∠EBD的度数；

(2)连接EC，若ED＝3.1cm，CD＝3cm，求△AEC的面积.

21．[2024·石家庄部分学校期中]如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为10和4.

(1)过点D作DH⊥AC于H，则DF　　　　DH(填“＞”“＜”或

“＝”)；

(2)求△EDF的面积.

22．如图，在铁路CD同侧有两个村庄A，B，它们到铁路的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD＝25km.已知铁路旁有一个农副产品收购站E，且AE＝BE，求CE的长.

23．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(P与A，C不重合)，Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B沿CB延长线方向运动(Q与B不重合)，过P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.

(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长.

(2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不发生变化，求出

线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.

24．如图①，在等腰直角三角形BCD中，∠BDC＝90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA＝DF，连接AC.

(1)求证：△FBD≌△ACD.

(2)延长BF交AC于点E，且BE⊥AC，求证：CE＝ BF.

(3)在(2)的条件下，H是BC边的中点，连接DH，与BE相交于点

G，如图②.试探索CE，GE，BG之间的数量关系，并证明你的结论.

答案

一、1. A　2. C　3. D

4. A【点拨】∵∠OBC＝90°，OC＝ ，BC＝1，∴OB＝ ＝ ＝2.

∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝ OB＝1，

∴OA＝ ＝ ＝ .

5. C【点拨】由题意得OB＝2×20＝40（海里），AB＝60海里，∠AOB＝45°＋45°＝90°，

∴OA＝ ＝ ＝20 （海里），

∴乙轮船的速度是20 ÷2＝10 （海里/时）.

6. B【点拨】A.由“SAS”能判定△ABC和△DEF全等； B.不能判定△ABC和△DEF全等； C.由“HL”能判定Rt△ABC和Rt△DEF全等； D.由“AAS”能判定△ABC和△DEF全等.

7. A【点拨】∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC＝∠C＝60°.

∵AD是等边三角形ABC的中线，

∴∠CAD＝ ∠BAC＝30°，AD⊥BC.

∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，

∴∠ADE＝ ＝75°，

∴∠EDC＝15°.

8. D【点拨】由题意得，BE为∠ABC的平分线，

又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝ AC＝2.

在Rt△BCE中，由勾股定理得，BC＝ ＝2 .∵点F为BC的中点，∴EF＝ BC＝ ，CF＝ BC＝ ，∴△CEF的周长为 ＋ ＋2＝2 ＋2.

9. C【点拨】设BN＝x，由折叠可得DN＝AN＝9－x.因为点D是BC的中点，所以BD＝3.在Rt△BDN中，由勾股定理得x²＋3²＝（9－x）²，解得x＝4，即BN的长为4.

10. C【点拨】

将圆柱侧面沿着AD剪开，并展开，如图，点A到点P的最短路程即为线段AP的长.∵PC＝ BC＝6× ＝4（cm），AC＝ ×6＝3（cm），

∴在Rt△ACP中，AP＝ ＝ ＝5（cm）.

11. C【点拨】如图，分情况讨论：①AB为等腰直角三角形ABC的底边时，符合条件的格点C有2个；②AB为等腰直角三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个.故共有5个符合条件的格点C.

12. D【点拨】根据题意，得0＜t≤6，AP＝AB－BP＝（21－3t）cm，

AQ＝2tcm.

∵△APQ为直角三角形，∠A＝60°，

∴当∠AQP＝90°时，∠APQ＝30°，则AQ＝ AP，

即2t＝ （21－3t），解得t＝3；

当∠APQ＝90°时，∠AQP＝30°，则 AQ＝AP，

即 ×2t＝21－3t，解得t＝ .

综上，当t的值为3或 时，△APQ为直角三角形，故选D.

二、13.75°　【点拨】∠FEM＝∠EFA＋∠A＝∠EDF＋∠A＝∠DEA＋2∠A＝

∠DCE＋2∠A＝∠CDA＋3∠A＝∠CBD＋3∠A＝5∠A＝75°.

14.20【点拨】∵（a－4）²＋ ＝0，

∴a－4＝0，b－8＝0，

解得a＝4，b＝8，

当4为腰时，4＋4＝8，不能构成三角形，

当8为腰时，能构成三角形，△ABC的周长为4＋8＋8＝20，

故答案为20.

15. a＋b【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于点D.

∵等边三角形ABC的边长为a、高为b，∴AB＝BC＝a，AD＝b，∴BD＝ BC＝ a.

∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴∠ADB＝∠BFE＝90°.

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.

∵∠ABE＝90°，∴∠EBF＝30°，

∴∠BEF＝60°＝∠ABD，

在△BEF和△ABD中，

∴△BEF≌△ABD（AAS），

∴△EFB的周长＝△ABD的周长＝a＋ a＋b＝ a＋b.

16.4；（ ）ⁿ【点拨】在直角三角形中由勾股定理可以得出：第1个等腰直角三角形的斜边长AC＝ ，第2个等腰直角三角形的斜边长AD＝2＝（ ）²，第3个等腰直角三角形的斜边长AE＝2 ＝（ ）³，第4个等腰直角三角形的斜边长AF＝4＝（ ）⁴，….

依此类推，第n个等腰直角三角形斜边的长为（ ）ⁿ.

三、17.【证明】∵AD＝AE，∴∠ADC＝∠AEB，

∴∠ADB.＝∠AEC.

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AB＝AC.

18.【证明】∵AE∥BC，

∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.

∵AE是△ABC外角的平分线，

∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠C，

∴△ABC是等腰三角形.

19.【解】在△ABC中，CE，BF是两条高，

∴∠AEC＝∠AFB＝90°.

∵∠A＝70°，∴∠EBF＝20°，∠ECA＝20°.

又∵∠BCE＝30°，∴∠ACB＝30°＋20°＝50°，

∴∠FBC＝90°－50°＝40°.

20.【解】（1）∵∠ACB＝72°，∠CAB＝48°，

∴∠ABC＝180°－72°－48°＝60°.

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝90°－60°＝30°.

由作图知EF为AB边的垂直平分线，∴EA＝EB，

∴∠EBA＝∠DAB＝30°，

∴∠EBD＝60°－30°＝30°.

（2）∵ED＝3.1cm，∠EBD＝30°，∠EDB＝90°，

∴EB＝2ED＝6.2cm.

∵EF垂直平分AB，∴AE＝EB＝6.2cm，

∴△AEC的面积＝ AE·CD＝ ×6.2×3＝9.3（cm²）.

21.（1）＝【点拨】∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH.

（2）【解】在Rt△DEF和Rt△DGH中，

∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S_△DEF＝S_△DGH.

同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S_△ADF＝S_△ADH.

∴10－S_△DGH＝4＋S_△DEF，∴S_△DEF＝3.

22.【解】在Rt△ACE中，根据勾股定理，得AC²＋CE²＝AE².在Rt△BDE中，根据勾股定理，得BD²＋DE²＝BE².∵AE＝BE，∴AE²＝BE²，即AC²＋CE²＝BD²＋DE².设CE＝xkm，则15²＋x²＝10²＋（25－x）²，解得x＝10.∴CE＝10km.

23.【解】（1）如图，过点P作PF∥QC交AB于点F，则△AFP是等边三角形，∠DQB＝∠DPF，

∴AP＝FP＝AF.

∵P，Q同时出发，速度相同，

∴BQ＝AP.∴BQ＝FP.

又∵∠BDQ＝∠FDP，

∴△DBQ≌△DFP（AAS），∴BD＝FD.

易知∠BDQ＝∠FDP＝∠FPD＝∠BQD＝30°，

∴DF＝FP＝AF.∴BD＝DF＝FA＝ AB＝ ×6＝2.

∴AP＝2.

（2）运动过程中线段ED的长不发生变化.

由（1）知BD＝DF，△APF是等边三角形，PE⊥AF，

∴AE＝EF.

又∵DE＋（BD＋AE）＝AB＝6，

∴DE＋（DF＋EF）＝6，

即DE＋DE＝6，∴DE＝3.

故运动过程中线段ED的长不发生变化.

24.（1）【证明】∵△BCD是等腰直角三角形，且∠BDC＝90°，∴BD＝CD，∠BDC＝∠CDA＝90°.

在△FBD和△ACD中，

∴△FBD≌△ACD（SAS）.

（2）【证明】∵BE⊥AC，∴∠BEA＝∠BEC＝90°.

∵BF平分∠DBC，∴∠ABE＝∠CBE.

又∵BE＝BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE.∴CE＝ AC.

由（1）知△FBD≌△ACD，

∴BF＝CA，∴CE＝ BF.

（3）【解】BG²＝GE²＋CE².证明如下：连接CG，

∵H是BC边的中点，BD＝CD，

∴HD垂直平分BC，∴BG＝CG.

∵BE⊥AC，∴在Rt△CEG中，CG²＝GE²＋CE²，

∴BG²＝GE²＋CE².

【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质及通过添加辅助线利用勾股定理解决问题.