第12章 全等三角形
1. (2023河南) 如图所示,以点M为圆心,MC长为半径画弧,与AD相交于点E,连接ME,过点C作CF⊥ME于F,且AD∥MC,∠MAD=90°,则△AEM≌△FMC的依据是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
2. (2023河北) 在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′=30°,AB=A′B′=6,AC=A′C′=4.已知∠C=n°,则∠C′=( )
A.30° B.n° C.n°或180°-n° D.30°或150°
3. (2023衢州) 如图,已知在△ABC和△DEF中,B,E,C,F在同一条直线上,下面四个条件:①AB=DE;②AC=DF;③BE=CF;④∠ABC=∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件,使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可);
(2)在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF.
类型二 情境题
4.如图,已知∠AOB,用第一把长方形直尺的一边与射线OB重合,再用第二把宽为2 cm的长方形直尺的一边与射线OA重合,两把直尺的另一边交于点P,若射线OP就是∠AOB的平分线,则第一把长方形直尺的宽是( )
A.1 cm B.2 cm C.2.1 cm D.2.2 cm
5.七巧板是我们祖先的一项卓越创造,虽然只有七块,但是可以拼出多种多样的图形.如图就是一个七巧板,这七块刚好拼成一个正方形.图中有三对全等的三角形,如△ABN≌△ADN,也有几对全等的四边形.
(1)请根据全等形的特征,求∠BAN的度数;
(2)请写出图中的另外两对全等的三角形.
类型三 数学文化
6. (2023兰州) 综合与实践:
问题探究:(1)如图①是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9:“平分一个已知角.”即:作一个已知角的平分钱,如图②是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法:在OA和OB上分别取点C和D,使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则OE就是∠AOB的平分线.
请写出OE平分∠AOB的依据:__________________________________;
类比迁移:
(2)小明根据以上信息研究发现:△CDE不一定必须是等边三角形,只需CE=DE即可.他查阅资料:我国古代已经用角尺平分任意角.作法如下:如图③,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同刻度分别与点M,N重合,则过角尺顶点C的射线OC是 ∠ AOB的平分线,请说明此做法的理由;
拓展实践:
(3)小明将研究应用于实践,如图④,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮),并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等,试问路灯应该安装在哪个位置?请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图⑤中作出路灯E的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
第12章 全等三角形
1.C 2.C
3.(1)解:根据题意,可以选择的条件为:①②③;或者选择的条件为:①③④.
(2)证明:当选择的条件为①②③时,
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).当选择的条件为①③④时,
∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
4.B
5.解:(1)∠BAN=45°.
(2)△ABD≌△CBD,△BEH≌△GMN.
6.解:(1)SSS
(2)∵OM=ON,CM=CN,OC=OC,
∴△OCM≌△OCN(SSS),
∴∠AOC=∠BOC,
∴射线OC是∠AOB的角平分线.
(3)如图,点E即为路灯E的位置.