第15章综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．【2024·长沙期中】下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )

2．【母题：教材P133练习T1】有一个内角是36°的等腰三角形，其他两个内角的度数分别是( )

A．36°，108°

B．72°，72°

C．36°，108°或72°，72°

D．36°，144°

3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，连接AA′，BB′，CC′，其中BB′分别交AC，A′C′于点D，D′，下列结论：①AA′∥BB′；②∠ADB＝∠A′D′B′；③直线l垂直平分 AA′；④直线AB与直线A′B′的交点不一定在直线l上．其中正确的是( )

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC 边上的高，若BD＝5，则CD等于( )

A．3 B．4 C．5 D．6

5．【2024·东营校级期末】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，若在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，则满足条件的格点C的个数是( )

A．5 B．6 C．8 D．9

6．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC，若BC＝12 cm，AB＝18 cm，则△EBC的周长为( )

A．24 cm B．28 cm C．30 cm D．36 cm

7．【2024·东莞市大岭山中学期中】下列条件不能得到等边三角形的是( )

A．有两个内角是60°的三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形

C．腰和底相等的等腰三角形 D．有两个角相等的等腰三角形

8．【2024·淮南田家庵区月考】如图，△ABC的面积为10 cm²，BP平分∠ABC，AP⊥BP于点P，连接PC，则△PBC的面积为( )

A．3 cm² B．4.5 cm² C．5 cm² D．6 cm²

9．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，

ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝( )

A．α B．90°－α C．120°－α D．2α－90°

10．如图，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于点F，交AB于点G，连接CP.下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PACS△PAB＝ACAB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF.其中正确的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．在平面直角坐标系中，点A和B关于x轴对称，若点A到x轴的距离是3 cm，则点B到x轴的距离是________cm.

12．【母题：教材P138练习T3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长度是________．

13．如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DB＝18，DE＝8，则CE的长为________．

14．【2024·淮南月考】△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.

(1)如图①，若AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则＝________；

(2)如图②，当AD平分∠BAC时，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S_△BDE＝6，则S_△ABC＝________．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．如图，已知OA和OB两条公路，以及C，D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等(即PC＝PD)，且P到OA，OB两条公路的距离相等，请作出车站P的位置．

16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°.

(1)作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD；

(2)下列结论正确的是____________(填序号)．

①BD平分∠ABC；②AD＝BC；③△BDC的周长等于AB＋BC的值；④AD＝CD.

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．【2024·铜陵期中】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB.若CD＝3，

AB＝10，△ABD的面积为15，则AD是∠BAC的平分线吗？请说明理由．

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC上的一点，AD＝AB.求证：∠BAD＝2∠C.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．如图，△ABC中，∠A＝96°，BC边的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若∠ABD∶∠DBC＝3∶2，求∠C的度数．

20．【2023·淮南大通区期末】如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，3)，B(－2，－2)，C(2，－1)．

(1)画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；

(2)写出点A₁，B₁，C₁的坐标；

(3)求△ABC的面积．

六、(本题满分12分)

21．【2024·芜湖期中】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB，AC的垂直平分线交于点P，两垂直平分线分别交△ABC的边于点G，D和点E，H，连接AD，AE，AP.

(1)求∠DAE的度数；

(2)求证：AP平分∠DAE.

七、(本题满分12分)

22．探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE.

(1)当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；

(2)当点D在BC边上(点B，C除外)运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；

(3)深入探究：如图②，若∠BAC≠90°，探究∠BAD与∠CDE的数量关系．

八、(本题满分14分)

23．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB.

(1)求证：AC垂直平分BD；

(2)过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，AB＝AF；

①求证：△BCD是等边三角形；

②如果G，H分别是线段AC，线段CD上的动点，当GH＋AH的值最小时，请确定点H的位置，思考此时GH与CH有怎样的数量关系，并说明理由．

答案

一、1．B　2．C　3．A　4．C　5．C　6．C　7．D　8．C　9．D

10．D　【点拨】∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBE，

∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE.

∵∠CBE＝∠CAB＋∠ACB，∠PBE＝∠PAB＋∠APB，

∴(∠CAB＋∠ACB)＝∠PAB＋∠APB.

∴∠ACB＝∠APB.

∴∠ACB＝2∠APB，故①正确；

如图，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥AD于点N，PS⊥BC于点S，则PM＝PN＝PS.

∴ S_△PAC∶S_△PAB＝ ∶＝AC ∶AB，CP平分∠BCD，故②正确；

∵BE＝BC，BP平分∠CBE，

∴BP垂直平分CE，故③正确；

∵PG∥AD，

∴∠FPC＝∠DCP.

∵CP平分∠DCB，

∴∠DCP＝∠PCF.

∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．

二、11．3　12．6　13．10　

14．(1)　(2)9　【点拨】(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

∵ AD是∠BAC的平分线，

∴DE＝DF.

∵AB＝5，AC＝3，

∴＝＝＝.

(2)∵AD＝DE，∴S_△ABD＝S_△BDE＝6.

∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC，

∴S_△ABD ∶S_△ACD＝AB∶AC＝4∶2＝2∶1.

∴S_△ACD＝3.∴S_△ABC＝S_△ABD＋S_△ACD＝6＋3＝9.

三、15．【解】如图．

16．【解】(1)如图．

(2)①②③

四、17．【解】AD是∠BAC的平分线．理由如下：

∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，

∴DE＝＝3.∴DE＝CD.

∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的平分线．

18．【证明】如图，过点A作AH⊥BC，垂足为H，

则∠AHB＝90°.

∴∠BAH＋∠B＝90°.

∵∠BAC＝90°，

∴∠B＋∠C＝90°.

∴∠BAH＝∠C.

∵AD＝AB，AH⊥BD，

∴∠BAD＝2∠BAH.

∴∠BAD＝2∠C.

五、19．【解】∵DE垂直平分BC，

∴DC＝BD.∴∠C＝∠DBC.

∵∠ABD ∶∠DBC＝3 ∶2，

∴设∠ABD＝3x，∠DBC＝2x.

∴∠C＝2x.

∴96°＋3x＋2x＋2x＝180°，解得x＝12°.

∴∠C＝24°.

20．【解】(1)△A₁B₁C₁如图所示．

(2)A₁(－1，3)，B₁(2，－2)，C₁(－2，－1)．

(3)△ABC的面积＝4×5－×4×1－×4×1－×3×5＝20－2－2－7.5＝8.5.

六、21．(1)【解】∵∠BAC＝120°，

∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝60°.

由题意得AD＝BD，AE＝CE，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE.

∴∠BAD＋∠CAE＝60°.

∴∠DAE＝∠BAC－(∠BAD＋∠CAE)＝60°.

(2)【证明】连接PB，PC，则PB＝PA，PA＝PC，

∴PB＝PC.∴∠PBD＝∠PCE.

∵PA＝PB，DA＝DB，

∴∠PAB＝∠PBA，∠DAB＝∠DBA.

∴∠PAD＝∠PBD.

同理得∠PAE＝∠PCE，

∴∠PAE＝∠PAD，

即AP平分∠DAE.

七、22．【解】(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠C＝45°.

∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°.

∵AD＝AE，∴∠AED＝75°.

∴∠CDE＝∠AED－∠C＝30°.

(2)设∠BAD＝x，则∠CAD＝90°－x.

∵AE＝AD，∴∠AED＝45°＋x.

∴∠CDE＝∠AED－∠C＝x.

∴∠BAD＝2∠CDE.

(3)设∠CDE＝a，∠C＝b，则∠AED＝b＋a.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝b.

∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝b＋a.

∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，

∴b＋∠BAD＝b＋a＋a.

∴∠BAD＝2a.

∴∠BAD＝2∠CDE.

八、23．(1)【证明】∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC，

∴AB＝AD，∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB.

∴∠CBE＝∠CDE.

∴ CB＝CD.

∴AC垂直平分BD.

(2)①【证明】如图①，

设∠F＝α.

∵AB＝AF，

∴∠ABF＝∠F＝α.

∵∠BAC是△ABF的外角，

∴∠BAC＝∠F＋∠ABF＝2α.

由(1)知AC⊥BD，CB＝CD，

∴∠BCE＝∠DCE.

∵BF∥CD，∴∠F＝∠DCE.

∴∠BCE＝∠F＝α.

∵∠ABC＝90°，

∴∠BCE＋∠BAC＝90°.

∴α＋2α＝90°.∴α＝30°.

∴∠BCD＝30°＋30°＝60°.

又∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．

②【解】当GH＋AH的值最小时，CH＝2GH.

理 由：如图②，作点A关于CD的对称点A′，过点A′作A′G⊥AC于点G，交CD于点H，则AH＝A′H，

∴GH＋AH＝GH＋A′H＝A′G.

易知此时GH＋AH的值最小．

由①知∠DCE＝30°，

∵A′G⊥AC，

∴∠CGH＝90°.

∴CH＝2GH.

∴当GH＋AH的值最小时，CH＝2GH.