【323747】2024八年级数学上册 第二章 分式与分式方程综合素质评价 鲁教版五四制

第二章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1.[2023·烟台龙口市期中]分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)

A. x＝－1 B. x≠－1 C. x≠0 D. x＞－1

2.[2023·威海荣成市月考]分式 ， ， 的最简公分母是(　　)

A.2x B.2x－4 C.2x(2x－4) D.2x(x－2)

3.[2023·常州]若代数式 的值是0，则实数x的值是(　　)

A.－1 B.0 C.1 D.2

4.[2024·日照东港区期末]若分式 中a，b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值(　　)

A.不变 B.扩大到原来的2倍

C.扩大到原来的4倍 D.扩大到原来的6倍

5.化简 ÷ · 的结果是(　　)

A.－x² B.－x³ C.－x²y⁴ D.－

6.小敏在做数学作业时，不小心将某式子中除号后边的代数式污染了，即 ÷*，通过查看答案可知，该式子的计算结果为 ，则被污染的代数式*为(　　)

A. B. C. D.

7.[2024 潍坊期末新考法整体代入法]已知 － ＝2，则代数式 的值为(　　)

A.3 B.－3 C.2 D.－2

8.[新考向数学文化]《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改用快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为(　　)

A. ＝2× B. ＝2×

C. ＝2× D. ＝2×

9.若关于x的方程 ＋ ＝2－ 有增根x＝－1，则2a－3的值为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.6

10.[2023·重庆改编]若关于x的不等式组 的解集为x＜－2，且关于y的分式方程 ＋ ＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　)

A.10 B.12 C.13 D.15

二、填空题(每题3分，共18分)

11.[母题教材P22习题T1]式子－ a， ， ， ， 中，分式有　　　　______个.

12.计算： ＋ ＝　　　　.

13.[2024 临沂期末新视角条件开放题]已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x²－1，从中任选两张卡片，则卡片上的整式能组成的一个最简分式为　　　　.(写出一个分式即可)

14.[2023·衡阳]已知x＝5，则代数式 － 的值为　　　　.

15.某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务，按刚好在规定时间完成任务的工作效率加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成了任务，则原来每天加工帐篷　　　　顶.

16.[新视角规律探究题]观察等式： ＝1－ ， ＝ － ， ＝ － ，将这三个等式的两边分别相加，得 ＋ ＋ ＝1－ ＋ － ＋ － ＝1－ ＝ .

(1)猜想： ＝　　　　；

(2)分式方程 ＋ ＋ ＝1的解是　　　　.

三、解答题(共72分)

17.(6分)计算：

(1)[2023·南通] · － ；

(2)[2023·襄阳] ÷ .

18.(8分)解分式方程：

(1) －1＝ ；

(2) － ＝ .

19.(8分)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整.

例：先化简，再求值： － ，其中a＝100.

解：原式＝ － ……

20.(8分)[2023·广东]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.

21.(8分)[2023 广州新视角条件开放题]已知a＞3，代数式：A＝2a²－8，B＝3a²＋6a，C＝a³－4a²＋4a.

(1)因式分解A；

(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

22.(10分)已知关于x的分式方程 ＋ ＝2.

(1)若该分式方程有增根，求m的值；

(2)若该分式方程的解是正数，求m的取值范围.

23.(12分)[新考法阅读类比法]阅读下面的材料，然后解答问题.

解方程： － ＝0.

解：设y＝ ，则原方程化为y－ ＝0，

方程两边同时乘y，得y²－4＝0，解得y＝2或y＝－2.

经检验，y＝2或y＝－2都是方程y－ ＝0的解.

当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；

当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .

经检验，x＝－1或x＝ 都是原分式方程的解.

∴原分式方程的解为x＝－1或x＝ .

上述这种解分式方程的方法被称为换元法.

问题：模仿上述换元法解方程： － －1＝0.

24.(12分)[2023·济宁改编]为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.

(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？

(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的 .问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？

答案及点拨

一、1. B　2. D　3. B　4. C

5. D　【点拨】原式＝ · · ＝－ .

6. C　【点拨】被污染的代数式*为 ÷ ＝ ·

(1－a)＝ ·[－(a－1)]＝ .

7. B　【点拨】∵ － ＝2，

∴ ＝2，∴y－x＝2xy，

∴ ＝ ＝ ＝ ＝－3.

8. B　【点拨】∵规定时间为x天，

∴慢马所需时间为(x＋1)天，快马所需时间为(x－3)天.

又∵快马的速度是慢马的2倍，送信所要走的路程为900里，

∴ ＝2× .

9. B　【点拨】方程两边都乘x(x＋1)，

得3(x＋1)＋ax²＝2x(x＋1)－3x，

∵原方程有增根x＝－1，

将x＝－1代入上述整式方程，得a＝3，∴2a－3＝3.

10. C　【点拨】

解不等式①，得x＜－2，

解不等式②，得x＜－ .

∵关于x的不等式组 的解集为x＜－2，

∴－ ≥－2，解得a≤5，

方程 ＋ ＝2可化为a＋2－y－2＝2(y－1)，解得y＝ .

∵关于y的分式方程 ＋ ＝2的解为正数，

∴ ＞0且 －1≠0，解得a＞－2且a≠1，

∴－2＜a≤5且a≠1，

∴所有满足条件的整数a的值之和为－1＋0＋2＋3＋4＋5＝13.

二、11.3　12. 　13. (答案不唯一)

14. 　【点拨】原式＝ － ＝ ＝ .

∵x＝5，∴ ＝ ＝ ＝ .

15.100　【点拨】设原来每天加工帐篷x顶，

根据题意，得 ＋ ＋4＝ ，

解得x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的根.

∴原来每天加工帐篷100顶.

16.(1) － 　(2)x＝5

三、17.【解】(1)原式＝ · － ＝ － ＝ ＝1.

(2)原式＝ ÷ ＝ · ＝ .

18.【解】(1)方程两边同乘x(x＋5)，

得2x²－x(x＋5)＝(x＋5)²，

去括号，得2x²－x²－5x＝x²＋10x＋25，

移项、合并同类项，得－15x＝25，解得x＝－ ，

经检验，x＝－ 是分式方程的解，

∴原方程的解为x＝－ .

(2)方程两边同乘(x－1)(x＋1)，

得x＋1－2(x－1)＝4，解得x＝－1.

经检验，当x＝－1时，x²－1＝0，

∴原分式方程无解.

19.【解】∵第一步进行的是通分，

∴ ＝ ＝ ，∴M＝a，

原式＝ － ＝ ＝ ＝

＝1－ ，当a＝100时，原式＝1－ ＝ .

20.【解】设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，

根据题意，得 － ＝ ，解得x＝12.

经检验，x＝12是原分式方程的解，

答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.

21.【解】(1)A＝2a²－8＝2(a²－4)＝2(a＋2)(a－2).

(2)(答案不唯一)选择代数式A，B：

＝ ＝ ＝ ，

＝ ＝ ＝ .

22.【解】去分母，得2－x－m＝2x－4，

整理，得6－m＝3x，

(1)由分式方程有增根，得x－2＝0，即x＝2，

把x＝2代入6－m＝3x，得m＝0.

(2)解分式方程，得x＝ ，

根据分式方程的解为正数，得 ＞0，且 ≠2，

解得m＜6且m≠0.

23.【解】原方程化为 － ＝0，

设y＝ ，则原方程化为y－ ＝0，

方程两边同时乘y，得y²－1＝0，

解得y＝1或y＝－1，

经检验，y＝1或y＝－1都是方程y－ ＝0的解，

当y＝1时， ＝1，该方程无解，

当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，

经检验，x＝－ 是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为x＝－ .

24.【解】(1)设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为(x－0.3)万元，

由题意，得 ＝ ，解得x＝1.2，

经检验，x＝1.2是原分式方程的解，

则x－0.3＝0.9.

答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.

(2)设购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩(25－a)个，

由题意，得 解得 ≤a≤ .

∵a为非负整数，∴a可取14，15，16，

∴共有三种方案，

方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个，购买费用为0.9×14＋1.2×11＝25.8(万元)；

方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个，购买费用为0.9×15＋1.2×10＝25.5(万元)；

方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个，购买费用为0.9×16＋1.2×9＝25.2(万元).

∵25.2＜25.5＜25.8，∴方案三所需购买总费用最少.