第二章综合素质评价
题 号 |
一 |
二 |
三 |
总 分 |
得 分 |
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一、选择题(每题3分，共30分)
1.[2023·烟台龙口市期中]分式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x＝－1 B. x≠－1 C. x≠0 D. x＞－1
2.[2023·威海荣成市月考]分式
，
，
的最简公分母是( )
A.2x B.2x－4 C.2x(2x－4) D.2x(x－2)
3.[2023·常州]若代数式
的值是0，则实数x的值是( )
A.－1 B.0 C.1 D.2
4.[2024·日照东港区期末]若分式
中a，b的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值( )
A.不变 B.扩大到原来的2倍
C.扩大到原来的4倍 D.扩大到原来的6倍
5.化简
÷
·
的结果是( )
A.－x2 B.－x3 C.－x2y4 D.－
6.小敏在做数学作业时，不小心将某式子中除号后边的代数式污染了，即
÷*，通过查看答案可知，该式子的计算结果为
，则被污染的代数式*为( )
A.
B.
C.
D.
7.[2024
潍坊期末新考法整体代入法]已知
－
＝2，则代数式
的值为( )
A.3 B.－3 C.2 D.－2
8.[新考向数学文化]《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改用快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为x天，则可列出正确的方程为( )
A.
＝2×
B.
＝2×
C.
＝2×
D.
＝2×
9.若关于x的方程
＋
＝2－
有增根x＝－1，则2a－3的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
10.[2023·重庆改编]若关于x的不等式组
的解集为x＜－2，且关于y的分式方程
＋
＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A.10 B.12 C.13 D.15
二、填空题(每题3分，共18分)
11.[母题教材P22习题T1]式子－
a，
，
，
，
中，分式有 ______个.
12.计算：
＋
＝ .
13.[2024 临沂期末新视角条件开放题]已知三张卡片上面分别写有6，x－1，x2－1，从中任选两张卡片，则卡片上的整式能组成的一个最简分式为 .(写出一个分式即可)
14.[2023·衡阳]已知x＝5，则代数式
－
的值为 .
15.某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务，按刚好在规定时间完成任务的工作效率加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成了任务，则原来每天加工帐篷 顶.
16.[新视角规律探究题]观察等式：
＝1－
，
＝
－
，
＝
－
，将这三个等式的两边分别相加，得
＋
＋
＝1－
＋
－
＋
－
＝1－
＝
.
(1)猜想：
＝ ；
(2)分式方程
＋
＋
＝1的解是 .
三、解答题(共72分)
17.(6分)计算：
(1)[2023·南通]
·
－
；
(2)[2023·襄阳]
÷
.
18.(8分)解分式方程：
(1)
－1＝
；
(2)
－
＝
.
19.(8分)下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式.请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整.
例：先化简，再求值：
－
，其中a＝100.
解：原式＝
－
……
20.(8分)[2023·广东]某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.
21.(8分)[2023 广州新视角条件开放题]已知a＞3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a，C＝a3－4a2＋4a.
(1)因式分解A；
(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.
22.(10分)已知关于x的分式方程
＋
＝2.
(1)若该分式方程有增根，求m的值；
(2)若该分式方程的解是正数，求m的取值范围.
23.(12分)[新考法阅读类比法]阅读下面的材料，然后解答问题.
解方程：
－
＝0.
解：设y＝
，则原方程化为y－
＝0，
方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y＝2或y＝－2.
经检验，y＝2或y＝－2都是方程y－
＝0的解.
当y＝2时，
＝2，解得x＝－1；
当y＝－2时，
＝－2，解得x＝
.
经检验，x＝－1或x＝
都是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x＝－1或x＝
.
上述这种解分式方程的方法被称为换元法.
问题：模仿上述换元法解方程：
－
－1＝0.
24.(12分)[2023·济宁改编]为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等.
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的
.问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
答案及点拨
一、1. B 2. D 3. B 4. C
5.
D 【点拨】原式＝
·
·
＝－
.
6.
C 【点拨】被污染的代数式*为
÷
＝
·
(1－a)＝
·[－(a－1)]＝
.
7. B 【点拨】∵
－
＝2，
∴
＝2，∴y－x＝2xy，
∴
＝
＝
＝
＝－3.
8. B 【点拨】∵规定时间为x天，
∴慢马所需时间为(x＋1)天，快马所需时间为(x－3)天.
又∵快马的速度是慢马的2倍，送信所要走的路程为900里，
∴
＝2×
.
9. B 【点拨】方程两边都乘x(x＋1)，
得3(x＋1)＋ax2＝2x(x＋1)－3x，
∵原方程有增根x＝－1，
将x＝－1代入上述整式方程，得a＝3，∴2a－3＝3.
10. C 【点拨】
解不等式①，得x＜－2，
解不等式②，得x＜－
.
∵关于x的不等式组
的解集为x＜－2，
∴－
≥－2，解得a≤5，
方程
＋
＝2可化为a＋2－y－2＝2(y－1)，解得y＝
.
∵关于y的分式方程
＋
＝2的解为正数，
∴
＞0且
－1≠0，解得a＞－2且a≠1，
∴－2＜a≤5且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值之和为－1＋0＋2＋3＋4＋5＝13.
二、11.3 12.
13.
(答案不唯一)
14.
【点拨】原式＝
－
＝
＝
.
∵x＝5，∴
＝
＝
＝
.
15.100 【点拨】设原来每天加工帐篷x顶，
根据题意，得
＋
＋4＝
，
解得x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的根.
∴原来每天加工帐篷100顶.
16.(1)
－
(2)x＝5
三、17.【解】(1)原式＝
·
－
＝
－
＝
＝1.
(2)原式＝
÷
＝
·
＝
.
18.【解】(1)方程两边同乘x(x＋5)，
得2x2－x(x＋5)＝(x＋5)2，
去括号，得2x2－x2－5x＝x2＋10x＋25，
移项、合并同类项，得－15x＝25，解得x＝－
，
经检验，x＝－
是分式方程的解，
∴原方程的解为x＝－
.
(2)方程两边同乘(x－1)(x＋1)，
得x＋1－2(x－1)＝4，解得x＝－1.
经检验，当x＝－1时，x2－1＝0，
∴原分式方程无解.
19.【解】∵第一步进行的是通分，
∴
＝
＝
，∴M＝a，
原式＝
－
＝
＝
＝
＝1－
，当a＝100时，原式＝1－
＝
.
20.【解】设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，
根据题意，得
－
＝
，解得x＝12.
经检验，x＝12是原分式方程的解，
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
21.【解】(1)A＝2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2).
(2)(答案不唯一)选择代数式A，B：
＝
＝
＝
，
＝
＝
＝
.
22.【解】去分母，得2－x－m＝2x－4，
整理，得6－m＝3x，
(1)由分式方程有增根，得x－2＝0，即x＝2，
把x＝2代入6－m＝3x，得m＝0.
(2)解分式方程，得x＝
，
根据分式方程的解为正数，得
＞0，且
≠2，
解得m＜6且m≠0.
23.【解】原方程化为
－
＝0，
设y＝
，则原方程化为y－
＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，
解得y＝1或y＝－1，
经检验，y＝1或y＝－1都是方程y－
＝0的解，
当y＝1时，
＝1，该方程无解，
当y＝－1时，
＝－1，解得x＝－
，
经检验，x＝－
是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝－
.
24.【解】(1)设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为(x－0.3)万元，
由题意，得
＝
，解得x＝1.2，
经检验，x＝1.2是原分式方程的解，
则x－0.3＝0.9.
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元.
(2)设购买A型充电桩a个，则购买B型充电桩(25－a)个，
由题意，得
解得
≤a≤
.
∵a为非负整数，∴a可取14，15，16，
∴共有三种方案，
方案一：购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个，购买费用为0.9×14＋1.2×11＝25.8(万元)；
方案二：购买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个，购买费用为0.9×15＋1.2×10＝25.5(万元)；
方案三：购买A型充电桩16个，购买B型充电桩9个，购买费用为0.9×16＋1.2×9＝25.2(万元).
∵25.2＜25.5＜25.8，∴方案三所需购买总费用最少.