【323743】2024八年级数学上册 第14章 勾股定理综合素质评价（新版）华东师大版

第14章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2024·宁德八年级期末]如图，有两棵树，一棵高20m，另一棵高10m，两树相距24m，若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行(　　)

A．26m B．30m C．36m D．40m

　　 　　 　　 　　

　　　(第1题)　　　　(第3题)　　(第5题)　　　(第7题)

2．[2024·鄞州实验中学期中]用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设(　　)

A．a，b中至多有一个是0 B．a，b中至少有两个是0

C．a，b中没有一个是0 D．a，b都等于0

3．[2024·汝州八年级期末]在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在小正方形顶点上，则下列结论错误的是(　　)

A．AB＝ B．∠BAC＝90°

C．S_△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2

4．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)²＋｜a²＋b²－c²｜＝0，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

5．[2024·青岛市南区期末]葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其常绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，把树干看成圆柱体，如图是葛藤盘旋一圈的示意图．现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高4．8m，树干底面周长是1m，则这段葛藤的长是(　　)

A．2．6m B．5m C．5．2m D．5．6m

6．一艘快艇欲驶向正东方向24km远的A处，速度为50km/h，由于水流原因，半小时后快艇到达位于A处正南方向的B处，此时快艇距离A处(　　)

A．25km B．24km C．7km D．1km

7．[新考法·折叠对称法]如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的D'处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为(　　)

A． B．3 C．1 D．

8 ．如图为某楼梯的示意图，测得楼梯的长为5m，高为3m．计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要(　　)

A．5m B．7m

C．8m D．12m

9．[新考法·数形结合法]有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　　)

1 0．[2023·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，作DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是(　　)

A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE

C．AD＝ D．CD∶BD＝3∶5

二、填空题(每题3分，共24分)

11．在Rt△ABC中，斜边AB＝5，则AB²＋AC²＋BC²＝　　　　．

12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC＝17，BC＝16，AD＝15，则AB的长为　　　　．

(第12题)　(第14题)　　(第15题)　　(第16题)　(第17题)

13．若直角三角形两条边的长分别为8和15，且第三条边的长为整数，则第三条边的长为　　　　．

14．[2024·泉州第五中学模拟]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点D为△ABC内一点，且AD＝8cm，如果将△ABD按逆时针方向旋转到△ACE的位置，那么DE的长度为　　　　cm．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为　　　　．

16．[2024·南通崇川区八年级期末]如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为　　　　．

17．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1．在AC上有一动点P，则EP＋BP的最短长度为　　　　．

18．[新趋势·传承数学文化 2023 南通]勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝ m²－ ，c＝ m²＋ ，m是大于1的奇数，则b＝　　　　(用含m的式子表示)．

三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)

19．如图，在锐角三角形ABC中，高AD＝12，边AC＝13，BC＝14．求AB的长．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝13，△ABD的面积为78，求CD的长度．

21．[2024·南宁天桃实验学校月考]用反证法证明：

(1)已知：a＜｜a｜，求证：a必为负数；

(2)求证：形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．

22．如图，一只蜘蛛在一个长方体实心木块的顶点A处，一只苍蝇在这个长方体实心木块的顶点G处．若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是多少？

23．[2024·驻马店八年级期末]周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，如图，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1．65米．

(1)求风筝的垂直高度CE．

(2)如果小明想将风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？

24．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝ ，点D在AB边上，连结CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连结BE，DE．

(1)求证：△CAD≌△CBE．

(2)若AD＝2时，求CE的长．

(3)点D在AB上运动时，试探究AD²＋BD²的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

答案

一、1．A【点拨】如图，建立数学模型，则CD＝20m，BE＝10m，DE＝24m，四边形ABED是长方形，∴两棵树的高度差AC＝CD－AD＝CD－BE＝20－10＝10(m)，间距AB＝DE＝24m，∴根据勾股定理可得，小鸟至少飞行的距离BC＝ ＝ ＝26(m)．故选A．

2．C

3．C【点拨】∵AC＝ ＝ ，AB＝ ＝ ，BC＝ ＝5，∴AB²＋AC²＝BC²．∴∠BAC＝90°，故A，B选项正确；S_△ABC＝4×4－ ×3×4－ ×4×2－ ×2×1＝5，故C选项错误；设点A到直线BC的距离是d，则S_△ABC＝ BC×d＝5，∴d＝ ＝2，故D选项正确．故选C．

4．C【点拨】∵(a－b)²＋｜a²＋b²－c²｜＝0，(a－b)²≥0，｜a²＋b²－c²｜≥0，∴(a－b)²＝0，a²＋b²－c²＝0．∴a＝b，a²＋b²＝c²．∴△ABC是等腰直角三角形．

5．C　6．C

7．A【点拨】在长方形ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠D＝∠B＝90°，∴AC＝ ＝5．

根据折叠可得△DEC≌△D'EC，∴D'C＝DC＝3，DE＝D'E，∠ED'C＝∠D＝90°．∴AD'＝AC－CD'＝2，∠AD'E＝90°．设ED＝x，则D'E＝x，AE＝4－x．∵在Rt△AED'中，D'A²＋D'E²＝AE²，∴2²＋x²＝(4－x)²，解得x＝ ．即ED＝ ．

8．B【点拨】由勾股定理得，楼梯的水平宽度＝ ＝4(m)，∴地毯的长度至少是3＋4＝7(m)．

9．C【点拨】∵7²＋20²≠25²，15²＋20²≠24²，∴选项A给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意；∵7²＋24²＝25²，15²＋20²≠24²，∴选项B给出图中的一个三角形是直角三角形，另一个不是直角三角形，不符合题意；

∵7²＋24²＝25²，15²＋20²＝25²，∴选项C给出图中的两个三角形是直角三角形，符合题意；∵7²＋20²≠25²，15²＋24²≠25²，∴选项D给出图中的两个三角形不是直角三角形，不符合题意．故选C．

10．C【点拨】由题意可知，AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD，故A结论正确，不符合题意；∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴由角平分线的性质得CD＝DE，故B结论正确，不符合题意；在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ ＝8．∵S_△ABC＝S_△ACD＋S_△BAD，∴ AC·BC＝ CD·AC＋ AB·DE．∴ ×6×8＝ ×CD×6＋ ×10×CD．∴CD＝3．∴AD＝ ＝ ，故C结论错误，符合题意；∵CD＝3，BD＝BC－CD＝5，∴CD∶BD＝3∶5，故D结论正确，不符合题意．故选C．

二、11．50　12．17

13．17【点拨】当15为直角边长时，斜边长为 ＝17；当15为斜边长时，另一直角边长为 ＝ (不合题意，舍去)．

14． 【点拨】由旋转得∠DAE＝∠BAC＝90°，AE＝AD＝8cm，∴DE＝ ＝ (cm)．

15． 【点拨】∵CE∥AB，∴∠BAD＝∠CED．∵点D为BC的中点，∴BD＝CD．

又∵∠BDA＝∠CDE，∴△BDA≌△CDE(A．A．S．)．∴BA＝CE＝5．

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝ ＝ ＝3．∴CD＝ BC＝ ．

16．2【点拨】根据勾股定理可得AD²＝AB²－BD²＝16－8＝8，CD²＝AC²－AD²＝10－8＝2．∴第四个正方形的面积为2．

17．5【点拨】连结DE，与AC交于点P，此时EP＋BP最短，且最短长度为DE的长．

因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝AB＝AE＋EB＝3＋1＝4，

所以DE²＝AE²＋AD²＝3²＋4²＝25，

所以DE＝5，即EP＋BP的最短长度为5．

18．m【点拨】∵现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边．∴a²＋b²＝c²．

∴ ＋b²＝ ，得到 m⁴－ m²＋ ＋b²＝ m⁴＋ m²＋ ．∴b²＝m²．∴b＝｜m｜．∵m是大于1的奇数，∴b＝m．

三、19．【解】在Rt△ADC中，AD＝12，AC＝13，所以由勾股定理，得CD²＝AC²－AD²＝25．

所以CD＝5．

因为BC＝14，所以BD＝9．

所以在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB²＝AD²＋BD²＝225．

所以AB＝15．

20．【解】∵∠C＝90°，DA＝13，△ABD的面积为78，

∴S_△DAB＝ DA·BC＝ ×13×BC＝78．

∴BC＝12．

∵在Rt△BCD中，CD²＋BC²＝BD²，

∴CD²＋12²＝13²，

解得CD＝5(负值已舍去)．即CD的长度为5．

21．【证明】(1)假设a≥0，则｜a｜＝a，这与已知a＜｜a｜相矛盾，∴假设不成立．∴a必为负数．

(2)假设形如4n＋3(n为整数)的整数k能化成两个整数的平方和．不妨设这两个整数为α，β，则4n＋3＝α²＋β²．∵4n＋3＝(n＋2)²＋(－n²－1)≠α²＋β²，∴假设不成立．∴形如4n＋3(n为整数)的整数k不能化为两个整数的平方和．

22．【解】分三种情况讨论：

(1)如图①，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．

因为AB＝3cm，BC＝5cm，

所以AC＝AB＋BC＝3＋5＝8(cm)．

所以在Rt△ACG中，AG＝ ＝ ＝10(cm)．

(2)如图②，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．

在Rt△ABG中，因为BG＝5＋6＝11(cm)，AB＝3cm，所以AG＝ ＝ ＝ (cm)．

(3)如图③，连结AG，此时蜘蛛沿AG爬行路程最短．

在Rt△AFG中，因为AF＝6＋3＝9(cm)，GF＝5cm，所以AG＝ ＝ ＝ (cm)．

因为 cm＞ cm＞10cm，

所以蜘蛛按情况(1)中的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛走过的路程是10cm．

23．【解】(1)由题意可知BC＝20米，BD＝12米，CD⊥BD，DE＝AB＝1．65米．∴在Rt△CDB中，由勾股定理得CD＝ ＝ ＝16(米)．∴CE＝CD＋DE＝16＋1．65＝17．65(米)．故风筝的垂直高度CE为17．65米．

(2)如图，∵风筝沿CD方向下降7米，即CC'＝7米，∴C'D＝16－7＝9(米)，∴BC'＝ ＝ ＝15(米)，∴相比下降之前，BC缩短长度为20－15＝5(米)，

∴他应该往回收线5米．

24．【解】(1)由题意可知∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE．∴△CAD≌△CBE(S．A．S．)．

(2)∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝ ，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，AB＝6．∴BD＝AB－AD＝6－2＝4．

∵△CAD≌△CBE，∴BE＝AD＝2，∠CBE＝∠CAD＝45°．∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝90°．

∴DE＝ ＝ ．

∵在Rt△CDE中，CD＝CE，CE²＋CD²＝DE²，∴2CE²＝20．∴CE＝ ．

(3)存在．由(2)可知AD²＋BD²＝BE²＋BD²＝DE²＝CD²＋CD²＝2CD²，∴当CD最小时，AD²＋BD²的值最小．此时CD⊥AB．

∵△ABC为等腰直角三角形，∴当CD⊥AB时，AD＝BD．易得此时△ACD为等腰直角三角形，∴CD＝AD＝ AB＝ ×6＝3．

∴AD²＋BD²的最小值为2×3²＝18．