第13章综合素质评价
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．【2024·合肥瑶海区期中】以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，5，10 D．4，4，8
2．【母题：教材P73练习T3】在下列各图中，正确画出△ABC边AC上的高的是( )
3．【2024·合肥四十八中月考】若一个三角形的三个内角度数的比为2∶3∶4，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．【2024·六安裕安中学校级期中】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为( )
A．45° B．60° C．75° D．15°
5．如图，BE，CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC＝130°，则∠A＝( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．【2024·芜湖期中】如图，在△ABC中，点D为边BC上的一点，点E为AD的中点，且S△ABC＝4 cm2，则S△BEC＝( )
A．2 cm2
B．1 cm2
C．0.5 cm2
D．0.25 cm2
7．如图，在△ABC中，CE和AD分别是AB，BC边上的高，若AD＝12，CE＝16，则的值为( )
A． B． C． D．
8．下列命题中，真命题有( )
①如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
③如果a·b＝0，那么a＝b＝0;
④如果a＝b，那么a3＝b3.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．【2024·宣城宣州区期中】如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在A′处，折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )
A．γ＝180°－α－β B．γ＝α＋2β C．γ＝2α＋β D．γ＝α＋β
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，CF平分∠ACB的补角∠ACE，交BA的延长线于点F，交BD的延长线于点M.下列结论：
①∠BMC＝∠MBC＋∠F；
②∠ABD＋∠BAD＝∠DCM＋∠DMC；
③2∠BMC＝∠BAC；
④2(∠BDC＋∠F)＝3∠BAC.
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．命题“对顶角相等”的逆命题是______________________．
12．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大4.若AB＝10，则AC＝________.
13. 《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”．意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”，即1宣＝矩，1欘＝1宣(其中，1矩＝90°)．问题：图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝________度．
14．【2024·滁州天长市期中】如图，AC，BD相交于点O，BP，CP分别平分∠ABD，∠ACD，且交于点P.
(1)若∠A＝70°，∠D＝60°，则∠P＝________°；
(2)若∠A∠D∠P＝24x，则x＝________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)三角形三个内角的和等于180°；
(2)两直线平行，同旁内角互补．
16．【2024·滁州育才中学月考】如图，DE∥BC，∠1＝∠3，CD⊥AB，求证：FG⊥AB.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．【2023·合肥大地中学月考】有人说：“如果△ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，那么△ABC一定是等腰三角形．”你同意这个说法吗？请给出你的理由．
18．如图，△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于点O，若∠ABC＝40°，∠C＝60°，求∠DAE，∠BOE的度数．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在△ABC中(AB＞AC)，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
(1)若DE＝2，求BC的长；
(2)若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC
的长．
20．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2.
(1)求m的取值范围；
(2)若△ABC是等腰三角形，求m的值及△ABC的周长．
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点O.
(1)当∠ABC＝60°，∠ACD＝130°时，求∠BOC的度数；
(2)求证：∠O＝∠A.
七、(本题满分12分)
22．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
求证：△ABD是“准直角三角形”；
(2)下列说法：
①在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则△ABC是“准直角三角形”；
②若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中正确的是________；(填序号)
(3)如图②，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°.若P是直线l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数．
八、(本题满分14分)
23．问题情境：如图，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
(1)特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC＋∠ACB＝________°，∠PBC＋∠PCB＝________°，∠ABP＋∠ACP＝________°.
(2)类比探索：试猜想∠ABP＋∠ACP与∠A的关系，并说明理由．
(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断(2)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
答案
一、1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B
9．C
点方法：在解决折叠问题时，要分清楚折叠前后重合的角，即相等角，进而找到角之间的等量关系．
10．D
二、11．相等的两个角是对顶角 12．6 13．22.5
14．(1)65 (2)3 【点拨】(1)由对顶角相等可得∠DOC＝
∠AOB.
设∠DOC＝∠AOB＝a，在△DOC中，∠DCO＝180°－∠D－∠DOC＝120°－a.
∵CP平分∠ACD，
∴∠PCA＝∠DCO＝60°－a.
在△AOB中，∠ABO＝180°－∠A－∠AOB＝110°－a.
∵BP平分∠ABD，
∴∠PBA＝∠ABO＝55°－a.
∵∠AFP是△PCF的外角，
∴∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠P＋60°－a.
∵∠AFP是△ABF的外角，
∴∠AFP＝∠A＋∠ABF＝125°－a.
∴∠P＋60°－a＝125°－a.∴∠P＝65°.
(2)设∠A＝2k，∠D＝4k，∠P＝xk，∠DOC＝∠AOB＝b.
∵∠DCO＝180°－∠D－∠DOC，
∴∠PCF＝∠DCO＝(180°－4k－b)．
∵∠ABO＝180°－∠A－∠AOB，
∴∠PBA＝∠ABO＝(180°－2k－b)．
∵∠AFP＝∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∴xk＋(180°－4k－b)＝2k＋(180°－2k－b)，
解得x＝3.
三、15．【解】(1)内角和等于180°的多边形是三角形；真命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题．
16．【证明】∵DE∥BC，∴∠1＝∠2.
又∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴CD∥FG.
又∵CD⊥AB，∴FG⊥AB.
四、17．【解】同意．理由如下：
∵a2－b2＝ac－bc，∴(a＋b)(a－b)＝c(a－b)．
∴(a＋b－c)(a－b)＝0.
∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋b－c>0.
∴a－b＝0，即a＝b.
∴△ABC一定是等腰三角形．
18．【解】∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝80°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝40°.
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∴在△ADC中，∠DAC＝90°－∠C＝90°－60°＝30°.
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝40°－30°＝10°.
∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC＝40°，
∴∠FBC＝∠ABC＝20°.
∵∠C＝60°，∴∠AFO＝∠FBC＋∠C＝80°.
∴∠AOF＝180°－∠EAC－∠AFO＝60°.
∴∠BOE＝∠AOF＝60°.
五、19．【解】(1)∵AE是△ACD的中线，DE＝2，
∴CD＝2DE＝2×2＝4.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∴BC＝2×4＝8.
(2)∵△ABC的周长为35，∴AB＋AC＋BC＝35.
又∵BC＝11，∴AB＋AC＝24.
∵△ABD与△ACD的周长差为3，
∴(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD)＝AB－AC＝3，
则解得
∴AC的长为10.5.
20．【解】(1)∵在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m－2，
∴20－8<2m－2<20＋8，解得7<m<15.
∴m的取值范围是7<m<15.
(2)分两种情况：
①当AB＝AC时，2m－2＝20，解得m＝11.
此时△ABC的周长＝20＋20＋8＝48；
②当BC＝AC时，
2m－2＝8，解得m＝5.
∵7<m<15，∴此种情况不合题意．
综上所述，m的值为11，△ABC的周长为48.
六、21．(1)【解】∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠CBO＝∠ABC＝30°，∠DCO＝∠ACD＝65°.
∵∠DCO是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO－∠CBO＝35°.
(2)【证明】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A＝∠ACD－∠ABC.
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠DCO＝∠ACD，∠CBO＝∠ABC.
∵∠DCO是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO－∠CBO＝(∠ACD－∠ABC)＝∠A.
七、22．(1)【证明】∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠A＝90°.
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABD.
∴2∠ABD＋∠A＝90°.
∴△ABD是“准直角三角形”．
(2)①③
(3)【解】∠APB的度数为10°或20°或40°或110°.
八、23．【解】(1)125；90；35
(2)猜想：∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A.
∵∠ABC＝∠ABP＋∠PBC，∠ACB＝∠ACP＋∠PCB，
∴∠ABP＋∠PBC＋∠ACP＋∠PCB＝180°－∠A.
∴(∠ABP＋∠ACP)＋(∠PBC＋∠PCB)＝180°－∠A.
∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC＋∠PCB＝90°.
∴∠ABP＋∠ACP＋90°＝180°－∠A.
∴∠ABP＋∠ACP＝90°－∠A.
(3)(2)中的结论不成立．
∠A＋∠ACP－∠ABP＝90°或∠A＋∠ABP－∠ACP＝90°或∠A－∠ABP－∠ACP＝90°.