第14章综合素质评价

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．在下列各组图形中，是全等形的是( )

2．【2024·阜阳太和中学月考】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )

A．53° B．70° C．60° D．57°

3．下列条件中，不能确定△ABC的形状和大小的是(　　)

A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，AC＝4，∠B＝45°

C．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°

4．【2024·淮南期中】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连接OC，可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线，则△OMC≌△ONC的理由是( )

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

5．【母题：教材P112习题T6】如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是带哪块去？( )

A．① B．② C．③ D．①和②

6 ．【2023·铜陵铜官区期末】如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿BC方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移的距离为4，则阴影部分的面积为(　　)

A．18 B．24

C．26 D．32

　　　　　　　

7．【母题：教材P114复习题T5】如图，AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD.若AB＝CD，CE＝8，BF＝6，AD＝10, 则EF的长为(　　)

A．3 B． C．4 D．

8．【2024·宿州期中】如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标是( )

A．(－，1) B．(－1，)

C．(－，－1) D．(－，1)

9．如图，在由小正方形组成的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，最多能再画出( )个以点C为顶点的不同的格点三角形与△ABC全等．

A．8 B．9 C．10 D．11

10．【2024·北京丰台区月考】如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS，下面的结论：①

AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是______________．

12．如图，已知∠ABC＝∠DCB，只需添加一个条件________________就可以使△ABC≌ △DCB.

13．【2024·芜湖无为市期中】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子

(BC＝EF)，且AC＝DF，已知AC⊥BF，ED⊥BF，则∠B＋∠F＝________°.

14．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝5 cm，点P从点A出发，沿A→B方向以2 cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s.

(1)AP的长为________cm；(用含t的代数式表示)

(2)连接PQ，当线段PQ经过点C时，t＝________s.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．【2023·合肥四十八中期末改编】如图，在所给方格纸中，每个小正方形的边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)，请按要求将图甲中的正方形ABCD和图乙中的平行四边形ABCD分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．

16．【2024·芜湖弋江区期中】如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF.请写出线段AF与线段DE之间的关系，并说明理由．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．【2024·合肥五十中月考改编】如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A.若AB＝6 cm，BD＝2 cm，求DE的长．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，

BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：AB＝BC＋AD.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．阅读下列材料，并完成任务．

筝 形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质，也可以作为图形的判定方法．也就是说，若四边形ABCD是一个筝形，DA＝DC，则BA＝BC；若在四边形ABCD中，DA＝DC，

BA＝BC，则四边形ABCD是筝形．

如图，四边形ABCD是一个筝形，DA＝DC，BA＝BC.对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AB，OF⊥BC，垂足分别为E，F，求证：四边形BEOF是筝形．

20．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.

(1)求证：△ABD≌△AED；

(2)若AB＝9，△CDE周长为15，求△ABC的周长．

六、(本题满分12分)

21．【2024·六安裕安中学月考】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝AD，点E在边BC上，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AB＝AF.

(1)求证：∠DAC＝∠FAB；

(2)若AB＝BC，∠CDE＝20°，求∠CAF的度数．

七、(本题满分12分)

22．【2023·合肥实验学校月考】如图，在平面直角坐标系中，AD⊥BC于点D，交y轴于点H，直线BC的表达式为y＝－2x＋4，点H的坐标为(0，2)．

(1)求OB的长；

( 2)求证：△AOH≌△COB；

(3)求点D的坐标．

八、(本题满分14分)

23．八年级数学兴趣小组进行了探究活动，请你和他们一起探究吧！

【发现】

(1)如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，请你写出图中的全等三角形：____________________；

【探究】

(2)如图②，EP是△DEF的中线，若EF＝5，DE＝3，设EP＝x，则x的取值范围是____________；

【拓展】

(3)如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.若EF＝4，EC＝3，求线段BF的长；

(4)如图④，AD是△ABC的中线，∠BAC＝∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC＝AB，求证：AQ＝2AD.

答案

一、1．B　2．D　3．B　4．A　5．C　6．C　7．C　8．A　

9．B　

10．A　【点拨】∵PR⊥AB，PS⊥AC，

∴∠ARP＝∠ASP＝90°.

又∵AP＝AP，PR＝PS，

∴Rt△RAP≌Rt△SAP(HL)．∴AS＝AR，故①正确；

由Rt△RAP≌Rt△SAP得∠RAP＝∠SAP.

又∵∠CAP＝∠APQ，∴∠RAP＝∠APQ.

∴QP∥AR，故②正确；

∵△BRP和△CSP中，仅一组对应边相等，一组对应角相等，

∴现有条件不能够证明△BRP≌△CSP，故③错误．

二、11 ．三角形具有稳定性

12．∠A＝∠D(答案不唯一)

13．90　

14．(1)2t　(2)　【点拨】(1)点P从点A出发，沿A→B方向以2 cm/s的速度运动，∴AP的长为2t cm.

(2)∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC，

∴△ABC≌△EDC(SAS)．∴AB＝ED＝5 cm，∠A＝∠E.

易知DQ＝t cm，∴EQ＝(5－t)cm.

当线段PQ经过点C时，∠ACP＝∠ECQ.

又∵∠A＝∠E，AC＝EC，

∴△ACP≌△ECQ(ASA)．∴AP＝EQ.

∴2t＝5－t，解得t＝.

三、15．【解】如图所示(答案不唯一)．

16．【解】AF∥DE且AF＝DE.

理由：∵AB∥CD，BE＝CF，

∴∠B＝∠C，BE－EF＝CF－EF，即 BF＝CE.

又∵AB＝DC，

∴△ABF≌△DCE(SAS)．

∴AF＝DE，∠AFB＝∠DEC.

又∵∠AFB＋∠AFE＝∠DEC＋∠DEF＝180°，

∴∠AFE＝∠DEF.∴AF∥DE.

点易错：两条线段的关系包含数量关系和位置关系．

四、17．【解】∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B.

又∵CD＝AB，∠DCE＝∠A，

∴△CDE≌△ABC(ASA)．∴DE＝BC.

又∵CD＝AB，BC＝CD＋BD，

∴DE＝AB＋BD＝8 cm.

18．【证明】∵E为CD的中点，AD∥BC，

∴DE＝EC，∠D＝∠ECF.

又∵∠AED＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE(ASA)．

∴AD＝CF，AE＝EF.

∵BE⊥AE，

∴∠AEB＝∠FEB＝90°.

又∵AE＝FE，BE＝BE，

∴△AEB≌△FEB(SAS)．

∴AB＝BF.

∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.

五、19．【证明】∵DA＝DC，BA＝BC，BD＝BD，

∴△ADB≌△CDB(SSS)．

∴∠DBA＝∠DBC.

∵OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB＝∠OFB＝90°.

又∵∠OBE＝∠OBF，BO＝BO，

∴△OEB≌△OFB(AAS)．

∴OE＝OF，BE＝BF.

∴四边形BEOF是筝形．

20．(1)【证明】∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠EAD.

又∵AB＝AE，AD＝AD，

∴△ABD≌△AED(SAS)．

(2)【解】由(1)知△ABD≌△AED，∴DE＝BD.

∴△CDE的周长＝DE＋CD＋CE＝BD＋CD＋CE＝BC＋CE＝15.

∵AE＝AB＝9，

∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB＋AE＋CE＋BC＝9＋9＋15＝33.

六、21．(1)【证明】∵AF⊥DE，

∴∠DFA＝90°＝∠B.

又∵AD＝AC，AF＝AB，

∴Rt△ADF≌Rt△ACB(HL)．

∴∠DAF＝∠CAB.

∴∠DAF＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAB，即∠DAC＝∠FAB.

(2)【解】过点B作BG⊥AC于点G，则∠BGA＝∠BGC＝90°.

又∵BG＝BG，AB＝CB，∴Rt△BGA≌Rt△BGC(HL)．

∴∠BAC＝∠BCA.

又∵∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°.

由(1)知Rt△ADF≌Rt△ACB，

∴∠ADF＝∠ACB＝45°，∠DAF＝∠CAB＝45°.

∵∠CDE＝20°，

∴∠ADC＝∠ADF＋∠CDE＝65°.

过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHD＝∠AHC＝90°.

又∵AD＝AC，AH＝AH，

∴Rt△AHD≌Rt△AHC(HL)．

∴∠ACD＝∠ADC＝65°.

∴∠CAD＝50°.

∴∠CAF＝∠CAD－∠DAF＝5°.

七、22．(1)【解】在y＝－2x＋4中，令y＝0，

则－2x＋4＝0，解得x＝2，

∴B(2，0)．∴OB＝2.

(2)【证明】∵H(0，2)，∴OH＝2.∴OB＝OH.

∵AD⊥BC，

∴∠HAO＋∠ABC＝90°.

∵∠COB＝90°，

∴∠BCO＋∠ABC＝90°.

∴∠HAO＝∠BCO.

又∵∠AOH＝∠COB＝90°，

∴△AOH≌△COB.

(3)【解】易知C(0，4)，∴OC＝4.

由(2)知△AOH≌△COB，∴OA＝OC＝4.∴A(－4，0)．

设直线AH的表达式为y＝kx＋b，

把点A(－4，0)，H(0，2)的坐标分别代入，

得解得

∴直线AH的表达式为y＝x＋2，

联立解得

∴D.

八、23．(1)△ADC≌△EDB

(2)1<x<4　

(3)【解】延长AD至点M，使DM＝AD，连接BM.

∵AE＝EF，EF＝4，EC＝3，

∴AC＝AE＋EC＝EF＋EC＝4＋3＝7.

∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD.

在△ADC和△MDB中，

∴△ADC≌△MDB(SAS)．

∴BM＝AC＝7，∠CAD＝∠M.

过点E作EG⊥AF于点G，则∠EGA＝∠EGF＝90°.

在Rt△EGA和Rt△EGF中，

∴Rt△EGA≌Rt△EGF.

∴∠EAG＝∠EFG.

又∵∠M＝∠CAD，∠EFA＝∠BFM，∴∠M＝∠BFM.

过点B作BH⊥MF于点H，则∠BHM＝∠BHF＝90°.

在△BHM和△BHF中，

∴△BHM≌△BHF.

∴BF＝BM＝7.

(4)【证明】延长AD至点N，使ND＝AD，连接BN，

则AN＝2AD.

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD.

又∵ND＝AD，∠BDN＝∠CDA，

∴△BND≌△CAD(SAS)．

∴BN＝CA，∠NBD＝∠ACB.

又∵∠BAC＝∠ACB，∴∠BAC＝∠NBD.

∴∠ACQ＝∠BAC＋∠ABC＝∠NBD＋∠ABC＝∠NBA.

又∵CA＝BN，QC＝AB，

∴△ACQ≌△NBA(SAS)．

∴AQ＝AN＝2AD，即AQ＝2AD.