第13章综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2024·上海三林中学期末]下列命题中，真命题是(　　)

A．“把两个图形叠合”是命题

B．每一个命题一定有逆命题

C．真命题的逆命题一定是真命题

D．每一个定理一定有逆定理

2．如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是(　　)

A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD

　　　 　　　 　　　

　　　　(第2题)　　　　　　(第3题)　　　　　(第4题)

3．[2024·湛江二十九中期中]如图，已知∠1＝∠2，用“S．A．S．”证△ABC≌△ABD，还需(　　)

A．BC＝BD B．AC＝AD

C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD

4．[2024·信阳八年级期末]如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连结CA，CB，CD，则下列结论不一定正确的是(　　)

A．CA＝CB B．CD⊥直线l

C．△ABC是直角三角形 D．点A，B关于直线CD对称

5．已知△ABC≌△A'B'C'，且△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，则A'C'等于(　　)

A．5 B．6 C．7 D．8

6．[母题·教材P99T3]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．若AB＝10cm，AC＝6cm，则BE的长度为(　　)

A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm

　　　　　　　　 　　　　

　　　　　　　　(第6题)　　　　　(第7题)

7．[新考法·折叠对称法]如图，将长方形纸片ABCD沿BD折叠，C'D与AB交于点E．若∠1＝35°，则∠2的度数为(　　)

A．20° B．30° C．35° D．55°

8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝24°，则旋转角α的度数为(　　)

A．24° B．28° C．48° D．66°

　 　 　 　

　(第8题)　　　(第9题)　　　(第10题)　　　(第13题)

9．[2024·三明三元区期末]如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，点F在BC的延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠ACF＝2∠F＋∠ADF；③∠AGF＝∠ADB；④∠ACB＝2∠F＋∠B．其中结论正确的为(　　)

A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④

10．[新趋势·传承数学文化]中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG．若DE＝5，AF＝3，则△ABC的面积是(　　)

A．20 B．25 C．30 D．35

二、填空题(每题3分，共24分)

11．请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题：　　　　．

12．[2023·淮安]若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是　　　　cm．

13．[新视角·条件开放题]如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，请添加一个条件　　　　，使△AOB≌△DOC．(只填一种情况即可)

14．[母题·教材P99习题T4]如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝　　　　．

(第14题)　　(第15题)　　(第16题)　(第17题)　(第18题)

15．[2023·丽水]如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是　　　　．

16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB＝70°，∠ABD＝40°，AB＝DC，则∠BAC＝　　　　．

17．[2024·衡阳外国语学校月考]如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为　　　　．

18．[新考法·化动为定法]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝7cm，AC＝24cm，CD为AB边上的高，直线CD上一点F满足CF＝AB，点E从点B出发在直线BC上以3cm/s的速度移动，设运动时间为ts，当t＝　　　　时，能使△ABC≌△CFE．

三、解答题(19～21题每题10分，22～24题每题12分，共66分)

19．[2023·荆州]如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连结DE．求证：CD＝CE．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连结EC．

(1)求∠ECD的度数；

(2)若CE＝5，求BC的长．

21．[2024·宜宾翠屏区期末]小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B，F，C，E在直线l上(点F，C之间的距离为池塘的长度)，点A，D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度．

22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．求证：

(1)CF＝EB；

(2)AB＝AF＋2EB．

23．[新视角·结论开放题 2024 泰州姜堰区期末]如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．

①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2．

24．[2024·六安八年级期末]在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB上，CE＝BD．

(1)如图①，若∠BAC＝90°，求证：AE＝AD．

(2)如图②，若∠BAC＝α(90°＜α＜180°)，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．

答案

一、1．B【点拨】A．“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意；B．每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意；C．真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意；D．每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意．故选B．

2．B【点拨】由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，添加条件AO＝BO，可利用“A．A．S．”证明△AOC≌△BOD，故选B．

3．B【点拨】由题图可知，AB＝AB．∵∠1＝∠2，∴用“S．A．S．”证△ABC≌△ABD，还需AC＝AD，故选B．

4．C

5．C【点拨】∵△ABC≌△A'B'C'，△ABC的周长为20，AB＝8，BC＝5，∴A'C'＝AC＝20－8－5＝7．

6．C　7．A

8．C【点拨】如图，设AC与DE交于点F．

∵DE⊥AC，∴∠AFD＝90°．

∵∠CAD＝24°，

∴∠ADE＝180°－∠CAD－∠AFD＝66°．

由旋转可得∠B＝∠ADE＝66°，AB＝AD，

∴∠ADB＝∠B＝66°．

∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝48°，即旋转角α的度数是48°．故选C．

9．B

10．C【点拨】∵四边形BCHG是长方形，∴∠H＝90°．∵AF⊥DE，∴∠AFE＝90°．∵点E为AC的中点，∴AE＝CE．

在△AFE和△CHE中， ∴△AFE≌△CHE(A．A．S．)，∴CH＝AF＝3，HE＝FE，同理可证△AFD≌△BGD(A．A．S．)，

∴FD＝GD．∴GH＝2DF＋2FE＝2DE＝10．

∴S_△ABC＝S_{长方形BCHG}＝GH·CH＝10×3＝30，故选C．

二、11．如果b－a＜0，那么a＞b

12．6

13．AB＝CD(答案不唯一)

14．55°【点拨】∵PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，

∴∠PAO＝∠PBO＝90°．

∵PA＝PB，OP＝OP，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP(H．L．)．

∴∠AOP＝∠BOP＝ ∠AOB＝25°．

∴∠PCA＝∠AOP＋∠OPC＝55°．

15．4【点拨】由∠B＝∠ADB可得AD＝AB＝4，由DE是AC的垂直平分线可得AD＝DC，从而可得DC＝AB＝4．

16．80°　【点拨】在△ABC和△DCB中，

∴△ABC≌△DCB(S．A．S．)．

∴∠ACB＝∠DBC．

∵∠ABD＝40°，∠ABC＝70°，∴∠DBC＝30°．

∴∠ACB＝30°．

∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝80°．

17．4　【点拨】∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴易得BD＝AD．

∵AD和BE是高．∴∠ADC＝∠BEA＝∠BDF＝90°．∴∠CAD＋∠AFE＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，

∴∠AFE＝∠C．∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠C＝∠BFD．

在△ADC和△BDF中，

∴△ADC≌△BDF(A．A．S．)．∴DF＝CD＝4．

18． 或 【点拨】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠BCD＋∠ACD＝∠A＋∠ACD＝90°．

∴∠A＝∠BCD．

∵∠ECF＝∠BCD，∴∠ECF＝∠A．

当点F在点C上方时，如题图．∵AB＝CF，∠A＝∠ECF，∴当CE＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE．∵BE＝BC＋CE＝7＋24＝31(cm)，∴t＝ ；

当点F在点C下方时，如图．易得当CE＝AC＝24cm时，△ABC≌△CFE．

∵BE＝CE－BC＝24－7＝17(cm)，∴t＝ ．

∴当t＝ 时，能使△ABC≌△CFE．

三、19．【证明】如图．∵△ABC为等边三角形，∴∠1＝60°．又∵BD为等边三角形ABC的中线，

∴BD⊥AC．∴∠BDC＝90°．∴∠3＝30°．∵BD＝DE，

∴∠E＝∠3＝30°．∵∠2＋∠E＝∠1＝60°，∴∠E＝∠2＝30°．∴CD＝CE．

20．【解】(1)∵DE垂直平分AC，

∴AE＝CE．∴∠ECD＝∠A＝36°．

(2)∵AB＝AC，∠A＝36°，

∴∠B＝∠ACB＝72°．

又∵∠ECD＝36°，

∴∠ECB＝72°－36°＝36°．

∴∠BEC＝180°－∠B－∠ECB＝180°－72°－36°＝72°．

∴∠B＝∠BEC．∴BC＝CE＝5．

21．(1)【证明】∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠FED．

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF．

(2)【解】由(1)可知△ABC≌△DEF，∴BC＝EF．

∴BC－FC＝EF－FC．∴BF＝CE．又∵BF＝38m，

∴CE＝38m．又∵BE＝120m，∴FC＝BE－BF－CE＝44m．∴池塘FC的长为44m．

22．【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE．

在Rt△CDF和Rt△EDB中，

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H．L．)．∴CF＝EB．

(2)由(1)可知DC＝DE，

在Rt△ADC和Rt△ADE中，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE(H．L．)，∴AC＝AE．

∴AB＝AE＋EB＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB．

23．【解】(答案不唯一)例如：由①②得到③．

已知：AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF．

求证：∠1＝∠2．

证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB．

又∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB．

∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB．∴∠1＝∠2．

24．(1)【证明】∵∠BAC＝90°，∴△BAD，△CAE均为直角三角形．又∵AC＝AB，CE＝BD，

∴Rt△CAE≌Rt△BAD(H．L．)．∴AE＝AD．

(2)【解】相等．证明如下：

如图，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N，则∠M＝∠N＝90°．

∵∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，

∴△CAM≌△BAN(A．A．S．)．∴CM＝BN，AM＝AN．

∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，

∴Rt△CME≌Rt△BND(H．L．)．∴EM＝DN．

∵AM＝AN，∴AE＝AD．