第12章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．计算：a(a＋2)－2a＝( )
A．2 B．a2 C．a2＋2a D．a2－2a
2．[2023·黄石]下列运算正确的是( )
A．3x2＋2x2＝6x4 B．(－2x2)3＝－6x6
C．x3·x2＝x6 D．－6x2y3÷2x2y2＝－3y
3．如果代数式x2＋mx＋36是一个完全平方式，那么m的值为( )
A．6 B．－12 C．±12 D．±6
4．下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9
5．[新趋势·学科内综合]已知长方形的长为a，宽为a－b(a＞2b)，周长为C1，正方形的边长为
，周长为C2，则C1－C2等于( )
A．2a B．2a－b C．2a－2b D．2a－4b
6．[2024·深圳宝安中学开学考试]若a＝－255，b＝－344，c＝－533，d＝－622，那么a，b，c，d的大小关系为( )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c
7．[2023·成都树德实验中学模拟]若3x＝4，9y＝7，则3x－2y的值为( )
A．
B．
C．－3 D．
8．[新趋势·学科内综合]已知a，b，c为一个三角形的三边长，则(a－b)2－c2的值( )
A．一定为负数 B．一定为正数
C．可能为正数，也可能为负数 D．可能为零
9．已知实数m，n满足m2＋n2＝2＋mn，则(2m－3n)2＋(m＋2n)(m－2n)的最大值为( )
A．24 B．
C．
D．－4
10．[2024·北京门头沟区期末]设a，b是实数，定义一种新运算：a*b＝(a－b)2，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②(a*b)2＝a2*b2；③(－a)*b＝a*(－b)；④a*(b＋c)＝a*b＋a*c．其中所有正确推断的序号是( )
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
二、填空题(每题3分，共24分)
11．[2023·青岛]计算：8x3y÷(2x)2＝ ．
12．[2024·东北师大附中模拟]若am＝2，an＝8，则am＋n＝ ．
13．已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为 ．
14．[2023·常德]因式分解：a3＋2a2b＋ab2＝ ．
15．若关于x的式子(x＋m)与(x－4)的乘积的一次项是5x，则乘积的常数项为 ．
16．已知a2＋b2＝5，a＋b＝3，则ab的值为 ．
17．[新考法·数形结合法]甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示(m为正整数)，甲、乙的面积分别为S1，S2．若满足｜S1－S2｜＜n≤2026的整数n有且只有3个，则m的值是 ．
(第17题) (第18题)
18．[新视角·规律探究题 2023 聊城]如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3，5)；(7，10)；(13，17)；(21，26)；(31，37)；…．如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
三、解答题(19，20题每题12分，21～23题每题6分，24，25题每题12分，共66分)
19．[母题·教材P48复习题T4]计算：
(1)(－3x3)2＋(x2)2·x2； (2)(2a＋3b)(2a－3b)－(a－3b)2；
(3)899×901＋1； (4)2100×8101×
．
20．[母题·教材P49复习题T8]把下列各式分解因式：
(1)x2y－y； (2)a2b－4ab＋4b；
(3)x2－2x＋(x－2)； (4)(y＋2x)2－(x＋2y)2．
21．[母题·教材P49复习题T9]先化简，再求值：(x＋4)(x－4)＋(x－3)2，其中x2－3x＋1＝0．
22．[2023·嘉兴]观察下面的等式：32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，…．
(1)尝试：132－112＝8× ；
(2)归纳：(2n＋1)2－(2n－1)2＝8× (用含n的代数式表示，n为正整数)；
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
23．[2024·安徽阜阳期末]已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2＋b2＝20a＋14b－99，求△ABC周长的最大值．
24．[新考向·阅读类比法]配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：x2＋4x－5＝x2＋4x＋22－22－5＝(x＋2)2－9＝(x＋2＋3)(x＋2－3)＝(x＋5)(x－1)．
(1)运用配方法将下列多项式进行因式分解：①x2－8x－9；②x2＋3x－4．
(2)说明多项式x2－6x＋12的值总是一个正数．
25．[2024·南通海门区期末]如图，甲和乙均是体积为V且高为h的长方体盒子(不计制造材料的厚度)，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形．
(1)若bc＝64，h＝3，则甲盒子的侧面积为 ；
(2)若V＝9，b＝2a，甲、乙两个盒子侧面积的和为40．5，求c．
答案
一、1．B 2．D 3．C 4．C
5．D【点拨】根据长方形与正方形的周长公式可得，C1＝2×[a＋(a－b)]＝4a－2b，C2＝4×
＝2a＋2b，∴C1－C2＝4a－2b－(2a＋2b)＝2a－4b．故选D．
6．D【点拨】∵a＝－255＝－(25)11＝－3211，b＝－344＝－(34)11＝－8111，c＝－533＝－(53)11＝－12511，d＝－622＝－(62)11＝－3611，∴a＞d＞b＞c．故选D．
7．A 【点拨】∵3x＝4，9y＝32y＝7，∴3x－2y＝3x÷32y＝4÷7＝
．
8．A 【点拨】(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)．
由题意得a－b＋c＞0，a－b－c＜0，∴(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a－b)2－c2＜0．
9．B【点拨】∵m2＋n2＝2＋mn，∴(2m－3n)2＋(m＋2n)(m－2n)＝5m2＋5n2－12mn＝10－7mn，(m＋n)2＝2＋3mn≥0(当m＋n＝0时，取等号)，(m－n)2＝2－mn≥0(当m－n＝0时，取等号)，
∴－
≤mn≤2．∴－14≤－7mn≤
．
∴－4≤10－7mn≤
，即(2m－3n)2＋(m＋2n)(m－2n)的最大值为
．故选B．
10．D【点拨】∵a*b＝(a－b)2，∴b*a＝(b－a)2＝(a－b)2，故①正确；(a*b)2＝[(a－b)2]2＝(a－b)4，a2*b2＝(a2－b2)2＝[(a－b)(a＋b)]2＝(a－b)2(a＋b)2，故②错误；(－a)*b＝[(－a)－b]2＝(－a－b)2＝(a＋b)2，a*(－b)＝[a－(－b)]2＝(a＋b)2，故③正确；a*(b＋c)＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2＝a2＋b2＋c2－2ab＋2bc－2ac，a*b＋a*c＝(a－b)2＋(a－c)2＝a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＝2a2＋b2＋c2－2ab－2ac，故④错误．正确的有①③，故选D．
二、11．2xy 12．16
13．10【点拨】a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9．∵a＋b＝1，∴a2－b2＋2b＋9＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．
14．a(a＋b)2
15．－36【点拨】∵(x＋m)(x－4)＝x2－(4－m)x－4m，且该式的一次项是5x，∴－(4－m)＝5，解得m＝9，∴－4m＝－36．
16．2 【点拨】∵a＋b＝3，∴(a＋b)2＝9．∴a2＋2ab＋b2＝9．又∵a2＋b2＝5，∴5＋2ab＝9．∴2ab＝4．∴ab＝2．
17．1012【点拨】由题意得S1＝(m＋2)(m＋4)＝m2＋4m＋2m＋8＝m2＋6m＋8，S2＝(m＋7)(m＋1)＝m2＋m＋7m＋7＝m2＋8m＋7，∴｜S1－S2｜＝｜1－2m｜．∵m为正整数，∴｜S1－S2｜＝｜1－2m｜＝2m－1．∵满足｜S1－S2｜＜n≤2026的整数n有且只有3个，∴整数n的值为2026，2025，2024．
∴2023≤2m－1＜2024．∴1012≤m＜1012．5．
∴m＝1012．
18．(n2＋n＋1，n2＋2n＋2)【点拨】每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…，即1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1，5×6＋1，…，则第n个数对的第一个数为n(n＋1)＋1＝n2＋n＋1．每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…，即22＋1，32＋1，42＋1，52＋1，62＋1，…，则第n个数对的第二个数为(n＋1)2＋1＝n2＋2n＋2．所以第n个数对为(n2＋n＋1，n2＋2n＋2)．
三、19．【解】(1)原式＝9x6＋x6＝10x6．
(2)原式＝4a2－9b2－(a2－6ab＋9b2)＝3a2＋6ab－18b2．
(3)原式＝(900－1)×(900＋1)＋1＝9002－1＋1＝810000．
(4)原式＝2100×(23)101×
＝2100×2303×
＝
2403×
＝
×23＝1400×23＝8．
20．【解】(1)原式＝y(x2－1)＝y(x＋1)(x－1)．
(2)原式＝b(a2－4a＋4)＝b(a－2)2．
(3)原式＝x(x－2)＋(x－2)＝(x＋1)(x－2)．
(4)原式＝[(y＋2x)＋(x＋2y)][(y＋2x)－(x＋2y)]
＝(y＋2x＋x＋2y)(y＋2x－x－2y)
＝(3x＋3y)(x－y)
＝3(x＋y)(x－y)．
21．【解】原式＝x2－16＋x2－6x＋9＝2x2－6x－7．
∵x2－3x＋1＝0，∴x2－3x＝－1．
∴2x2－6x＝－2．∴原式＝－2－7＝－9．
22．【解】(1)6【点拨】∵32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝8×4，
∴112－92＝8×5，132－112＝8×6．
(2)n
(3)(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n．
23．【解】由2a2＋b2＝20a＋14b－99，
整理，得2a2－20a＋50＋b2－14b＋49＝0，
2(a2－10a＋25)＋(b2－14b＋49)＝0，
2(a－5)2＋(b－7)2＝0，
解得a＝5，b＝7．
由三角形三边之间的关系，得2＜c＜12．
∵c为正整数，△ABC周长最大，
∴c＝11．
∴a＋b＋c＝5＋7＋11＝23，
即△ABC周长的最大值为23．
24．【解】(1)①x2－8x－9＝x2－8x＋42－42－9＝(x－4)2－25＝(x－4＋5)(x－4－5)＝(x＋1)(x－9)．
②x2＋3x－4＝x2＋3x＋
－
－4＝
－
＝
＝(x＋
4)(x－1)．
(2)x2－6x＋12＝x2－6x＋9＋3＝(x－3)2＋3．∵(x－3)2≥0，∴(x－3)2＋3＞0．∴多项式x2－6x＋12的值总是一个正数．
25．【解】(1)96【点拨】∵长方体体积相同，高相同，∴甲、乙底面积相同．∴a2＝bc＝64．∴a＝
＝8．∴甲盒子的侧面积为4ah＝4×8×3＝96．
(2)∵a2＝bc，b＝2a，∴a2＝2ac．∴a＝2c．∴b＝2a＝4c．又∵甲、乙两个盒子侧面积的和＝4ah＋2bh＋2ch＝40．5，∴18ch＝40．5，∴ch＝
．
又∵V＝bch＝9，∴b＝4．∴c＝1．