第5章综合素质评价

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．函数y＝ 的自变量x的取值范围是(　　)

A．x＞－1 B．x＜－1 C．x≠－1 D．x≠0

2．下列各点在函数y＝2x－1的图象上的是(　　)

A．(－1，3) B．(0，1) C．(1，－1) D．(2，3)

3．[2024·宁波月考]已知函数y＝(1－2k)x是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么k的取值范围是(　　)

A．k＜ B．k＞ C．k＞0 D．k＜0

4．[2023·绍兴]已知点M(－4，a－2)，N(－2，a)，P(2，a)在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是(　　)

A B C D

5．杭州的小李通过快递公司给在北京的亲人邮寄本地特产，寄快递时，快递公司规定：不超过1千克时，收费12元；超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了x(x＞1)千克本地特产，则寄快递的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式为(　　)

A．y＝12x B．y＝8x＋8

C．y＝4x＋8 D．y＝4x＋12

6．[母题教材P158做一做]已知点A(a，y₁)，B(a＋2，y₂)在一次函数y＝－3x＋b的图象上，则y₁与y₂的大小关系正确的是(　　)

A．y₁＞y₂ B．y₁＜y₂ C．y₁＝y₂ D．无法确定

7．[新考法·假设分析法2023·山西]在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是(　　)

A B C D

8．如图，直线y₁＝kx＋b与直线y₂＝mx－n交于点P(1，p)，则不等式mx－n＞kx＋b的解集是(　　)

(第8题)

A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1

9．在同一平面直角坐标系中，对于直线①y＝－x－1；②y＝x＋1；③y＝－x＋1；④y＝－2(x＋2)，下列说法正确的是(　　)

A．经过点(－1，0)的是①和③ B．②和④的交点在y轴上

C．互相平行的是①和③ D．②和④的交点在x轴上

10．[母题教材P172目标与评定T3]小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路骑行到B地，他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：①他们都骑行了20km；②小陆全程共用了1．5h；③小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度；④小李在途中停留了0．5h．

其中正确的有(　　)

(第10题)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题(每题4分，共24分)

11．已知正比例函数y＝kx的图象经过点A(－1，2)，则此正比例函数的表达式为　　　　．

12．[2023·宁波镇海区蛟川书院期中]若点A(－5，m)，B(n，4)都在函数y＝x＋b的图象上，则m＋n的值为　　　　．

13．在画一次函数y＝kx＋b的图象时，小雯同学列表如下，其中“▲”表示的数为　　　　．

x	…	－2	－1	0	1	2	…
y	…	5	3	1	▲	－3	…

14．[2024·宁波鄞州区联考]如图，△AOB为等腰直角三角形，∠A＝90°，过点B作x轴的垂线l，以l为对称轴得到△DCB．当点A在直线x＝3上运动时，点D同时在直线m上运动，则直线m的表达式为　　　　．

(第14题)

15．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋4的图象分别与x轴，y轴相交于A，B两点(A，B两点都在坐标轴的正半轴上)．点P是线段AB上一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线段PC，PD，得到长方形OCPD，将长方形沿着它的一条对称轴对折后得到一个小长方形，若这个小长方形的周长为定值，则k的值是　　　　．

16．[2024·金华模拟]如图，一次函数y＝x＋b的图象过点A(1，2)，且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一点，且满足△APB是等腰三角形，则点P的坐标可以是　　　　．

(第16题)

三、解答题(共66分)

17．(6分)已知函数y＝(2m＋1)x＋m－3．

(1)若函数为正比例函数，求m的值；

(2)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围．

18．(6分)[2024·宁波江北区期末]在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，3)和(2，2)．

(1)求这个一次函数y＝kx＋b的表达式；

(2)当x＞－3时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值都小于y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围．

19．(6分) [情境题·方案策略型2024·绍兴期末]随着春节临近，某儿童游乐园推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x次时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．

(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．

(2)求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？

(3)洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？

20．(8分)[2023·温州]如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－ 上，过点A的直线交y轴于点B(0，3)．

(1)求m的值和直线AB的表达式；

(2)若点P(t，y₁)在线段AB上，点Q(t－1，y₂)在直线y＝2x－ 上，求y₁－y₂的最大值．

21．(8分) [新视角新定义题]定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作两坐标轴的垂线，若与两坐标轴围成的长方形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做“和谐点”．

(1)判断点M(1，2)，N(4，4)是否为“和谐点”，并说明理由；

(2)若“和谐点” P(a，3)(a＞0)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求a，b的值．

22．(10分)[2024·宁波镇海区一模]星期日上午9：00，小明从家里

出发步行前往离家2400m的镇海书城参加读书会活动，他以75m/min的速度步行了12min后发现忘带入场券，于是他停下来打电话给家里的爸爸寻求帮助，9：15爸爸骑着自行车从家里出发，沿着同一路线以375m/min的速度行进，同一时刻小明继续按原速步行赶往目的地．爸爸追上小明后载上他以相同的车速前往书城(停车载人时间忽略不计)，到达书城后爸爸原速返回家．爸爸和小明离家的路程s(m)与小明所用时间t(min)的函数关系如图所示．

(1)求爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式及a的值．

(2)爸爸出发后多长时间追上小明？此时距离镇海书城还有多远？

23．(10分)[2023·河北]在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x，y)移动到点(x＋2，y＋1)称为一次甲方式；从点(x，y)移动到点(x＋1，y＋2)称为一次乙方式．

例：点P从原点O出发连续移动2次，若都按甲方式，最终移动到点M(4，2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2，4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3，3)．

(1)设直线l₁经过上例中的点M，N，求l₁的表达式，并直接写出将l₁向上平移9个单位得到的直线l₂的表达式．

(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x，y)．其中，按甲方式移动了m次．

①用含m的式子分别表示x，y；

②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l₃，在图中直接画出l₃的图象．

(3)在(1)和(2)中的直线l₁，l₂，l₃上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．

24．(12分)[2024·宁波海曙区期末]如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且△ABC的面积为56．点D为线段AB的中点，点E为y轴上一动点，连结DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连结DF．

(1)求点C的坐标及直线BC的表达式；

(2)在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标；

(3)设点E的坐标为(0，m)．

①用m表示点F的坐标；

②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部(包括边界)，直接写出满足条件的m的取值范围．

答案

一、1．C　2．D　3．B　4．B　5．C　6．A　7．D　8．C

9．C

10．A　【点拨】①根据图象可得，他们都骑行了20km，故说法正确；②根据图象可得，小陆全程共用了2－0．5＝1．5(h)，故说法正确；③从图象看，小李和小陆相遇后，相同的路程，小陆用了1h，小李用了1．5h，所以小李的速度小于小陆的速度，故说法正确；④从图象看，小李在途中停留了1－0．5＝0．5(h)，故说法正确．综上所述，正确的有4个．

二、11．y＝－2x　12．－1　13．－1　14．y＝ －

15．－ 或－2　【点拨】设点P的坐标为(a，ka＋4)，则PC＝ka＋4，PD＝a．

如图①，折叠后的小长方形的周长为2 ＝2ka＋8＋a＝(2k＋1)a＋8．

∵这个小长方形的周长为定值，

∴2k＋1＝0，解得k＝－ ．

如图②，折叠后的小长方形的周长为2 ＝ka＋4＋2a＝(k＋2)a＋4．

∵这个小长方形的周长为定值，

∴k＋2＝0，解得k＝－2．

综上所述，k的值是－ 或－2．

16．(3，0)，( －1，0)，(－ －1，0)或(1，0)

【点拨】如图．设P(t，0)．

∵一次函数y＝x＋b的图象过点A(1，2)，

∴2＝1＋b，解得b＝1．

∴一次函数的表达式为y＝x＋1．

当y＝0时，x＝－1．∴B(－1，0)．

当AB＝AP时，∵B(－1，0)，A(1，2)，

∴AB＝ ．∴(t－1)²＋(0－2)²＝8，

解得t＝3或－1(舍去)．

∴P₁(3，0)；

当AB＝BP时，∵AB＝ ，∴BP＝ ．

∴P₂( －1，0)，P₃(－ －1，0)；

当AP＝BP时，AP²＝BP²，

则(t＋1)²＝(t－1)²＋2²，

解得t＝1，∴P₄(1，0)．

综上所述，点P的坐标为(3，0)，( －1，0)，(－ －1，0)或(1，0)．

三、17．【解】(1)∵y＝(2m＋1)x＋m－3是正比例函数，∴ 　解得m＝3．

(2)根据y随着x的增大而减小，得2m＋1＜0，

解得m＜－ ．

18．【解】(1)将(0，3)和(2，2)分别代入y＝kx＋b，得 解得

∴所求一次函数的表达式为y＝－ x＋3．

(2)m的取值范围是－ ≤m≤－ ．

【点拨】把x＝－3代入y＝－ x＋3，得y＝ ；把点 代入y＝mx，得 ＝－3m，

解得m＝－ ．

∵当x＞－3时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值都小于y＝kx＋b的值，

∴m的取值范围是－ ≤m≤－ ．

19．【解】(1)设y_甲＝k₁x，根据题意，得4k₁＝80，

解得k₁＝20，∴y_甲＝20x．

设y_乙＝k₂x＋80，根据题意，得12k₂＋80＝200，

解得k₂＝10，∴y_乙＝10x＋80．

(2)联立 得

∴当入园8次时，两者花费一样，费用是160元．

(3)当y＝240时，y_甲＝20x＝240，∴x＝12；

当y＝240时，y_乙＝10x＋80＝240，∴x＝16．

∵12＜16，∴选择乙种消费卡划算．

20．【解】(1)把点A(2，m)的坐标代入y＝2x－ ，得m＝ ，

∴点A的坐标为(2， ).

设直线AB的表达式为y＝kx＋b，

把点A(2， )，B(0，3)的坐标分别代入，

得 解得

∴直线AB的表达式为y＝－ x＋3．

(2)∵点P(t，y₁)在线段AB上，点Q(t－1，y₂)在直线y＝2x－ 上，

∴y₁＝－ t＋3(0≤t≤2)，y₂＝2(t－1)－ ＝2t－ ，

∴y₁－y₂＝－ t＋3－(2t－ )＝－ t＋ (0≤t≤2).

∵－ ＜0，∴y₁－y₂的值随x的增大而减小

∴当t＝0时，y₁－y₂有最大值，最大值为 .

21．【解】(1)点M(1，2)不是“和谐点”，点N(4，4)是“和谐点”．理由如下：

∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)，

∴点M不是“和谐点”，点N是“和谐点”．

(2)∵点P是“和谐点”，

∴(a＋3)×2＝3a，解得a＝6，

∴点P的坐标为(6，3)．

∵点P在直线y＝－x＋b上，

∴3＝－6＋b，解得b＝9．

∴a，b的值分别是6，9．

22．【解】(1)爸爸到达镇海书城所用的时间为 ＝6．4(min)，∴15＋6．4＝21．4(min)．

设爸爸在到达镇海书城前，他离开家的路程s关于t的函数表达式为s＝kt＋b，

把(15，0)，(21．4，2400)代入s＝kt＋b，

得 解得

∴s＝375t－5625．

∵爸爸的速度不变，

∴他返回家的时间和到达书城的时间均为6．4min．

∴a＝15＋2×6．4＝27．8．

(2)设爸爸出发后xmin追上小明，

则375x＝75(12＋x)，解得x＝3，

∴2400－375×3＝1275(m)．

答：爸爸出发后3min追上小明，此时距离镇海书城还有1275m．

23．【解】(1)设l₁的表达式为y＝kx＋b，把M(4，2)，N(2，4)的坐标代入，得 解得

∴l₁的表达式为y＝－x＋6．

∴将l₁向上平移9个单位得到的直线l₂的表达式为y＝－x＋15．

(2)①∵点P从原点O出发连续移动10次，其中点P按照甲方式移动了m次，

∴点P按照乙方式移动了(10－m)次，点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m，m)，∴点(2m，m)按照乙方式移动(10－m)次后得到的点的横坐标为2m＋10－m＝m＋10，纵坐标为m＋2(10－m)＝20－m．

∴x＝m＋10，y＝20－m．

②由于x＋y＝m＋10＋20－m＝30，

∴直线l₃的表达式为y＝－x＋30．

函数图象如图所示．

(3)a，b，c之间的关系式是5a＋3c＝8b．

【点拨】∵点A，B，C的横坐标依次为a，b，c，且分别在直线l₁，l₂，l₃上，

∴A(a，－a＋6)，B(b，－b＋15)，C(c，－c＋30)．

设直线AB的表达式为y＝zx＋n，

把A，B两点的坐标分别代入，得 解得

∴直线AB的表达式为y＝ x＋6－ ．

∵A，B，C三点始终在一条直线上，

∴c ＋6－ ＝－c＋30，

整理得5a＋3c＝8b，

即a，b，c之间的关系式为5a＋3c＝8b．

24．【解】(1)在y＝ x＋8中，令x＝0，则y＝8，

∴B(0，8)．∴OB＝8．

令y＝0，则x＝－6，∴A(－6，0)．∴OA＝6．

∵△ABC的面积为56，∴ ×8×AC＝56．

∴AC＝14．∴OC＝8．∴C(8，0)．

设直线BC的表达式为y＝kx＋b，∴

∴ ∴直线BC的表达式为y＝－x＋8．

(2)设E(0，y)．

∵点D为线段AB的中点，A(－6，0)，B(0，8)，

∴D(－3，4)．

∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，

∴DE＝EF，∠DEF＝90°．

∵△DEF的面积为5，∴ DE·EF＝ DE²＝5．

∴DE＝ ．∴ ＝ ．

∴y＝3或y＝5．∴E(0，3)或E(0，5)．

(3)①如图，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交GH于点G，过点F作FH⊥GH交GH于点H，则∠EGD＝∠FHE＝90°．

∴∠GED＋∠GDE＝90°．

∵∠DEF＝90°，∴∠GED＋∠HEF＝90°，

∴∠GDE＝∠HEF．

又∵DE＝EF，∴△GDE≌△HEF(AAS)．

∴GE＝HF，GD＝EH．

易知GE＝3，GD＝m－4，∴HF＝3，EH＝m－4，

∴点F的纵坐标为m－3，横坐标为m－4．

∴F(m－4，m－3)．

②3≤m≤ ．