第1章综合素质评价

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[母题教材P5例1]下列各组长度的三条线段能组成三角形的是(　　)

A．4，5，9 B．4，4，8

C．5，6，7 D．3，5，10

2．[2024·温州期末]下列命题不属于真命题的是(　　)

A．三个角对应相等的两个三角形全等

B．三边对应相等的两个三角形全等

C．全等三角形的对应边相等

D．全等三角形的面积相等

3．[新考向·传统文化2024·宁波期末]我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，则△AEG≌△AFG的依据是(　　)

(第3题)

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

4．如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE≌△ACD的是(　　)

(第4题)

A．∠ABE＝∠ACD B．AD＝AE

C．∠BDC＝∠CEB D．BE＝CD

5．[2024·金华义乌市期末]如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积为30cm²，AB＝8cm，AC＝7cm，则DE的长为(　　)

(第5题)

A．4cm B．3cm

C．2cm D．5cm

6．在△ABC中，AC＝10，BC＝8，AB＝9，用尺规作图，在△ABC的边上确定一点E，使△BEC的周长为18，则符合要求的作图痕迹是(　　)

　A 　 B 　 C D

7．如图，在锐角三角形ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP．若∠BPC＝100°，则∠A的度数为(　　)

(第7题)

A．40° B．50° C．60° D．80°

8．[2023·福建]阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；

②分别以C，D为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；

③作射线OM，连结CM，DM，如图所示．根据以上作图步骤，一定可以推得的结论是(　　)

(第8题)

A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM

C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM

9．[2024·宁波期末]如图，在△ABP中，C，D分别是PB，PA上任意一点，连结AC，BD，CD，M，N分别是AC，BD的中点，连结PM，PN，MN，若S_{四边形ABCD}＝2024，则S_△PMN＝(　　)

(第9题)

A． B．506 C． D．不确定

10．已知：△ABC纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折：

(第10题)

①如图①，沿着∠BAC的平分线AD翻折△ABD，得到△AED，设△CDE的周长为m．

②如图②，沿着AB的垂直平分线翻折△BFG，得到△AFG，设△AGC的周长为n．

线段AB的长度用含m，n的代数式可表示为(　　)

A．n－m B． C．m D．

二、填空题(每题4分，共24分)

11．命题“对顶角相等”的题设是　　　　，结论是　　　　．

12．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　　　　．

(第12题)

13．[2023·重庆]如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连结AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　　　　．

(第13题)

14．[情境题生活应用]沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD，垂足为D．已知CD＝16m，根据上述信息可知标语AB的长度为　　　　．

(第14题)

15．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是　　　　．

(第15题)

16．如图，在锐角三角形ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，且C'D∥EB'∥BC，BE，CD相交于点F．若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则α与β的关系式是　　　　．

(第16题)

三、解答题(共66分)

17．(6分)如图，在△ABC中，AB＞AC．

(1)用直尺和圆规作BC的中垂线，交AB于点D(要求保留作图痕迹)；

(2)连结CD，若AB＝8，AC＝4，求△ACD的周长．

18．(6分)如图，点C在线段AB上，CF所在直线为线段DE的垂直平分线，AC＝EB，AD＝BC．试探究AD与EB的位置关系，并说明理由．

19．(6分)如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．

(1)求△ABC的外角∠CAF的度数；

(2)求∠DAE的度数．

20．(8分)[新视角条件开放题]如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上．关于此图有如下三个论断：①AE∥DF；②AB＝CD；③CE＝BF．

(1)请用其中两个论断作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题，书写形式为“如果⊗，⊗，那么⊗．”)；

(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．

21．(8分)如图，在四边形ABCD中，P为CD边上的一点，BC∥AD．AP，BP分别是∠BAD，∠ABC的平分线．

(1)若∠BAD＝70°，则∠ABP的度数为　　　　，∠APB的度数为　　　　；

(2)求证：AB＝BC＋AD．

22．[新视角动态探究题](10分)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC(AE与BC在AC同侧)，若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动的时间为ts．连结PD，BD．

(1)如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；

(2)如图②，当PD⊥AB于点F时，求t的值．

23．(10分)[2024·舟山模拟]点A，B分别在两条互相垂直的直线ON，OM上．

(1)如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，如果点C到直线OM的距离是5，求OB的长．

(2)如图②，若OA＝6，点B在射线OM上运动，分别以OB，AB为边作与图①中△ABC相同形状的直角三角形OBF、直角三角形ABE，∠ABE＝∠OBF＝90°，连结EF交射线OM于点P．当点B在射线OM上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值；若变化，求PB的取值范围．

24．(12分)[新视角过程探究题]【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　　　　．

【探索延伸】如图②，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由．

答案

一、1．C　2．A　3．A　4．D　5．A　6．D

7．B　【点拨】连结AP并延长，与边BC交于点D，

∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，

∴易证得∠ABP＝∠BAP，∠CAP＝∠ACP，

∴∠BPD＝∠BAP＋∠ABP＝2∠BAP，∠CPD＝∠CAP＋∠ACP＝2∠CAP．

∵∠BPC＝100°，∴∠BPD＋∠CPD＝100°，

即2∠BAP＋2∠CAP＝100°，

∴∠BAP＋∠CAP＝50°，即∠BAC＝50°．

8．A

9．B　【点拨】连结DM，BM．∵M是AC的中点，

∴S_△ADM＝ S_△ACD，S_△ABM＝ S_△ABC，

∴S_△ADM＋S_△ABM＝ (S_△ACD＋S_△ABC)＝ S_{四边形ABCD}＝1012，

∵M是AC的中点，∴S_△BPM＝S_△MPC＋S_△CBM＝ S_△APC＋ S_△ABC＝ S_△ABP．

∵N是BD的中点，

∴S_△BPN＝ S_△BPD，S_△BMN＝ S_△BMD，

∴S_△PMN＝S_△BPM－S_△BMN－S_△BPN

＝ S_△ABP－ S_△BMD－ S_△BPD

＝ (S_△ABP－S_△BMD－S_△BPD)

＝ (S_△ADM＋S_△ABM)

＝506．

10．A　【点拨】∵沿着∠BAC的平分线AD翻折△ABD，得到△AED，∴BD＝DE，AB＝AE，

∴△CDE的周长＝DE＋CE＋CD＝BD＋CE＋CD＝BC＋CE＝m．

∵沿着AB的垂直平分线翻折△BFG，得到△AFG，∴AG＝BG，

∴△AGC的周长＝AG＋CG＋AC＝BG＋CG＋AC＝BC＋AC＝n，

∴AC－CE＝n－m，∴AE＝n－m，∴AB＝n－m．

二、11．两个角是对顶角；这两个角相等　12．82°

13．3　【点拨】∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°．

∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，

∴∠FAC＝∠ABE．

在△ABE和△CAF中，∵

∴△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，AE＝CF．

∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，

∴EF＝AF－AE＝4－1＝3．

14．16m　【点拨】∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP．

∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，

∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB．

∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD＝PB．

在△ABP与△CDP中，∵

∴△ABP≌△CDP，∴AB＝CD＝16m．

15．6　【点拨】∵BQ平分∠ABC，

∴∠ABQ＝∠EBQ，

在△ABQ和△EBQ中，∵

∴△ABQ≌△EBQ(ASA)，∴BA＝BE．

同理可得AC＝CD．

∵△ABC的周长为26，∴AB＋AC＋BC＝26，

∵BC＝10，∴AB＋AC＝16，∴BE＋CD＝16，

∴DE＝BE＋CD－BC＝16－10＝6．

16．2α＋β＝180°　【点拨】延长C'D交AC于点M．

∵△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB'，

∴∠ACD＝∠C'，∠C'AD＝∠CAD＝∠B'AE＝α，

∠ABE＝∠B'，

∴∠C'MC＝∠C'＋∠C'AM＝∠C'＋2α．

∵C'D∥B'E，∴∠AEB'＝∠C'MC．

∵∠AEB'＝180°－∠B'－∠B'AE＝180°－∠B'－α，

∴∠C'＋2α＝180°－∠B'－α，

∴∠C'＋∠B'＝180°－3α．

∴β＝∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝∠DAC＋∠ACD＋∠B'＝α＋∠C'＋∠B'＝α＋180°－3α＝180°－2α，∴2α＋β＝180°．

三、17．【解】(1)如图，直线MN即为所求．

(2)如图，由(1)可知，直线MN是线段BC的垂直平分线，∴DC＝DB，

∴△ACD的周长＝AC＋AD＋CD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB．

∵AB＝8，AC＝4，∴△ACD的周长＝8＋4＝12．

18．【解】AD∥EB．理由如下：

∵CF所在直线为线段DE的垂直平分线，

∴CD＝CE．

在△ADC和△BCE中，∵

∴△ADC≌△BCE，∴∠A＝∠B，∴AD∥EB．

19．【解】(1)∵GH∥BC，∴∠B＝∠GAB＝60°，

∴∠CAF＝∠B＋∠C＝60°＋40°＝100°．

(2)∵∠CAF＝100°，∴∠BAC＝80°．

∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝40°．

∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．∴∠BAD＝180°－∠ADB－∠B＝180°－90°－60°＝30°．

∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝10°．

20．【解】(1)如果①，②，那么③．如果①，③，那么②．

(2)选择“如果①，②，那么③”．理由如下：

∵AE∥DF，∴∠A＝∠D．

∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB．

在△ACE和△DBF中，∵

∴△ACE≌△DBF(AAS)，∴CE＝BF．

选择“如果①，③，那么②．”理由如下：

∵AE∥DF，∴∠A＝∠D．

在△ACE和△DBF中，∵

∴△ACE≌△DBF(AAS)，∴AC＝DB，

∴AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD．

(选择一个命题说明即可)

21．(1)55°；90°　【点拨】∵BC∥AD，

∴∠ABC＋∠BAD＝180°．

∵AP，BP分别是∠BAD，∠ABC的平分线，

∴∠ABP＝ ∠ABC，∠BAP＝ ∠BAD，

∴∠ABP＋∠BAP＝ (∠ABC＋∠BAD)＝90°，

∴∠APB＝180°－(∠ABP＋∠BAP)＝90°．

∵∠BAD＝70°，∴∠BAP＝ ∠BAD＝35°，

∴∠ABP＝90°－35°＝55°．

(2)【证明】如图，延长BP交AD的延长线于点G，

由(1)得∠APB＝90°，

∴BP⊥AP．

在△ABP和△AGP中，

∵

∴△ABP≌△AGP(ASA)，∴BA＝GA，BP＝GP．

∵BC∥AD，∴∠CBP＝∠DGP．

在△BCP和△GDP中，∵

∴△BCP≌△GDP(ASA)，∴BC＝GD，

∴AB＝GA＝GD＋AD＝BC＋AD．

22．(1)【证明】∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，

∴∠BDC＋∠PDA＝90°．

又∵∠C＝90°，∴∠BDC＋∠CBD＝180°－90°＝90°，∴∠PDA＝∠CBD．

∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°＝∠C．

∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC．

在△PDA和△DBC中，∵

∴△PDA≌△DBC(ASA)．

(2)【解】∵PD⊥AB，∴∠AFP＝90°，

∴∠PAF＋∠APF＝180°－90°＝90°．

∵∠PAD＝90°，∴∠PAF＋∠CAB＝90°，

∴∠APF＝∠CAB．

在△APD和△CAB中，∵

∴△APD≌△CAB(AAS)，∴AP＝AC．

∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．

23．【解】(1)过点C作CD⊥OM，交直线OM于点D，由题意可知CD＝5．

∵OM⊥ON，CD⊥OM，

∴∠AOB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，

∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∠CBD＋∠ABO＝90°，

∴∠BAO＝∠CBD．

在△AOB和△BDC中，∵

∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴OB＝CD＝5．

(2)不变．过点E作EG⊥OM于点G，由题意可知△OBF，△ABE都是等腰直角三角形，且∠ABE＝∠OBF＝90°，∴BE＝AB，OB＝FB，∠EBG＋∠ABO＝180°－∠ABE＝90°，∠FBP＝180°－∠OBF＝90°．

∵∠AOB＝90°，

∴∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠EBG＝∠BAO．

在△EBG和△BAO中，∵

∴△EBG≌△BAO(AAS)，

∴BG＝OA＝6，EG＝OB，∴EG＝FB．

在△EGP和△FBP中，∵

∴△EGP≌△FBP(AAS)，∴PB＝PG．

∵PB＋PG＝BG＝6，∴PB＝ BG＝3．

24．【解】【问题背景】EF＝BE＋FD

【探索延伸】EF＝BE＋FD仍然成立．

理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG．

∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADG．

又∵AB＝AD，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG，

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．

又∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠GAF＝∠FAD＋∠DAG＝∠FAD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－ ∠BAD＝ ∠BAD，

∴∠EAF＝∠GAF．

又∵AF＝AF，AE＝AG，

∴△AEF≌△AGF，∴EF＝GF．

又∵GF＝DG＋FD＝BE＋FD，∴EF＝BE＋FD．