第11讲 直角三角形全等的判定

【知识点睛】

• “HL”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

• Rt△是特殊的三角形，所以三角形全等的判定方法对于直角三角形全部适用，

故两直角三角形全等的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL

【类题训练】

1．如图，BF＝CE，AE⊥BC，DF⊥BC，添加一个条件____，即可证明Rt△ABE≌Rt△DCF．下列添加的条件不正确的是（　　）

A．AB＝DC B．AE＝BF C．EA＝FD D．∠A＝∠D

【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可解答．

【解答】解：∵AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠DFC＝∠AEB＝90°，

∵BF＝CE，

∴BF﹣EF＝CE﹣EF，

∴BE＝CF，

A、∵AB＝DC，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），

故A不符合题意；

B、∵AE＝BF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴Rt△ABE和Rt△DCF不一定全等，

故B符合题意；

C、∵EA＝DF，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（SAS），

故C不符合题意；

D、∵∠A＝∠D，BE＝CF，∠DFC＝∠AEB＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF（AAS），

故D不符合题意；

故选：B．

2．下列说法不正确的是（　　）

A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等

B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等

C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等

D．有两边相等的两个直角三角形全等

【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．

【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；

B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；

C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；

D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；

故选：D．

3．如图，已知AB＝DC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，有下列条件，其中，选择一个就可以判断Rt△ABE≌Rt△DCF的是（　　）

①∠B＝∠C

②AB∥CD

③BE＝CF

④AF＝DE

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

【分析】根据BE⊥AD，CF⊥AD，可得∠AEB＝∠CFD，然后再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．

【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，AB＝DC，

∴∠AEB＝∠CFD，

选择①可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择②可得∠A＝∠D，可利用AAS定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择③可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF；

选择④可得AE＝DF，可利用HL定理证明Rt△ABE≌Rt△DCF．

故选：D．

4．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL

【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．

【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．

∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．

故选：C．

5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据判定直角三角形全等的条件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可筛选出答案．

【解答】解：A、∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠A＝60°，AC＝2，

此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；

B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；

C、∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，

∴AC＝2，是30°角所对的直角边，而此选项中是60°角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；

D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误．

故选：A．

6．如图所示，P，Q分别是BC，AC上的点，作PR⊥AB于R点，作PS⊥AC于S点，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正确的是（　　）

A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③

【分析】根据角平分线的判定，先证AP是∠BAC的平分线，再证△APR≌△APS（HL），可证得AS＝AR，QP∥AR成立．

【解答】解：连接AP，

∵PR＝PS，

∴AP是∠BAC的平分线，

∴△APR≌△APS（HL）

∴AS＝AR，①正确．

∵AQ＝PQ

∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA

∴QP∥AR，②正确．

BC只是过点P，并没有固定，明显△BRP≌△CSP③不成立．

故选：C．

7．如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（　　）

A．SSS B．ASA C．SSA D．HL

【分析】根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．

【解答】解：∵OD⊥AB且OP⊥AC，

∴△ADO和△OPO是直角三角形，

又∵OD＝OP且AO＝AO

∴△AOD≌△AOP（HL）．

故选：D．

8．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定

【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，

∵∠EDF+∠FDC＝90°，

∠GDC+∠FDC＝90°，

∴∠EDF＝∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，

所以，S_△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．

故选：A．

9．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF＝AC，则∠ABC的大小是（　　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【分析】先利用AAS判定△BDF≌△ADC，从而得出BD＝DA，即△ABD为等腰直角三角形．所以得出∠ABC＝45°．

【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，

∴∠BEA＝∠ADC＝90°．

∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠AFE+∠FAE＝90°，∠BFD＝∠AFE，

∴∠FBD＝∠FAE，

在△BDF和△ADC中， ，

∴△BDF≌△ADC（AAS），

∴BD＝AD，

∴∠ABC＝∠BAD＝45°，

故选：B．

10．如图所示，三角形ABC的面积为1cm²．AP垂直∠B的平分线BP于P．则与三角形PBC的面积相等的长方形是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．

【解答】解：延长AP交BC于点E，

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，

∠ABP＝∠EBP，

又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，

∴△ABP≌△BEP，

∴AP＝PE，

∵△APC和△CPE等底同高，

∴S_△APC＝S_△PCE，

∴三角形PBC的面积＝ 三角形ABC的面积＝ cm²，

选项中只有B的长方形面积为 cm²，

故选：B．

11．如图，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米，点G在线段AB上．则△CDE的面积是　　平方厘米．

【分析】过E作EH⊥CD于H，根据正方形性质求出DE＝DG，∠H＝∠A，求出∠HDE＝∠GAD，推出△DAG≌△DHE，推出HE＝AG，根据勾股定理求出AG，根据三角形面积公式求出即可．

【解答】解：

过E作EH⊥CD于H，

∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，面积分别为9平方厘米和13平方厘米

∴DG＝DE＝ （厘米），AD＝CD＝ ＝3（厘米），∠A＝∠DHE＝∠ADC＝∠GDE＝90°，

∴∠HDE＝∠GDA＝90°﹣∠ADE，

在Rt△DAG中，∠A＝90°，DG＝ 厘米，AD＝3厘米，由勾股定理得：AG＝2厘米，

在△DAG和△DHE中

∴△DAG≌△DHE（AAS），

∴HE＝AG＝2厘米，

∴△CDE的面积是 CD×EH＝ ×3×2＝3（平方厘米），

故答案为：3．

12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　　，△ABC与△APQ全等．

【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝5时；②当AP＝CA＝10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．

【解答】解：∵AX⊥AC，

∴∠PAQ＝90°，

∴∠C＝∠PAQ＝90°，

分两种情况：

①当AP＝BC＝5时，

在Rt△ABC和Rt△QPA中， ，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；

②当AP＝CA＝10时，

在△ABC和△PQA中， ，

∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；

综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；

故答案为：5或10．

13．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是　　．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC＝BD．

【解答】解：条件是AC＝AD，

∵∠C＝∠D＝90°，

在Rt△ABC和Rt△ABD中

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），

故答案为：AC＝AD．

14．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝　　．

【分析】可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE＝BC，则AB＝AD+BC．

【解答】解：∵MN∥PQ，AB⊥PQ，

∴AB⊥MN，

∴∠DAE＝∠EBC＝90°，

在Rt△ADE和Rt△BCE中，

，

∴△ADE≌△BEC（HL），

∴AE＝BC，

∵AD+BC＝7，

∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．

故答案为7．

15．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD和CE交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形有 　　对．

【分析】△ADO≌△AEO，△DOC≌△EOB，△COF≌△BOF，△ACF≌△ABF，△ADB≌△AEC，△BCE≌△CBD，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

∵AC＝AB，

∵∠CAE＝∠BAD，

∴△AEC≌△ADB（AAS）；

∴CE＝BD，

∵AC＝AB，

∴∠CBE＝∠BCD，

∵∠BEC＝∠CDB＝90°，

∴△BCE≌△CBD（AAS）；

∴BE＝CD，

∴AD＝AE，

∵AO＝AO，

∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）；

∵∠DOC＝∠EOB，

∴△COD≌△BOE（AAS）；

∴OB＝OC，

∵AB＝AC，

∴CF＝BF，AF⊥BC，

∴△ACF≌△ABF（SSS），△COF≌△BOF（SSS），

综上所述，共有6对全等的直角三角形．

故答案是：6．

16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．

（2）由（1）得BD＝EC＝ BC＝ AC，且AC＝12，即可求出BD的长．

【解答】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．

∴∠D＝∠AEC．

又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，

且BC＝CA，

在△DBC和△ECA中，

∵

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE＝CD．

（2）解：∵△CDB≌△AEC，

∴BD＝CE，

∵AE是BC边上的中线，

∴BD＝EC＝ BC＝ AC，且AC＝12cm．

∴BD＝6cm．

17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF＝BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE＝10，CF＝3，求：FE长．

【分析】（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；

（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．

【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，

∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，

∴∠CAF＝∠EBA，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，

∴△BEA≌△AFC（AAS）．

∴EA＝FC，BE＝AF．

∴EF＝EB+CF．

（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，

∴∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，

∴∠CAF＝∠ABE，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA＝∠AFC＝90°，∠EBA＝∠CAF，AB＝AC，

∴△BEA≌△AFC（AAS）．

∴EA＝FC＝3，BE＝AF＝10．

∴EF＝AF﹣CF＝10﹣3＝7．

18．在△ABC中，OE⊥AB，OF⊥AC且OE＝OF．

（1）如图，当点O在BC边中点时，试说明AB＝AC；

（2）如图，当点O在△ABC内部时，且OB＝OC，试说明AB与AC的关系；

（3）当点O在△ABC外部时，且OB＝OC，试判断AB与AC的关系．（画出图形，写出结果即可，无需说明理由）

【分析】（1）证△BOE≌△COF，可得∠B＝∠C，通过等角对等边，得出AB＝AC；

（2）与（1）类似，在证得△BOE≌△COF后，得∠OBE＝∠OCF，OB＝OC；则∠OBC＝∠OCB，可证得∠ABC＝∠ACB，根据等角对等边得出AB＝AC；

（3）由前两问的解答过程可知，BC的垂直平分线与∠A的角平分线重合时，AB＝AC的结论才成立（等腰三角形三线合一）．

【解答】（1）证明：∵OE＝OF，OB＝OC，

∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）；

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC．

（2）解：AB＝AC．

证明：同（1）可证得Rt△OBE≌Rt△OCF；

∴∠OBE＝∠OCF；

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB；

∴∠ABC＝∠ACB；

∴AB＝AC．

（3）解：①当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时，AB＝AC成立；

②当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时，结论不成立．（图形不唯一，符合题意，画图规范即可）

19．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：CD＝BF；

（2）求证：AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

【分析】（1）由平行可求得∠CBF＝90°，再结合等腰三角形的判定和性质可求得BF＝BD，可得BF＝CD；

（2）结合（1）的结论，可证明△ACD≌△CBF，可得∠DCG＝∠CAD，可证明∠CGD＝90°，可得结论；

（3）由（2）可得CF＝AD，又AB垂直平分DF，可得AD＝AF，可证明CF＝AF，可知△ACF为等腰三角形．

【解答】（1）证明：

∵AC∥BF，且∠ACB＝90°，

∴∠CBF＝90°，

又AC＝BC，

∴∠DBA＝45°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠BEF＝∠DBF＝90°，

∴∠BDE＝∠BFE＝45°，

∴BD＝BF，

又D为BC中点，

∴CD＝BD，

∴CD＝BF；

（2）证明：

由（1）可知CD＝BF，且CA＝CB，∠ACB＝∠CBF＝90°，

在△ACD和△CBF中

∴△ACD≌△CBF（SAS），

∴∠CAD＝∠BCF，

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠CDA＝90°，

∴∠BCF+∠CDA＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∴AD⊥CF；

（3）解：连接AF．

由（2）可知△ACD≌△CBF，

∴AD＝CF，

由（1）可知AB垂直平分DF，

∴AD＝AF，

∴AF＝CF，

∴△ACF为等腰三角形．