第一次月考测试卷

考试范围：八上前三章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分

一．选择题（每题3分，共10小题，共30分）

1．如图图案中不是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称的定义，结合各选项所给图形进行判断即可．

【解答】解：A、这个图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；

B、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、这个图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

2．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．a+5＞b+5 B．1﹣2a＞1﹣2b C． a＞ b D．4a﹣4b＞0

【分析】根据不等式的性质分析判断．

【解答】解：A、不等式a＜b的两边同时加上5，不等号的方向不变，即a+5＜b+5，原变形错误，故此选项不符合题意；

B、不等式a＜b的两边同时乘﹣2再加上1，不等号的方向改变，1﹣2a＞1﹣2b，原变形正确，故此选项符合题意；

C、不等式a＜b的两边同时乘 ，不等号的方向不变，即 a＜ b，原变形错误，故此选项不符合题意；

D、不等式a＜b的两边同时乘4再减去4b，不等号的方向不变，即4a﹣4b＜0，原变形错误，故此选项不符合题意．

故选：B．

3．一块三角形玻璃不慎被小明摔成了四片碎片（如图所示），小明经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店，就可以让师傅配一块与原玻璃一样的玻璃．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　）

A．带其中的任意两块去都可以

B．带1、4或2、3去就可以了

C．带1、4或3、4去就可以了

D．带1、2或2、4去就可以了

【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．

【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形，

带1、4可以用“角边角”确定三角形，

故选：C．

4．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）

A．两个锐角对应相等

B．两条直角边对应相等

C．一个锐角和斜边对应相等

D．斜边和一条直角边对应相等

【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；

B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；

C、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意；

D、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意．

故选：A．

5．如图为正方形网格，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．105° B．120° C．115° D．135°

【分析】首先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3＝90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2＝45°，进而可得答案．

【解答】解：∵在△ABC和△AEF中， ，

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴∠4＝∠3，

∵∠1+∠4＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∵AD＝MD，∠ADM＝90°，

∴∠2＝45°，

∴∠1+∠2+∠3＝135°，

故选：D．

6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）

A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC

B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC

C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC

D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC

【分析】根据等腰三角形性质逐项判断即可．

【解答】解：若AB＝AC，AD⊥BC，则D是BC中点，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴BP＝PC，

∴故选项A是真命题，不符合题意；

AD⊥BC，即PD⊥BC，

又PB＝PC，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴AB＝AC，

∴故选项B是真命题，不符合题意；

若AB＝AC，∠1＝∠2，则AD⊥BC，D是BC中点，

∴AP是BC的垂直平分线，

∴BP＝PC，

∴故选项C是真命题，不符合题意；

若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故选项D是假命题，符合题意；

故选：D．

7．如图，△ABC≌△ADE，点E在BC边上，∠CAE＝20°，则∠AED的度数为（　　）

A．60° B．90° C．80° D．20°

【分析】根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵△ABC≌△ADE，

∴AE＝AC，∠AED＝∠C，

∵∠CAE＝20°，

∴∠AEC＝∠C＝80°，

∴∠AED＝80°，

故选：C．

8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　　）

A． B．2 C． D．

【分析】在Rt△BCE中，由BE²＝CE²+BC²,得到（8﹣x）²＝x²+6²，即可求解。

【解答】解：设CE＝x，则AE＝8﹣x＝EB，

在Rt△BCE中，BE²＝CE²+BC²,

即（8﹣x）²＝x²+6²，

解得x＝ ，

故选：D．

9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝ ∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据全等三角形的判定和性质解答．

【解答】解：在BE上截取BG＝DF，

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF，

在△ADF与△ABG中

，

∴△ADF≌△ABG（SAS），

∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，

∵∠EAF＝ ∠BAD，

∴∠FAE＝∠GAE，

在△AEG与△AEF中

，

∴△AEG≌△AEF（SAS）

∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．

故选：B．

10．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（　　）

A．较小两个正方形重叠部分的面积

B．最大正方形的面积

C．最大正方形与直角三角形的面积和

D．直角三角形的面积

【分析】根据勾股定理得到c²＝a²+b²，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．

【解答】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，

由勾股定理得，c²＝a²+b²，

阴影部分的面积＝c²﹣b²﹣a（c﹣b）＝a²﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），

较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，

则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），

因此知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，

解法二：因为两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，所以重叠部分面积应该等于阴影部分面积．

故选：A．

二．填空题（每题4分，共6小题，共24分）

11．等腰三角形的一个内角是100°，则底角为 　　，若一个内角是40°，则底角为 　　．

【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角，根据等腰三角形的性质即可求解．

由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．

【解答】解：等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；

①当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，

②当40°的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数＝（180°﹣40°）÷2＝70°．

综上所述，该等腰三角形的底角是40°或70°，

故答案为：40°；40°或70°．

12．若关于x的不等式组 只有3个整数解，则m的取值范围是 　　．

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组只有3个整数解，确定出m的范围即可．

【解答】解：不等式组整理得： ，

解得： ≤x＜2，

∵不等式组只有3个整数解，即﹣1，0，1，

∴﹣2＜ ≤﹣1，

解得：﹣3＜m≤﹣ ．

故答案为：﹣3＜m≤﹣ ．

13．已知实数x、y满足2x﹣3y＝4，且x＞﹣1，y≤2，设k＝x﹣y，则k的取值范围是　　．

【分析】先把2x﹣3y＝4变形得到y＝ （2x﹣4），由y≤2得到 （2x﹣4）≤2，解得x≤5，所以x的取值范围为﹣1＜x≤5，再用x变形k得到k＝ x+ ，然后利用一次函数的性质确定k的范围．

【解答】解：∵2x﹣3y＝4，

∴y＝ （2x﹣4），

∵y≤2，

∴ （2x﹣4）≤2，解得x≤5，

又∵x＞﹣1，

∴﹣1＜x≤5，

∵k＝x﹣ （2x﹣4）＝ x+ ，

当x＝﹣1时，k＝ ×（﹣1）+ ＝1；

当x＝5时，k＝ ×5+ ＝3，

∴1＜k≤3．

故答案为：1＜k≤3．

14．如图，△ABC中，BD是角平分线，BE是高，EF⊥AB于F，交BD于点G，若∠A＝40°，∠DGE＝60°，则∠CBE＝　　．

【分析】由直角三角形的性质可求解∠AEF的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠GDE的度数，进而可求解∠ABD的度数，结合角平分线的定义可求解∠ABC的度数，再利用直角三角形的性质可求得∠ABE的度数，进而可求解．

【解答】解：∵EF⊥AB，

∴∠AFE＝90°，

∴∠A+∠AEF＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠AEF＝50°，

∵∠AEF+∠DGE+∠GDE＝180°，∠DGE＝60°，

∴∠GDE＝180°﹣50°﹣60°＝70°，

∴∠ABD＝∠GDE﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，

∵BD是角平分线，

∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，

∵BE是△ABC的高线，

∴BE⊥AC，

∴∠ABE+∠A＝90°，

∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°，

∴∠CBE＝ABC﹣∠ABE＝60°﹣50°＝10°．

故答案为：10°．

15．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　　．

【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．

【解答】解：在矩形ABCD中，

∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，

由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，

在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝ ＝4，

∴AF＝AD﹣DF＝1，

设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，

在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF²＝AE²+AF²，

即（3﹣x）²＝x²+1²，

解得x＝ ，即AE＝ ，

故答案为： ．

16．“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于154为止”叫做一次操作，那么恰好经过三次操作停止，则x的取值范围是 　．

【分析】表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可．

【解答】解：第一次的结果为：3x﹣2，没有输出，则3x﹣2≤154，

解得：x≤52；

第二次的结果为：3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8，没有输出，则9x﹣8≤154，

解得：x≤18；

第三次的结果为：3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26，输出，则27x﹣26＞154，

解得：x＞ ．

综上可得：x的取值范围是 ＜x≤18．

故答案为： ＜x≤18．

三．解答题（共8小题，共66分）

17．（6分）解下列不等式（组），并把它的解集在数轴上表示出来．

（1） _；（2）

【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，再把它的解集在数轴上表示出来即可．

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：（1）去分母得：2（x﹣2）＞5（x+4）﹣30，

去括号得：2x﹣4＞5x+20﹣30，

移项得：2x﹣5x＞20﹣30+4，

合并同类项得﹣3x＞﹣6，

解得：x＜2，

不等式的解集在数轴上表示如下：

（2）由x﹣7＜4x+2，得：x＞﹣3，

由5﹣2x≤15﹣4x，得：x≤5，

则不等式组的解集为﹣3＜x≤5，

将解集表示在数轴上如下：

18．（6分）如图，在△ABC和△DEF中，A，F，C，D在同一直线上，且AF＝CD，∠A＝∠D．

（1）请你添加一个条件：　　，使△ABC≌△DEF；（只添一个即可）

（2）根据（1）中你所添加的条件，试说明△ABC≌△DEF的理由．

【分析】（1）添加∠E＝∠B，可根据AAS证明△ABC≌△DEF；

（2）证明过程见（1）．

【解答】解：（1）添加∠E＝∠B，

∵AF＝CD，

∴AC＝DF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

故答案为：∠E＝∠B（答案不唯一）；

（2）理由见（1）．

19．（6分）如图，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′三点的坐标．

（2）△A′B′C′的面积是 　　；

（3）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）

【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；

（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；

（3）连接A′B交y轴于点P，连接AP，点P即为所求．

【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．A′（2，4），B′（4，1），C′（﹣1，﹣2）；

（2）△A′B′C′的面积＝5×6﹣ ×3×6﹣ ×3×2﹣ ×5×3＝10.5；

故答案为：10.5；

（3）如图，点P即为所求．

20．（8分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE．

（1）求证：CD＝CE；

（2）若∠A＝40°，∠BCD＝60°，求∠CDE的度数．

【分析】（1）根据AD∥BE，可得∠A＝∠B，即可得证△ADC≌△BCE（SAS）；

（2）根据全等三角形的性质，可得CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，根据三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠A+∠ADC，根据等腰三角形的性质即可求出∠CDE的度数

【解答】（1）证明：∵AD∥BE，

∴∠A＝∠B，

在△ADC和△BCE中，

，

∴△ADC≌△BCE（SAS）；

（2）解：∵△ADC≌△BCE，

∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC，

∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝60°，

∴∠ADC＝20°＝∠BCE，

∴∠ECD＝60°+20°＝80°，

∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，

∴∠CDE＝50°．

21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，BE为三角形的角平分线，AD与BE相交于点F．

（1）求证：∠AFE＝∠AEF；

（2）若BC＝13，AC＝12，AB＝5，求AD的长度．

【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠DBF，再根据等角的余角相等得到∠BFD＝∠AEF，然后利用∠BFD＝∠AFE得到∠AFE＝∠AEF；

（2）利用面积法计算AD的长．

【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠DBF，

∵AD是△ABC的高，

∴AD⊥BC，

∴∠BDF＝90°，

∵∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABE+∠AEF＝90°，

∴∠BFD＝∠AEF，

∵∠BFD＝∠AFE，

∴∠AFE＝∠AEF；

（2）解：∵∠BAC＝90°，

∴BA⊥AC，AD⊥BC，

∴S_△ABC＝ AD•BC＝ AB•AC，

∴AD＝ ＝ ．

即AD的长度为 ．

22．（10分）【阅读】

明明在学习解不等式时，类比解方程的方法解不等式 ，

解方程： 去分母得﹣2x+4＝0 移项得﹣2x＝﹣4 系数化1得x＝2

解不等式： 去分母得﹣2x+4＞0 ① 移项得2x＞4② 系数化1得x＞2③

【解答】

（1）明明在解不等式的过程中，从第 　　步就开始出现错误，造成该错误的原因是 　　；

（2）请正确解不等式 ，并把其解集表示在数轴上；

（3）明明类比解方程的方法解不等式 ，带给我的启示是：　　．

【分析】（1）根据不等式的基本性质判断即可得；

（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、系数化为1可得；

（3）根据（2）得出启示．

【解答】解：（1）小明的解答过程第①步开始出现错误，其错误原因是不等式的两边都乘一个负数，不等号的方向没有改变；

故答案是：①，不等式的两边都乘一个负数，不等号的方向没有改变；

（2） ，

去分母，得：﹣2x+4＜0，

移项，得：﹣2x＜﹣4，

系数化为1，得：x＞2；

（3）明明类比解方程的方法解不等式 ，带给我的启示是：一定考虑x﹣3有大于0、小于0两种情况．

故答案为：一定考虑x﹣3有大于0、小于0两种情况．

23．（10分）某网红蛋糕店的蛋糕十分畅销，供不应求，主原料为鸡蛋和面粉，一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390克，鸡蛋比面粉多90克，再添加不同的辅料，做成A、B、C三款蛋糕，毛利润分别为6元、9元、8元．

（1）求一份蛋糕含鸡蛋、面粉各多少克？

（2）若一天卖出500份蛋糕，A款与B款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元，求A款、B款、C款各卖了多少份？

（3）若一天卖出n份蛋糕，A款与B款的份数之比为3：4，毛利润为4200元，且每款蛋糕的份数不少于145份，则n的最小值是（直接写出答案）．

【分析】（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，根据“一份蛋糕含鸡蛋和面粉共390克，鸡蛋比面粉多90克”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，根据“三款蛋糕共卖出500份，A款与B款的份数之和比C款多60份，毛利润为3800元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论；

（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，根据毛利润为4200元，即可得出关于m，n的二元一次方程，变形后可用含m的代数式表示出n值，结合每款蛋糕的份数不少于145份，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合3m，4m，（525+ m）均为正整数，即可得出m的值，进而可得出n的值，取n的最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设一份蛋糕含鸡蛋x克，面粉y克，

依题意得： ，

解得： ．

答：一份蛋糕含鸡蛋240克，面粉150克．

（2）设A款蛋糕卖了a份，B款蛋糕卖了b份，C款蛋糕卖了c份，

依题意得： ，

解得： ．

答：A款蛋糕卖了160份，B款蛋糕卖了120份，C款蛋糕卖了220份．

（3）设卖出A款蛋糕3m份，则卖出B款蛋糕4m份，卖出C款蛋糕（n﹣7m）份，

依题意得：6×3m+9×4m+8（n﹣7m）＝4200，

∴n＝525+ m．

又∵每款蛋糕的份数不少于145份，

∴ ，即 ，

解得： ≤m≤ ，

又∵3m，4m，（525+ m）均为正整数，

∴m可以为52，56，

∴n的值为538或539．

答：n的最小值为538．

24．（12分）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，分别连接PQ，AQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜3），解答下列问题：

（1）当AQ平分∠BAC时，求t的值；

（2）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上；

（3）设四边形APQC的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）求得CQ＝BQ，根据距离，速度，时间的关系即可求解；

（2）根据 BQ＝ BP，列方程求解即可；

（3）利用S＝三角形ABC的面积﹣三角形BPQ的面积，列式求解即可；

（4）分PQ⊥AB和PQ⊥BC两种情况讨论，列方程求解即可．

【解答】（1）解：在等边△ABC中，AQ平分∠BAC，

∴点Q是BC的中点，

∴CQ＝BQ＝ BC＝3（cm），

∴t＝ （s），

∴t的值为 s；

（2）解：根据题意：BP＝t，CQ＝2t，则BQ＝6﹣2t，

过点P作PD⊥BC于点D，

在等边△ABC中，∠B＝60°，点P在线段BQ的垂直平分线上，

∴BD＝ BP，BD＝DQ＝ BQ，

根据题意得： t＝ （6﹣2t），

解得：t＝2（s），

∴当t＝2s时，点P在线段BQ的垂直平分线上；

（3）解：在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，

BC边上的高为 AB＝3 （cm），

BQ＝6﹣2t，BQ上的高为 PB＝ t（cm），

∴四边形APQC的面积S＝ ＝ ；

（4）解：当PQ⊥AB时，△BPQ为直角三角形，

∴BQ＝2BP，即6﹣2t＝2t，

解得：t＝ （s）；．

当PQ⊥BC时，△BPQ为直角三角形，

∴2BQ＝BP，即2（6﹣2t）＝t，

解得：t＝ （s）；

综上，t＝ s或t＝ s时，△BPQ为直角三角形．