第10讲 勾股定理与勾股定理逆定理

考点一 勾股定理

【知识点睛】

• 直 角三角形勾股定理

在Rt△ABC中，两直角边的平方和=斜边的平方，即

常见变形： ； ；

• 注意事项：当直角三角形的给出的两边没有说明是什么边长时，利用勾股定理求长度时通常需要分类讨论

• 直角三角形求长度其他常用相关性质有：

直角三角形斜边上的中线=½斜边长

等腰三角形的两腰长相等；

等腰三角形的“三线合一”

中垂线的性质定理；

• 勾股定理常见面积模型

图形
结论
总结	当分别以直角三角形的三边为边（或底边、半径）做规则的正方形、等边三角形、等腰直角三角形、半圆时，均满足两直角边所做图形的面积和等于斜边所做图形的面积

【类题训练】

1．直角三角形的两条边长a，b满足 ，则其斜边长为（　　）

A．5 B． C．4或5 D． 或5

【分析】由非负数的性质求出a和b的值即可求解．

【解答】解：∵a，b满足 ，

∴3﹣a＝0，b﹣4＝0，

∴a＝3，b＝4，

①当4是直角边时，其斜边长＝ ＝5，

②当4是斜边时，其斜边长为4，

故选：C．

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的中线，则AD的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．4 D．5

【分析】根据勾股定理即可得到AB的长，进而可求解．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝ ，

∵AD是BC边上中线，

∴AD＝ AB＝2.5，

故选：B．

3．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（　　）

A．2 B．2 C． D．

【分析】根据勾股定理即可得到答案．

【解答】解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，

∴任意两个格点间的距离有：1，2，3， ， ＝2 ， ＝ ， ＝3 ， ＝ ， ＝ ，

∴任意两个格点间的距离不可能是 ，

故选：D．

4．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．

【解答】解：A、大正方形的面积为：c²，

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+（b﹣a）²＝a²+b²，

∴a²+b²＝c²，故A选项能证明勾股定理；

B、大正方形的面积为：（a+b）²，

也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a²+b²+2ab，

∴（a+b）²＝a²+b²+2ab，

∴B选项不能证明勾股定理．

C、大正方形的面积为：（a+b）²；

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为： ab×4+c²＝2ab+c²，

∴（a+b）²＝2ab+c²，

∴a²+b²＝c²，故C选项能证明勾股定理；

D、梯形的面积为： （a+b）（a+b）＝ （a²+b²）+ab，

也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为： ab×2+ c²＝ab+ c²，

∴ （a²+b²）+ab＝ab+ c²，

∴a²+b²＝c²，故D选项能证明勾股定理；

故选：B．

5．如图，有一个水池，水面是一边长为8尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度是（　　）尺．

A．7.5 B．8 C． D．9

【分析】设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理列方程即可．

【解答】解：设芦苇的长度为x尺，则AB的长为（x﹣1）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC²＝AB²+AC²，

即： ，

解得：x＝ ，

即芦苇的长度为： 尺，

故选：C．

6．为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为1.7米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD等于（　　）

A．1.0米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.5米

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．

【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AB＝2.3米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米，

∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）．

在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝ ＝1（米），

故选：A．

7．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．若S₁＝48，S₂+S₃＝135，则S₄＝（　　）

A．183 B．87 C．119 D．81

【分析】利用勾股定理的几何意义解答．

【解答】解：由题意可知：S₁＝AB²，S₂＝BC²，S₃＝CD²，S₄＝AD²，

如图，连接BD，

在直角△ABD和△BCD中，

BD²＝AD²+AB²＝CD²+BC²，

即S₁+S₄＝S₃+S₂，

因此S₄＝135﹣48＝87，

故选：B．

8．如图Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝10，点F是BA延长线上一点，过点F作FD∥BC，交CA延长线于点D，点E是CD的中点，若BF＝12，DF＝5，则EF的长是（　　）

A．3 B．5 C．6.5 D．6

【分析】延长FE交BC于G，利用ASA证明△DFE≌△CGE，得BG＝DF＝5，EF＝EG，在Rt△BGF中，利用勾股定理求得FG的长，即可得出答案．

【解答】解：延长FE交BC于G，

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

∵FD∥BC，

∴∠D＝∠C，

在△DFE和△CGE中，

，

∴△DFE≌△CGE（ASA），

∴CG＝DF＝5，EF＝EG，

∴BG＝5，

在Rt△BGF中，由勾股定理得，

FG＝ ＝13，

∴EF＝ FG＝6.5，

故选：C．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AC+BC＝3.5，AB＝2.5，则CD的长为（　　）

A．1 B．1.2 C．1.25 D．1.5

【分析】利用勾股定理得到AC²+BC²＝AB²，然后结合AC+BC＝3.5，AB＝2.5求得AC•BC的值；最后利用等面积法求得CD的长度即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则AC²+BC²＝AB²．

∵AC+BC＝3.5，AB＝2.5，

∴AC•BC＝ [（AC+BC）²﹣（AC²+BC²）]

＝ [（AC+BC）²﹣AB²]

＝ （3.5²﹣2.5²）

＝3．

又∵CD⊥AB，

∴ AC•BC＝ AB•CD，

∴CD＝ ＝ ＝1.2．

故选：B．

10．代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE＝∠AED，AD＝4 ，则△ADE的面积为（　　）

A．24 B．6 C．2 D．2

【分析】由已知得出AD＝AE＝AB，进而利用图形面积的割补关系解得即可．

【解答】解：如图：

∵∠ADE＝∠AED，

∴AD＝AE＝AB，

∴∠AEF＝∠ABF，

∵AF⊥BE，

∴EF＝BF＝ BE，

∴GE＝AH，

∵∠GEM＝∠HAM，∠MGE＝∠MHA，

∴△GEM≌△HAM（ASA），

∴S_△HAM＝S_△GEM，

∴S_△ADE＝S_△ADH+S_△DGE，

∵AD＝4 ，DH＝2AH，AD²＝DH²+AH²，

∴AH＝4，DH＝8，

∴DG＝GE＝4，

∴ ，

故选：A．

11．勾股定理在平面几何中有着不可替代的重要地位，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长均为1的小正方形和Rt△ABC构成，可以用其面积关系验证勾股定理，将图1按图2所示“嵌入”长方形LMJK，则该长方形的面积为（　　）

A．60 B．100 C．110 D．121

【分析】延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，证△OBF≌△ACB（AAS），得AC＝OB，同理△ACB≌△PGC（AAS），得PC＝AB，再证矩形AOLP是正方形，边长AO＝7，则KL＝10，LM＝11，即可解决问题．

【解答】解：延长AB交KL于点O，延长AC交LM于点P，如图所示：

则四边形AOLP是矩形，

∴∠BOF＝∠BAC＝90°，

∵四边形BCGF是正方形，

∴BC＝BF，∠CBF＝90°，

∴∠ABC+∠OBF＝90°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠OBF＝∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC＝OB，

同理：△ACB≌△PGC（AAS），

∴PC＝AB，

∴AB+OB＝PC+AC，

即OA＝AP，

∴矩形AOLP是正方形，边长AO＝AB+OB＝AB+AC＝3+4＝7，

∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11，

∴长方形LMJK的面积为：10×11＝110，

故选：C．

12．如图，将一副三角尺叠放在一起，若AB＝2cm，则AF的长为 　　cm．

【分析】先利用30°的直角三角形的性质可得AC长，再利用BC∥DE可得∠AFC＝45°，进而可得△ACF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出AF长．

【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2cm，∠B＝30°，

∴AC＝ ＝1，

∵BC∥DE，

∴∠AFC＝∠D＝45°，

∴△ACF为等腰直角三角形，

∴AF＝ ＝ ．

故答案为： ．

13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB²+CD²＝　　．

【分析】根据“垂美”四边形的定义得到BD⊥AC，根据勾股定理计算，得到答案．

【解答】解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，

∴BD⊥AC，

∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，

在Rt△AED中，AE²+DE²＝AD²＝9，

在Rt△BEC中，BE²+CE²＝BC²＝25，

∴AE²+DE²+BE²+CE²＝9+25＝34，

在Rt△AEB中，AE²+BE²＝AB²，

在Rt△CED中，CE²+DE²＝CD²，

∴AB²+CD²＝AE²+DE²+BE²+CE²＝9+25＝34，

故答案为：34．

14．如图，一架梯子AB斜靠在某个胡同竖直的左墙上，顶端在点A处，底端在水平地面的点B处，保持梯子底端B的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点E处．已知顶端A距离地面的高度AC为2米，BC为1.5米．

（1）梯子的长为 　　米；

（2）若顶端E距离地面的高度EF比AC多0.4米，则胡同的宽CF为 　　米．

【分析】（1）根据勾股定理可求出梯子的长；

（2）根据勾股定理可得出BD的长，进而可求解．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，

∵∠AOB＝90°，AC＝2米，CB＝1.5米，BC²+AC²＝AB²，

∴AB²＝2²+1.5²＝6.25，

∴AB＝±2.5，

∵AB＞0，

∴AB＝2.5米，

即梯子的长为2.5米，

故答案为：2.5；

（2）由题意得CD＝AC+0.4＝2.4米，BE＝AB＝2.5米，

∴BF²＝2.5²﹣2.4²＝0.49，

∴BF＝0.7米，

∴CD＝CB+BF＝1.5+0.7＝2.2米，

故答案为：2.2．

15．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为 　　．

【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．

【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，

∴AE＝4，

在Rt△ACE中，由勾股定理得，

CE＝ ＝ ＝2 ，

∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，

∴OE＝ AB＝4，

∵OC≤OE+CE，

∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2 ，

故答案为：4+2 ．

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ， ，分别以Rt△ABC的三条边AC、AB、BC为直径画半圆，则两个月牙形图案的面积之和（阴影部分）为 　　．

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，由勾股定理得S_①+S_②＝S_③，从而得出两个月牙形图案的面积之和为△ABC的面积，进而得出答案．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，

由勾股定理得：AB＝ ＝3 ，

设以AB，BC，AC为直径的半径分别为①，②，③，

∴S_①＝ ，

同理S ，S ，

∴S_①+S_②＝S_③，

∴S_阴影＝S_①+S_②+S_△ABC﹣S_③

＝S ×

＝ ，

故答案为： ．

17．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．

【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程AC²＝（AC﹣1.8）²+2.4²，解方程即可求出AC的长度．

【解答】解：∵CH²+BH²＝2.4²+1.8²＝9，BC²＝3²＝9，

∴CH²+BH²＝BC²，

∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，

∴∠CHA＝90°，

∴AC²＝AH²+CH²，

∵AB＝AC，

∴AH＝AB﹣HB＝AC﹣1.8，

∴AC²＝（AC﹣1.8）²+2.4²，

解得：AC＝2.5，

答：原来的路线AC的长为2.5km．

18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，E为BC边上一点，且CE＝2，AE＝2 ．

（1）求AB的长；

（2）点F为AB边上的动点，当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理证出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；

（2）分三种情况，由勾股定理可求出答案．

【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝2，AE＝2 ，

∴AC²+CE²＝40，AE²＝40，

∴AC²+CE²＝AE²，

∴∠ACE＝90°，

∴AB＝ ＝ ＝6 ；

（2）①∵BC＝6，CE＝2，

∴BE＝4，

当BF＝BE＝4时，

∴AF＝AB﹣BF＝6 ﹣4；

②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，

∴∠BFE＝90°，BF＝EF，

设BF＝EF＝x，

∵BF²+EF²＝BE²，

∴x²+x²＝4²，

∴x＝2 （负值舍去），

∴AF＝AB﹣BF＝6 ﹣2 ＝4 ；

③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，

∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，

∴BF＝ ＝4 ，

∴AF＝AB﹣BF＝6 ﹣4 ＝2 ．

综上所述，AF的长为6 ﹣4或4 或2 ．

19．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DE＝16cm，EF＝20cm，P，Q是△DEF的边上的两个动点，其中点P从点E开始沿E→D方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点D开始沿D→F→E方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，设出发的时间为ts．

（1）DF＝　　cm．

（2）当点P在边EF的垂直平分线上时，t＝　　s．

（3）当点Q在边EF上时，求使△DFQ成为等腰三角形的运动时间．

【分析】（1）根据勾股定理求得DF便可；

（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，由勾股定理列出t的方程，进行解答便可；

（3）分FD＝FQ，DF＝DQ，QD＝DF三种情形分别进行计算即可．

【解答】解：（1）∵∠D＝90°，

∴DF＝ （cm），

故答案为：12；

（2）设EF的垂直平分线MN分别与DE、EF交于点M、点N，如下图，

∴EM＝MF＝t，

∴DM＝DE﹣EM＝16﹣t，

∵MF²﹣DM²＝DF²，

即t²﹣（16﹣t）²＝12²，

角得t＝12.5，

故答案为：12.5；

（3）根据题意得，FQ＝2t﹣12，

当FD＝FQ时，2t﹣12＝12，

解得t＝12，

当QF＝QD时，

过点Q作QH⊥FD于点H，则FH＝DH，

∴HQ为△EDF的中位线，

∴2t﹣12＝10，

解得t＝11，

当DF＝DQ时，作DG⊥EF于G，

则DG＝ ＝ ＝ ，

在Rt△DGF中，由勾股定理得，FG＝ ＝ ＝ ，

∴FQ＝2FG＝ ，

∴2t﹣12＝ ，

解得t＝13.2，

综上：t＝12或11或13.2．

考点二 勾股定理的逆定理

【知识点睛】

• 勾 股定理的逆定理

在△ABC中，若两边的平方和=第三边的平方，则该△为直角三角形

即在△ABC中，若 ，则△ABC为直角三角形，且∠C为直角

【类题训练】

1．以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（　　）

A．3，7，8 B．6，8，10

C．1，2， D．0.3，0.4，0.5

【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．

【解答】解：A、3²+7²≠8²，故A选项不能构成直角三角形；

B、6²+8²＝10²，故B选项能构成直角三角形；

C、1²+2²＝（ ）²，故C选项能构成直角三角形；

D、0.3²+0.4²＝0.5²，故D选项能构成直角三角形．

故选：A．

2．如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度数是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【分析】利用勾股定理求解AB，BC，AC的长可判断△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解．

【解答】解：由图可知：AB＝ ，

BC＝ ，

AC＝ ，

∴AB²+BC²＝AC²，AB＝BC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°．

故选：B．

3．如图，某海域有相距10海里的两个小岛A和C，甲船先由A岛沿北偏东70°方向走了8海里到达B岛，然后再从B岛走了6海里到达C岛，此时甲船位于B岛的（　　）

A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上

C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上

【分析】根据题意可得：∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，然后利用勾股定理的逆定理先证明△ABC是直角三角形，从而∠ABC＝90°，最后利用平行线的性质求出∠ABE＝110°，从而利用角的和差关系即可解答．

【解答】解：如图：

由题意得：

∠DAB＝70°，AB＝8海里，BC＝6海里，AC＝10海里，

∵AB²+BC²＝8²+6²＝100，AC²＝10²＝100，

∴AB²+BC²＝AC²，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC＝90°，

∵AD∥BE，

∴∠ABE＝180°﹣∠DAB＝110°，

∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝20°，

∴此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上，

故选：B．

4．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点A，B，C为格点，点D为AC与网格线的交点，则∠ADB﹣∠ABD＝　　．

【分析】连接AE，BE，设AE与BD交于点F，根据勾股定理的逆定理先证明△ABE是等腰直角三角形，从而可得∠BAE＝45°，再根据题意可得∠AFD＝∠ADF，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．

【解答】解：如图：连接AE，BE，设AE与BD交于点F，

由题意得：

AB²＝1²+3²＝10，

AE²＝1²+2²＝5，

EB²＝1²+2²＝5，

∴AE＝EB，BE²+AE²＝AB²，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴∠BAE＝45°，

∵BD∥EC，

∴∠ADB＝∠ACE，∠AFD＝∠AEC，

∵AE＝AC，

∴∠AEC＝∠ACE，

∴∠AFD＝∠ADF，

∵∠AFD是△ABF的一个外角，

∴∠AFD﹣∠ABD＝∠BAE＝45°，

∴∠ADB﹣∠ABD＝45°，

故答案为：45°．

5．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积是 　　．

【分析】先连接AC，由勾股定理求得AC的长度，然后根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角△ABC的面积+直角△ADC的面积，列式计算即可．

【解答】解：如图，连接AC，

在△ABC中，AB⊥BC，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝ ＝ ＝5．

在△ADC中，AD＝12，CD＝13，AC＝5．

∵12²+5²＝13²，即AD²+AC²＝CD²，

∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，

∴S_{四边形ABCD}＝S_△ABC+S_△ADC

＝ AB•BC+ AC•AD

＝ ×4×3+ ×5×12

＝6+30

＝36．

故答案为：36．

6．如图，点A、B、C在正方形网格点上，则∠ABC+∠ACB＝　　．

【分析】延长BA到点D，连接CD，根据勾股定理的逆定理证明△ACD是等腰直角三角形，从而可得∠DAC＝45°，然后再利用三角形的外角进行计算即可解答．

【解答】解：如图：延长BA到点D，连接CD，

由题意得：

AD²＝2²+1²＝5，

CD²＝2²+1²＝5，

AC²＝1²+3²＝10，

∴AD²+CD²＝AC²，

∴△ACD是直角三角形，

∴∠ADC＝90°，

∵AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∵∠DAC是△ABC的一个外角，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°，

故答案为：45°．

7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画 　　个直角三角形．

【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．

【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．

故答案为：3．

8．如图，点B为x轴上的一个动点，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（4，1），CE⊥x轴于E点，当点B的坐标为 　　时，△ABC为直角三角形．

【分析】可设点B的坐标为（x，0），分三种情况：①AB为斜边；②AC为斜边；③BC为斜边；根据勾股定理及逆定理列出方程计算即可求解．

【解答】解：设点B的坐标为（x，0），分三种情况：

①AB为斜边，

（4﹣1）²+4²+（x﹣4）²+1²＝x²+4²，

解得x＝ ；

②AC为斜边，

（x﹣4）²+1²+x²+4²＝（4﹣1）²+4²，

解得x＝2；

③BC为斜边，

（x﹣4）²+1²＝x²+4²+（4﹣1）²+4²，

解得x＝﹣3．

故当点B的坐标为（ ，0）或（2，0）或（﹣3，0）时，△ABC为直角三角形．

故答案为：（ ，0）或（2，0）或（﹣3，0）．

9．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C有 　　个．

【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【解答】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C有3个．

故满足条件的格点C有3个．

故答案为：3．

10．如图所示，四边形ABCD，∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）如图2，以A为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点P在y轴上，若S_△PBD＝ S_{四边形ABCD}，求P的坐标．

【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理可求出BD＝5m，然后再证明△BDC是直角三角形，从而可得∠DBC＝90°，最后根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积，进行计算即可解答；

（2）设P（0，a），可得PD＝|a﹣4|，然后根据已知可得 •|a﹣4|•3＝9，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，

∴BD＝ ＝ ＝5（m），

∵BC＝12m，CD＝13m，

∴DB²+BC²＝5²+12²＝169，CD²＝13²＝169，

∴BD²+BC²＝CD²，

∴△BDC是直角三角形，

∴∠DBC＝90°，

∴四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积

＝ AD•AB+ DB•BC

＝ ×4×3+ ×5×12

＝36（m²），

∴四边形ABCD的面积为36m²；

（2）设P（0，a），

∵DA＝4m，

∴D（0，4），

∴PD＝|a﹣4|，

∵S_△PBD＝ S_{四边形ABCD}，

PD•AB＝ ×36，

•|a﹣4|•3＝9，

|a﹣4|＝6，

a﹣4＝±6，

a＝10或a＝﹣2，

∴P（0，10）或（0，﹣2）．

11．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：

n	2	3	4	5	6	…
a	22﹣1	32﹣1	42﹣1	52﹣1	62﹣1	…
b	4	6	8	10	12	…
C	22+1	32+1	42+1	52+1	62+1	…

（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝　　，b＝　　，c＝　　．

（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．

【分析】（1）根据表格中数据，即可解答；

（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．

【解答】解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n²﹣1，b＝2n，c＝n²+1，

故答案为：n²﹣1，2n，n²+1；

（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，

证明：∵a＝n²﹣1，b＝2n，c＝n²+1，

∴a²＝（n²﹣1）²＝n⁴﹣2n²+1，

b²＝（2n）²＝4n²，

c²＝（ n²+1）²＝n⁴+2n²+1，

∴a²+b²＝n⁴﹣2n²+1+4n²＝n⁴+2n²+1，

∴a²+b²＝c²，

∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．

（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；

（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF²+EF²＝AE²．

【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．

【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵BC＝10，

∴BD＝5，

Rt△ABD中，∵AB＝13，

∴AD＝ ＝ ＝12，

Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴DF＝BD＝5，

∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；

（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH

在△CHB和△AEF中，

∵ ，

∴△CHB≌△AEF（SAS），

∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，

∴∠CEF＝∠CHE，

∴CE＝CH，

∵BD＝CD，FD⊥BC，

∴CF＝BF，

∴∠CFD＝∠BFD＝45°，

∴∠CFB＝90°，

∴EF＝FH，

Rt△CFH中，由勾股定理得：CF²+FH²＝CH²，

∴BF²+EF²＝AE²．