第8讲
角平分线、中垂线性质定理专题复习
【角平分线】
1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC的大小为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．150°
【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴
∠OBC＝
，
，
∴∠OBC+∠OCB＝
∠ABC+
∠ACB＝
（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝60°，
∴∠OBC+∠OCB＝
（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣60°
＝120°．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝ 
．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝ 
．
【分析】根据三角形的外角定理可知∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线定义得∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，代入∠ACD＝∠A+∠ABC中，与∠A1CD＝∠A1+∠A1BC比较，可得∠A1＝
＝
，由此得出一般规律．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝
∠A+∠A1BC，
∴∠A1＝
＝
，
由此可得∠A2010＝
．
故答案为：
，
．
3．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠BOA=，∠DAC=．
【分析】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO＝
∠BAC＝25°，∠ABO＝
∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
故答案为：∠AOB°＝125°，∠CAD＝20°
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（ ）
A．3 B．4 C．3.5 D．2
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．判断出∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，判断出∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，即BD＝DF，FE＝CE，然后利用等量代换即可求出线段CE的长．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB＝∠DBF，∠CFE＝∠BCF，
∴BD＝DF＝4，FE＝CE，
∴CE＝DE﹣DF＝7﹣4＝3．
故选：A．
5．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°．则∠FEC的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．60°
【分析】根据AD∥BC，∠DAC+∠ACB＝180°，再由∠DAC＝120°，得出∠ACB＝60°，由∠ACF＝20°，得∠BCF的度数，根据CE平分∠BCF，得∠BCE＝∠ECF，因为EF∥AD，则EF∥BC，∠FEC＝∠BCE，即可得出∠FEC＝∠FCE．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACF＝20°，
∴∠BCF的＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝∠ECF＝20°，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠FCE＝20°．
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝100°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】首先利用三角形的内角和求得∠BAC，进一步求得∠BAD，利用DE∥AB求得∠ADE＝∠BAD得出答案即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B+∠C＝100°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝
∠BAC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°．
故选：B．
7．如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若AB＝5，BC＝8，CA＝7，则△AMN的周长为 12 ．
【分析】根据角平分线性质和平行线的性质推出∠MOB＝∠MBO，推出BM＝OM，同理CN＝ON，代入三角形周长公式求出即可．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠CBO，
∴∠MOB＝∠MBO，
∴OM＝BM，
同理CN＝NO，
∴BM+CN＝MN，
∴△AMN的周长是AN+MN+AM＝AN+CN+OM+ON＝AB+AC＝5+7＝12，
故答案为：12．
8．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
【分析】过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，根据角平分线的性质可知：OD＝OE＝OF，根据勾股定理可求解AC的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝
，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝
，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB的长为（ ）
A．6 B．8 C．5 D．4
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DC＝DE＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6，
故选：A．
10．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD＝18°，再由角平分线的性质可得出∠HAC+∠ACH＝90°，根据三角形内角和定理即可得出，△AHC是直角三角形．所以根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝
（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
11．到三角形的三条边距离相等的点（ ）
A．是三条角平分线的交点 B．是三条中线的交点
C．是三条高的交点 D．以上答案都不对
【分析】根据三角形三条角平分线的性质可直接求解．
【解答】解：∵三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等．
∴到三角形的三条边距离相等的点是三条角平分线的交点，
故选：A．
12．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPD
C．PO垂直平分CD D．PD＝CD
【分析】依据角平分线的性质、三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，即可得出结论．
【解答】解：∵PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝PD，
∴点P在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠BOP，故A选项正确；
∵∠PCO＝∠PDO＝90°，∠AOP＝∠BOP，
∴∠OPC＝∠OPD，故B选项正确；
∵∠OPC＝∠OPD，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，
∴OC＝OD，
∴点O在CD的垂直平分线上，
又∵PC＝PD，
∴点P在CD的垂直平分线上，
∴PO垂直平分CD，故C选项正确；
∵∠PDC的度数不一定是60°，
∴△CDP不一定是等边三角形，
∴PD＝CD不一定成立，故D选项错误；
故选：D．
13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为
【分析】过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD，在利用勾股定理计算出BC＝5，接着利用面积法求出OD＝1，然后证明四边形ADOE为正方形，从而得到AD的长．
【解答】解：过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如图，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OD＝OF，OE＝OF，
即OE＝OF＝OD，
∵∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝
＝5，
∵S△OAB+S△OAC+S△OBC＝S△ABC，
∴
×3×OD+
×4×OE+
×5×OF＝
×4×3，
∴OD＝1，
∵∠DAE＝∠ADO＝∠AEO＝90°，
∴四边形ADOE为矩形，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE为正方形，
∴AD＝OD＝1．
故答案为：1．
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到PE＝AP，PE＝PD，根据AD＝8计算，得到答案．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PE＝AP，
同理可得：PE＝PD，
∴PE＝
AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，
故答案为：4．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E，则△DBE的周长等于
【分析】根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，进而求出BE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，
由勾股定理得：AB＝
＝6
，
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝6
﹣6，
∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝BD+DC+BE＝BC+BE＝6
﹣6+6＝6
，
故答案为：6
．
16．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝
S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝
S△ABC＝
×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
17．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°﹣
∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则
，其中正确的结论有 ①③④ （填序号）．
【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，故可得出BE＝EG，GF＝CF，由此可得出结论；
②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB＝
（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；
③根据三角形内心的性质即可得出结论；
④连接AG，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG＝∠CBG，∠BCG＝∠FCG．
∵EF∥BC，
∴∠CBG＝∠EGB，∠BCG＝∠CGF，
∴∠EBG＝∠EGB，∠FCG＝∠CGF，
∴BE＝EG，GF＝CF，
∴EF＝EG+GF＝BE+CF，故本小题正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB＝
（∠ABC+∠ACB）＝
（180°﹣∠A），
∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣
（180°﹣∠A）＝90°+
∠A，故本小题错误；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G是△ABC的内心，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故本小题正确；
④连接AG，
∵点G是△ABC的内心，GD＝m，AE+AF＝n，
∴S△AEF＝
AE•GD+
AF•GD＝
（AE+AF）•GD＝
nm，故本小题正确．
故答案为①③④．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，已知CD＝4．则AC的长为
4+4
．
【分析】依据角平分线的性质可证明DC＝DE，接下来证明△BDE为等腰直角三角形，从而得到DE＝EB＝4，然后依据勾股定理可求得BD的长，然后由AC＝BC＝CD+DB求解即可．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4，
∴DE＝4，
又∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∴∠BDE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝DE＝4，
在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD＝
＝4
，
∴AC＝BC＝CD+BD＝4+4
，
故答案为：4+4
．
19．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为 30° ．
【分析】过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，利用角平分线的性质得到EF＝EP，∠ABE＝
∠ABC＝
×40°＝40°，EH＝EP，则EF＝EH，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AE平分∠FAC，则可计算出∠FAE＝50°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AEB的度数．
【解答】解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴EF＝EP，∠ABE＝
∠ABC＝
×40°＝40°，
∵CE平分外角∠ACD，
∴EH＝EP，
∴EF＝EH，
∴AE平分∠FAC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°，
∴∠FAE＝
∠FAC＝50°，
∵∠FAE＝∠ABE+∠AEB，
∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°．
故答案为30°．
20．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝
∠BAC；③∠APC＝90°﹣
∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．
其中结论正确的为 ①②③ ．（填写结论的编号）
【分析】①作PD⊥AC于D．根据角平分线性质得到PM＝PN，PM＝PD，得到PM＝PN＝PD，于是得到点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②根据三角形的判定和性质得到AD＝AM，∠APM＝∠APD，CD＝CN，∠NPC＝∠DPC，于是得到∠APC＝
MPN，故②正确；
③根据四边形的内角和得到∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，求得∠ABC+∠MPN＝180°，于是得到∠APC＝90°﹣
∠ABC，故③正确；
④根据角平分线定义得到∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝
∠ACF＝∠BPC+
∠ABC，得到∠BPC＝
∠BAC，根据全等三角形的性质得到S△APM+S△CPN＝S△APC．故④不正确．
【解答】解：①作PD⊥AC于D．
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故①正确；
②∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACF，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACF＝2∠PCF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCF＝∠PBF+∠BPC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
∴∠BPC＝
∠BAC，故②正确；
③∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
∴∠APC＝90°﹣
∠ABC，故③正确；
④∵S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④不正确．
综上所述，①②③正确．
故答案为：①②③．
21．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．
（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．
【分析】（1）由角平分线的定义可求解∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，再利用三角形的内角和定理可求解；
（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
所以∠EBO＝∠OBC＝
，∠FCO＝∠OCB＝
，
又∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝25°，∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝125°；
（2）∵∠BOC＝130°，
∴∠1+∠2＝50°，
∵∠1：∠2＝3：2，
∴
，
，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠1＝30°，∠OCB＝∠2＝20°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
∴∠ABC＝60°，∠ACB＝40°．
22．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．
（1）若AB＝4，AC＝5，求△AEF的周长．
（2）过点O作OH⊥BC于点H，连接OA，如图2．当∠BAC＝60°时，试探究OH与OA的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）证明∠EOB＝∠CBO得到EB＝EO，同理可得FO＝FC，然后利用等线段代换得到△AEF的周长＝AB+AC；
（2）过O点作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如图2，根据角平分线的性质得到OH＝OG，OH＝OQ，则OG＝OQ，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OA平分∠BAC，所以∠GAO＝30°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OG＝
OA，从而得到OH＝
OA．
【解答】解：（1）∵OB平分∠ABC，
∴
∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，
∴△EBO为等腰三角形，
∴EB＝EO，
同理可得FO＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+EO+FO+AF＝AB+AC＝4+5＝9；
（2）OH＝
OA．
理由如下：
过O点作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如图2，
∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OG⊥AB，
∴OH＝OG，
∵OC平分∠ACB，
∴OH＝OQ，
∴OG＝OQ，
∴OA平分∠BAC，
∴∠GAO＝
∠BAC＝30°，
∴OG＝
OA，
∴OH＝
OA．
23．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，BD＝4，∠B＝30°，S△ACD＝7，求AC的长．
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据直角三角形的性质求出DE，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DF⊥AC于F，
在Rt△BDE中，BD＝4，∠B＝30°，
∴DE＝
BD＝2，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ACD＝7，
∴
×AC×2＝7，
解得：AC＝7．
24．在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，
（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系是 ∠DEF＝
（∠C﹣∠B） （直接写出结论，不需证明）．
【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到∠CAD＝
∠BAC，∠CAE＝90°﹣∠C，进而得出∠DAE＝
（∠C﹣∠B），由此即可解决问题．
（2）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝
（∠C﹣∠B）．
（3）过A作AG⊥BC于G，依据平行线的性质可得∠DAG＝∠DEF，依据（1）中结论即可得到∠DEF＝
（∠C﹣∠B）不变．
【解答】解：（1）如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝
∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE
＝
∠BAC﹣（90°﹣∠C）
＝
（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
＝
∠C﹣
∠B
＝
（∠C﹣∠B），
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE＝
（70°﹣50°）＝10°．
（2）结论：∠DEF＝
（∠C﹣∠B）．
理由：如图2，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG＝
（∠C﹣∠B），
∴∠DEF＝
（∠C﹣∠B）．
（3）仍成立．
如图3，过A作AG⊥BC于G，
∵EF⊥BC，
∴AG∥EF，
∴∠DAG＝∠DEF，
由（1）可得，∠DAG＝
（∠C﹣∠B），
∴∠DEF＝
（∠C﹣∠B），
故答案为∠DEF＝
（∠C﹣∠B）．
【线段垂直平分线】
1．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式即可求出BC．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴EA＝EB，
∵AC的垂直平分线交BC于点F．
∴FA＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝△AEF的周长＝2．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
3．如图，在△ABC中，BC边上两点D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，若BC＝24，则△ADE的周长为（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵点D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝DA+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝24，
故选：C．
4．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵∠B＝20°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°，
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）cm
A．3 B．4 C．7 D．11
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NA＝NB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴NA＝NB，
∵△BCN的周长是7cm，
∴BC+CN+BN＝7（cm），
∴BC+CN+NA＝7（cm），即BC+AC＝7（cm），
∵AC＝4cm，
∴BC＝3（cm），
故选：A．
6．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若DE＝3，AE＝5，则△ACE的周长为 16 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB＝5，DE⊥AB，
∵DE＝3，
∴AD＝
＝4，
∴AB＝2AD＝8，
∵∠BAC＝∠BDE＝90°，
∴DE∥AC，
∴BE＝CE＝5，
∴AC＝2DE＝6，BC＝10，
∴△ACE的周长＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC＝AC+BC＝16，
故答案为：16．
8．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝68°，则∠B的度数为 68° ．
【分析】根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠BAD，根据线段垂直平分线的性质得出FA＝FD，根据等腰三角形的性质得到∠FDA＝∠FAD，根据三角形的外角性质得出∠FDA＝∠B+∠BAD，代入计算即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝68°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝68°+x，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x，
∴68°+x＝∠B+x，
∴∠B＝68°，
故答案为：68°．
9．如图，△ABC中，已知∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠DAC：∠DAB＝1：2，那么∠BAC＝ 54 度．
【分析】设∠DAB＝2x，则∠DAC＝x，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠B＝∠DAB＝2x，再利用三角形内角和得到90°+2x+2x+x＝180°，解方程求出x，然后计算3x即可．
【解答】解：设∠DAB＝2x，则∠DAC＝x，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝2x，
∵∠C+∠B+∠CAB＝180°，
∴90°+2x+2x+x＝180°，解得x＝18°，
∴∠BAC＝x+2x＝3x＝54°．
故答案为：54．
10．如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为 5 cm2．
【分析】延长AP交BC于E，根据全等三角形的性质得到S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，得到△APC和△CPE等底同高，求得S△APC＝S△PCE，设△ACE的面积为m，于是得到结论．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△ABP与△BEP中，
，
∴△ABP≌△BEP（ASA），
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
设△ACE的面积为m，
∴S△ABE＝S△ABC+S△ACE＝10+m，
∴S△PBC＝
S△ABE﹣
S△ACE＝5（cm2）．
故答案为：5．
11．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．
求证：∠FAC＝∠B．
【分析】根据线段垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠FDA，根据角平分线得出∠BAD＝∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．
【解答】证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B．
12．在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；
（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．
【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC＝130°，可求得∠C+∠B的度数，然后由AB、AC的垂直平分线分别交BC于点M、N，根据线段垂直平分线的性质，可得BM＝AM，CN＝AN，即可得∠CAN＝∠C，∠BAM＝∠B，继而求得∠CAN+∠BAM的度数，则可求得答案；
（2）先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【解答】（1）解：
∵∠BAC＝120°，
∴∠B+∠C＝60°，
由（1）证得BM＝AM，CN＝AN，
∴∠C＝∠CAN，∠B＝∠BAM，
∴∠CAN+∠BAM＝∠C+∠B＝60°，
∴∠MAN＝120°﹣60°＝60°；
（2）证明：
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM＝AM，CN＝AN，
∴∠MAB＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAM+∠CAN＝60°，∠AMN＝∠ANM＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，
∴BM＝MN＝NC．