第9讲 直角三角形的性质和判定

考点一 直角三角形的性质

【知识点睛】

• 直角三角形的性质：

两锐角互余；

斜边上的中线=½斜边长

30°角所对的直角边=½斜边长

• 直角三角形性质及应用常结合相关性质有：

直角三角形

垂直的意义；

平行线的性质；

等腰三角形等边对等角；

角平分线的性质；

三角形内角和与外角和定理；

全等三角形的对应角相等；

• R t△中求角度时，有时是直角三角形性质的单独应用，有时也是三角形有关角度性质的综合考察；

• 注意事项：如右图，当Rt△斜边上的中线的条件出现时，常见考察方向有：

①CD=½AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD，即△ACD、△BCD均为等腰三角形；

【类题训练】

1．已知，在直角△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是（　　）

A．30° B．50° C．70° D．90°

【分析】设∠A＝x，则∠B＝2x，根据直角三角形两锐角互余可得x+2x＝90°，解方程即可求出∠A的度数．

【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝2x，

∵∠C为直角，

∴∠A+∠B＝90°，

∴x+2x＝90°，

∴x＝30°，

∴∠A＝30°，

故选：A．

2．如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，点F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】利用平行线的性质与判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根据同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．

【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，

∴∠BAC+∠EDF＝180°，

∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，

∴∠E＝∠BME＝∠AMF，

∵EF⊥BC，

∴∠C+∠F＝90°，

∴∠E＝∠C，

故与∠E相等的角有3个，

故选：C．

3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　）

A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2

【分析】A、B根据直角三角形的两个锐角互余的性质判断；

C、根据同角的余角来找等量关系；

D、分∠A＝∠B和∠A≠∠B两种情况来讨论．

【解答】解：A、在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，所以∠A与∠1互余，正确；

B、在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，所以∠B与∠2互余，正确；

C、∵∠A+∠1＝90°，∠1+∠2＝90°，

∴∠A＝∠2，正确；

D、当∠A＝∠B时，AC＝BC，所以CD既是∠C的角平分线，也是斜边上的高与中线，所以∠1＝∠2，正确；当∠A≠∠B时，∠1≠∠2，错误；

故选：D．

4．一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为（　　）

A．40 B．30 C．20 D．10

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质先求出斜边长，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．

【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线为5，

∴斜边长＝10，

∵斜边上的高为4，

∴此三角形的面积＝ ×10×4＝20，

故选：C．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，且∠B＝30°，AD＝4，点E是AB上一动点，则D，E之间的最小距离为（　　）

A．8 B．4 C．2 D．1

【分析】由直角三角形的性质求出CD＝2，过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离，由角平分线的性质得出答案．

【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAB＝60°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD＝30°，

∵AD＝4，

∴CD＝ AD＝2，

过点D作DE⊥AB于E，则DE为D，E之间的最小距离，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，

∴DC＝DE＝2，

故选：C．

6．如图，木杆AB斜靠在墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是（　　）

A．逐渐变大 B．不断变小

C．不变 D．先变大再变小

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质，可得OP＝ AB，即可解答．

【解答】解：∵P是AB的中点，∠AOB＝90°，

∴OP＝ AB，

∵木杆AB的长固定，

∴OP的长度不变，

故选：C．

7．如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，点F是AB的中点，连接DF、EF，设∠DFE＝α，则∠C的度数可表示为（　　）

A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣ α

【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BEA＝90°，根据直角三角形的性质得到AF＝DF，BF＝EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF＝∠ADF，∠EFB＝∠BEF，于是得到结论．

【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D；

∴∠ADB＝∠BEA＝90°，

∵点F是AB的中点，

∴AF＝DF，BF＝EF，

∴∠DAF＝∠ADF，∠EBF＝∠BEF，

∴∠AFD＝180°﹣2∠CAB，∠BFE＝180°﹣2∠ABC，

∴∠DFE＝180°﹣∠AFD﹣∠BFE＝2（∠CAB+∠CBA）﹣180°＝2（180°﹣∠C）﹣180°＝180°﹣2∠C＝α，

∴∠C＝90°﹣ ，

故选：D．

8．如图，在等边△ABC中，AB＝10，P为BC上任意一点（不与端点B，C重合），过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．若 ，则PD的长为（　　）

A．3 B． C． D．

【分析】根据等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，则∠BPD＝∠CPE＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PC＝2CE，PE＝ CE，可得PC＝4，则BP＝6，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝10，

∵PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．

∴∠BPD＝∠CPE＝30°，

PC＝2CE，PE＝ CE，PB＝2BD，PD＝ BD，

∴CE＝2，

∴PC＝4，

∴BP＝6，

∴BD＝3，

∴PD＝3 ．

故选：D．

9．在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，则∠B＝　　°，∠C＝　　°．

【分析】根据三角形的内角和定理，可得∠B+∠C＝90°，解二元一次方程组即可求出∠B和∠C的度数．

【解答】解：∵∠A＝90°，

∴∠B+∠C＝90°①，

又∵∠B﹣∠C＝14°②，

①+②得2∠B＝104°，

解得∠B＝52°，

∴∠C＝90°﹣52°＝38°，

故答案为：52，38．

10．如图，在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则三角形MCD的面积为 　　．

【分析】过点M作ME⊥CD，垂足为E，根据直角三角形斜边上的中线可得CM＝DM＝ AB＝5，从而利用等腰三角形的三线合一性质可以求出CE的长，然后在Rt△CEM中，利用勾股定理求出EM的长，最后利用三角形的面积进行计算即可解答．

【解答】解：过点M作ME⊥CD，垂足为E，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，

∴CM＝ AB＝5，DM＝ AB＝5，

∴CM＝DM，

∵ME⊥CD，

∴CE＝DE＝ CD＝3，

在Rt△CEM中，EM＝ ＝ ＝4，

∴△CDM的面积＝ CD•EM

＝ ×6×4

＝12，

故答案为：12．

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为60°，AB＝10．若点Q在直线AB上（不与点A、B重合），当∠QCB＝30°时，CQ的长为 　　．

【分析】分∠ABC＝60°、∠ABC＝30°两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．

【解答】解：（1）当∠ABC＝60°时，则BC＝ AB＝5，

当点Q在线段AB上时，

∵∠QCB＝30°，

∴∠BQC＝180°﹣∠ABC﹣∠QCB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴CQ⊥AB，

则CQ＝BCcos30°＝5× ＝ ；

当点Q（Q′）在AB的延长线上时，

∵∠Q′CB＝30°，∠ABC＝60°，

∴CQ'＝2CQ＝5 ．

（2）当∠ABC＝30°时，如图，

∵∠QCB＝30°，∠ACB＝90°，

∴∠ACQ＝60°，

∵∠BAC＝60°，

∴△QAC为等边三角形．

∴CQ＝AC，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴AC＝ AB＝ ×10＝5．

∴CQ＝5．

综上，PC的长为：5或 或5 ．

故答案为：5或 或5 ．

12．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF∥AB交DE于点F．

（1）求证：CF平分∠DCE；

（2）求∠DFC的度数．

【分析】（1）由已知的一副三角板可知：△ABC是等腰直角三角形，则∠3＝∠B＝45°，由平行线所截得内错角相等得：∠1＝∠3＝45°，所以∠2＝45°，从而得出结论；

（2）根据外角定理可得：∠DFC＝∠E+∠2．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠3＝∠B＝45°，

∵CF∥AB，

∴∠3＝∠1＝45°，

∵∠DCB＝90°，

∴∠2＝∠DCB﹣∠1＝90°﹣45°＝45°，

∴∠1＝∠2，

∴CF平分∠DCE；

（2）在△EFC中，∠E＝60°，

∴∠DFC＝∠E+∠2＝60°+45°＝105°．

13．已知：如图，△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点D，过点D的AC的平行线分别交AB于E，交BC于F．

（1）求证：EF＝AE+CF；

（2）若∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，求△BEF的周长．

【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠EAD＝∠DAC，根据平行线的性质得到∠DAC＝∠EDA，等量代换得到∠EAD＝∠EDA，求得EA＝ED，同理，FD＝FC，于是得到结论；

（2）根据含30°角的直角三角形的性质得到BA＝2BC＝6，根据三角形的周长公司即可得到结论．

【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠DAC，

∵ED∥AC，

∴∠DAC＝∠EDA，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴EA＝ED，

同理，FD＝FC，

∴ED+DF＝EA+FC，

即EF＝AE+CF；

（2）∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BA＝2BC＝6，

∴△BEF的周长＝BE+ED+DF+BF＝BE+EA+BF+FC＝BA+BC＝9．

14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E．

（1）求证：点E在BD的垂直平分线上；

（2）若∠DEB＝α，

①求∠CPD的度数；（用含α的式子表示）

②当α＝110°时，求∠A的度数．

【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质推出∠B＝∠EDB，进而得出ED＝EB，据此即可得解；

（2）①根据四边形内角和及邻补角的定义求解即可；

②根据三角形外角性质求解即可．

【解答】（1）证明：在△ABC中，∠C＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A，

∵DE⊥PD，

∴∠PDE＝90°，

∴∠EDB＝90°﹣∠PDA，

∵PD＝PA，

∴∠A＝∠PDA，

∴∠B＝∠EDB，

∴ED＝EB，

∴点E在BD的垂直平分线上；

（2）解：①∵∠PDE＝∠C＝90°，

∴∠CPD+∠CED＝360°﹣90°﹣90°＝180°，

∵∠DEB+∠CED＝180°，

∴∠CPD＝∠DEB，

∵∠DEB＝α，

∴∠CPD＝α；

②∵α＝110°，∠CPD＝α，

∴∠CPD＝110°，

∵∠A＝∠ADP，∠A+∠ADP＝∠CPD，

∴∠A＝55°．

15．如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点．

（1）求证：DE⊥MN；

（2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长．

【分析】（1）连接DM，DN．根据直角三角形的中线得到DM＝DN，根据等腰三角形的性质证明即可；

（2）根据勾股定理计算，得到答案．

【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN，

∵BN、CM分别是△ABC的两条高，

∴BN⊥AC，CM⊥AB，

∴∠BMC＝∠CNB＝90°，

∵D是BC的中点，

∴DM＝ BC，DN＝ BC，

∴DM＝DN，

∵E为MN的中点，

∴DE⊥MN；

（2）解：∵BC＝26，

∴DM＝ BC＝13，

∵点E是MN的中点，MN＝10，

∴ME＝5，

由勾股定理得：DE＝ ＝12．

考点二 直角三角形的判定

【知识点睛】

• 直角三角形判定的方法：

①有一个角为直角的△是直角三角形；

②有两个内角互余的△是直角三角形

③一边上的中线=这边长度的一半的△是直角三角形；

④30°角所对的边长=30°角临边的一半的△是直角三角形

⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形

• 注意事项：

①上面直角三角形判定方法中，在综合问题中，第③条需要利用等边对等角与内角和证明之后才能用，选择填空可以直接应用；

②常见利用角度证明直角三角形的类型有：∠A＋∠B=90°；∠A＋∠B=∠C；∠A=½∠B=⅓∠C；∠A：∠B：∠C=a：b：c且a+b=c；

【类题训练】

1．在△ABC中，满足下列条件：

①∠A＝60°；

②∠A＝∠C﹣∠B；

③∠A：∠B：∠C＝1：1：2；

④∠A＝90°﹣∠C．

其中，判定△ABC是直角三角形的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据给出条件，判断是否有一个角是直角即可．

【解答】解：①：只知道一个角的度数不能判定△ABC是直角三角形；

②：∠A＝∠C﹣∠B，则∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，可以判定△ABC是直角三角形；

③：∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则∠C＝90°，可以判定△ABC是直角三角形；

④：∠A＝90°﹣∠C，则∠A+∠C＝90°，∠B＝90°，可以判定△ABC是直角三角形．

故选：C．

2．如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　）

A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC

B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC

C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°

D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°

【分析】根据直角三角形的性质逐项判定可求解．

【解答】解：A．∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°，

∵∠BAP＝∠B，

∴∠CAP＝∠C，

∴AP＝PC，

只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误；

B．∵∠BAC＝90°，

∴∠BAP+∠CAP＝90°，

∵∠BAP＝∠C，

∴∠C+∠CAP＝90°，

∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°，

即AP⊥BC，故正确；

C．∵AP⊥BC，PB＝PC，

∴AP垂直平分BC，

而∠BAC不一定等于90°，故错误；

D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误，

故选：B．

3．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个．

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数．

【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．

故选：D．

4．如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，

（1）当∠A＝　　时，△AOP为直角三角形；

（2）当∠A满足 　　时，△AOP为钝角三角形．

【分析】（1）分∠A＝90°和∠OPA＝90°两种情况进行讨论，即可求出答案；

（2）分∠A为钝角和∠OPA为钝角两种情况进行讨论，即可求出答案．

【解答】解：（1）当∠A＝90°时，△AOP为直角三角形，

当∠OPA＝90°时，△AOP为直角三角形，

∵∠AON＝40°，

∴此时，∠A＝90°﹣∠AON＝90°﹣40°＝50°，

综上所述，当∠A＝90°或50°时，△AOP为直角三角形，

故答案为：90°或50°；

（2）当90°＜∠A＜180°时，△AOP为钝角三角形，

当90°＜∠OPA＜180°时，△AOP为钝角三角形，

∵∠AON＝40°，

∴此时，0°＜∠A＜50°，

综上所述，当90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°时，△AOP为钝角三角形，

故答案为：90°＜∠A＜180°或0°＜∠A＜50°．

5．如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，求证：△AOE是直角三角形．

【分析】根据平角的概念求出∠ACB＝90°，根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论．

【解答】证明：∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠ACB，

∴∠ACD＝∠ACB＝90°，

∵∠AOE＝∠COD，∠COD＝∠B，

∴∠AOE＝∠B，

∵∠BAC+∠B＝90°，

∴∠BAC+∠AOE＝90°，

∴∠AEO＝90°，即△AOE是直角三角形．

6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE平分∠ACB．

（1）求∠ACE的度数．

（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形．

【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠ACE的度数．

（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到∠DCF的度数，进而得出∠CFD的度数．

【解答】解：（1）∵△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，

又∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝ ∠ACB＝45°；

（2）∵CD⊥AB，∠B＝60°，

∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，

又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，

∴∠DCF＝∠BCE﹣∠BCD＝15°，

又∵∠CDF＝75°，

∴∠CFD＝180°﹣75°﹣15°＝90°，

∴△CFD是直角三角形．

7．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2∠α+∠β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，试判断△ABC是否是“准直角三角形”，并说明理由；

（2）如果△ABC是“准直角三角形”，那么△ABC是 　　；（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能）

（3）如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝75°，BD平分∠ABC交AC于点D．

①若DE∥BC交AB于点E，在①△ADE，②△BDE，③△BDC，④△ABD中“准直角三角形”是 　　（填写序号），并说明理由；

②在直线AB上取一点F，当△BFD是“准直角三角形”时，求出∠DFB的度数．

【分析】（1）求出∠C的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可；

（2）根据“准直角三角形”的定义，再结合三角形内角和判断即可；

（3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其他角度表示出来即可；

②注意分类讨论，由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，则可以钝角为依据进行分类讨论，另外，同时注意是哪个角的两倍，再进行分类讨论．

【解答】解：（1）是，理由如下

∠A＝100°，∠B＝70°，则∠C＝180°﹣100°﹣70°＝10°，

则2∠C+∠B＝90°

∴△ABC是“准直角三角形”；

（2）若△ABC是“准直角三角形“，

则可设2∠A+∠B＝90°，

∴∠A+∠B＝90°﹣∠A＜90°，

∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＞90°，

∴△ABC为钝角三角形．

故答案为：③．

（3）①∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°，

∴2∠A+∠ABD＝50°+40°＝90°，

∴△ABD是“准直角三角形”，

∵DE∥BC，

∴∠AED＝∠ABC＝80°，∠ADE＝∠C＝75°，∠A＝25°，△AED不满足“准直角三角形”条件，

∵∠EBD＝∠EDB＝40°，

∴∠BED＝100°，△BED不满足“准直角三角形”条件，

∵∠DBC＝40°，∠C＝75°，

∴∠BDC＝180°﹣40°﹣75°＝65°，△BDC不满足“准直角三角形”条件，

故答案为：④．

②由（2）△BFD一定为钝角三角形，

当∠ADB为钝角时，

若2∠BFD+∠FBD＝90°，

由①得△ABD是“准直角三角形”，

∴当F与A重合时，△BFD为“准直角三角形”，

此时∠DFB＝∠DAB＝25°；

若2∠FBD+∠BFD＝90°，

∵∠FBD＝40°，

∴∠DFB＝10°；

当∠BFD为钝角时，此时F点在线段AB上，

若2∠FDB+∠FBD＝90°时，∠FDB＝25°，

∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝115°；

若2∠FBD+∠FDB＝90°，∠FDB＝10°，

∴∠DFB＝180°﹣∠FBD﹣∠FDB＝130°；

当∠DBF为钝角时，此时F点在AB的延长线上，

∵∠FBD＝140°，

∴∠BFD+∠BDF＝40°，

若2∠BDF+∠DFB＝90°，

则∠BDF＝50°，与题设矛盾，舍去；

综上，∠DFB的度数为130°或者115°或者25°或者10°．

【综合练习】

1．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.8km，则M，C两点间的距离为（　　）

A．1.5km B．2.8km C．1.4km D．1.9km

【分析】根据直角三角形斜边上的中线得出CM＝ AB，再代入求出答案即可．

【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，

∴∠ACB＝90°，

∵M为AB的中点，

∴CM＝ AB，

∵AB＝2.8km，

∴CM＝1.4km，

故选：C．

2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E在AC上，且AE＝BE，连接CD交BE于点F，若∠A＝25°，则∠DFE的度数（　　）

A．65° B．70^o C．75^o D．80^o

【分析】由直角三角形的性质可得CD＝AD，即可求解∠ACD＝25°，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求得∠BEC＝50°，再利用三角形外角的性质可求解．

【解答】解：∵D为AB的中点，∠ACB＝90°，

∴CD＝AD，

∴∠ACD＝∠A＝25°，

∵AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝25°，

∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝50°，

∴∠DFE＝∠ACD+∠BEC＝25°+50°＝75°，

故选：C．

3．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的度数为（　　）

A．30° B．36° C．45° D．48°

【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．

【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，

∵BD＝BC，

∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．

在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，

∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，

解得x＝45°，

∴∠DCE＝45°．

故选：C．

4．如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的角平分线AD，BE及其交点F．小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值．这个定值为 　　．

【分析】利用三角形内角和定理和直角三角形的性质求解即可．

【解答】解：∵∠C＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°，

∵AD平分∠CAB，EB平分∠ABC，

∴∠FAB＝ ∠CAB，∠FBA＝ ∠CBA，

∴∠FAB+∠FBA＝ （∠CAB+∠CBA）＝45°，

∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°．

故答案为：135°．

5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝15°，则△ABC的面积为 　　．

【分析】由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠DAC的度数，由含30°角的直角三角形的性质可求解CD的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC的面积．

【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝15°，

∴∠ACB＝∠ABC＝15°，

∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝30°，

∵AB＝AC＝10，

∴CD＝ AC＝5，

∴△ABC的面积为： ．

故答案为：25．

6．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OK的长为 　　．

【分析】由∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1： ：2，由此可求出OG的长．

【解答】解：由图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，

∵∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，

∴∠A＝∠OBC＝∠OCD＝…＝∠OLM＝60°，

∴AB＝ OA，OB＝ AB＝ OA，

同理可得，OC＝ OB＝（ ）²OA，

OD＝ OC＝（ ）³OA，

…

OK＝ OJ＝（ ）¹⁰OA＝（ ）¹⁰×16＝ ．

故答案为： ．

7．如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．

（1）求证：△ABE≌△CBD；

（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度数．

【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△CBD即可；

（2）由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠BAE，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠BED＝45°，由∠CAE＝30°，得出∠BAE＝45°﹣30°＝15°，再由三角形的外角性质即可得出所求结果．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝180°﹣90°＝90°，

在△ABE和△CBD中， ，

∴△ABE≌△CBD（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△CBD，

∴∠BCD＝∠BAE，

∵AB＝CB，∠ABC＝90°，BE＝BD，

∴∠BAC＝∠BED＝45°，∠CAE＝30°，

∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，

∴∠EDC＝∠BED﹣∠BCD＝45°﹣15°＝30°．

8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝6，CD＝AC＝8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，连结AM．

（1）求AM的长；

（2）求证：MN⊥AC；

（3）求MN的长．

【分析】（1）连接CM，根据勾股定理可得BD＝10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AM＝CM＝BM＝DM＝ BD；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明；

（3）利用勾股定理列式计算即可得解．

【解答】（1）解：如图，连接CM，

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，

∴AM＝CM＝BM＝DM＝ BD，

∵BC＝6，CD＝8，

∴BD＝ ＝10，

∴AM＝5；

（2）证明：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M是BD的中点，

∴AM＝CM＝ BD，

∵N是AC的中点，

∴MN⊥AC；

（3）解：∵AC＝8，N是AC的中点，

∴AN＝ ×8＝4，

∴MN＝ ＝ ＝3．

9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC上一点，延长BC至点E使CE＝CD，连接AE、BD并延长BD交AE于点F．求证：△BEF是直角三角形．

【分析】利用全等三角形的性质，说明∠EBF+∠E＝90°即可．

【解答】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°．

∴BC＝AC，∠ACE＝∠ACB＝90°．

∵CE＝CD．

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

∴∠CAE＝∠CBD．

∵∠ACE＝90°．

∴∠CAE+∠E＝90°．

∴∠CBD+∠E＝90°．

∴∠BFE＝90°．

∴△BEF是直角三角形．

10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．

（1）求证：CE＝CM．

（2）若AB＝4，求线段FC的长．

【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC＝MA＝MB，根据外角的性质可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；

（2）根据CE＝CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，

∴MC＝MA＝MB，

∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，

∵∠A＝50°，

∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，

∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，

∵∠ACE＝30°，

∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，

∴∠MEC＝∠EMC，

∴CE＝CM；

（2）解：∵AB＝4，

∴CE＝CM＝ AB＝2，

∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，

∴FC＝CE•cos30°＝ ．