《第4章 一次函数》

一、选择题

1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=﹣2x+24（0＜x＜12） B．y=﹣ x+12（0＜x＜24）

C．y=2x﹣24（0＜x＜12） D．y= x﹣12（0＜x＜24）

3．一次函数y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则m=（　　）

A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1或3

4．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　）

A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6） C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6） D．（2，3），（﹣4，6）

5．对于函数y=﹣ x+3，下列说法错误的是（　　）

A．图象经过点（2，2）

B．y随着x的增大而减小

C．图象与y轴的交点是（6，0）

D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9

6．关于x的一次函数y=kx+k²+1的图象可能正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点，且x₁＜x₂，则y₁与y₂的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂ B．y₁=y₂ C．y₁＞y₂ D．y₁＞y₂＞0

8．已知一次函数y= x+m和y=﹣ x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

9．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8

10．如图，已知直线l：y= x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂；…按此作法继续下去，点B₂₀₁₃的坐标为（　　）

A．（4²⁰¹²× ，4²⁰¹²） B．（2⁴⁰²⁶× ，2⁴⁰²⁶）

C．（2⁴⁰²⁶× ，2⁴⁰²⁴） D．（4⁴⁰²⁴× ，4⁴⁰²⁴）

　

二、填空题

11．将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是　　．

12．函数y= 中，自变量x的取值范围是　　．

13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　　．

14．直线y=3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是　　．

15．已知某一次函数的图象经过点A（0，2），B（1，3），C（a，1）三点，则a的值是　　．

16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是　　天．

17．经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是　　．

18．如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为　　．

　

三、解答题（共66分）

19．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．

（1）求k、b的值；

（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．

20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y₁（元），B套餐每月话费为y₂（元），月通话时间为x分钟．

（1）分别表示出y₁与x，y₂与x的函数关系式．

（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？

（3）什么情况下A套餐更省钱？

21．设函数y=x+n的图象与y轴交于A点，函数y=﹣3x﹣m的图象与y轴交于B点，两个函数的图象交于C（﹣3，1）点，D为AB的中点．

（1）求m、n的值；

（2）求直线DC点的一次函数的表达式．

22．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．

（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

23． 1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．

设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）

（Ⅰ）根据题意，填写下表：

上升时间/min	10	30	…	x
1号探测气球所在位置的海拔/m	15		…
2号探测气球所在位置的海拔/m		30	…

（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；

（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？

24．如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由．

25．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；

（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式．

　

《第4章 一次函数》

参考答案与试题解析　

一、选择题

1．下列图象中，表示y是x的函数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】函数的概念．

【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．

【解答】解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；

第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；

第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；

第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．

综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．

故选：B．

【点评】本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．

　

2．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y=﹣2x+24（0＜x＜12） B．y=﹣ x+12（0＜x＜24）

C．y=2x﹣24（0＜x＜12） D．y= x﹣12（0＜x＜24）

【考点】根据实际问题列一次函数关系式．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】根据题意可得2y+x=24，继而可得出y与x之间的函数关系式，及自变量x的范围．

【解答】解：由题意得：2y+x=24，

故可得：y=﹣ x+12（0＜x＜24）．

故选：B．

【点评】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．

　

3．一次函数y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则m=（　　）

A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣1或3

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质．

【分析】把点的坐标代入函数解析式求出m的值，再根据y随x的增大而增大判断出m＞0，从而得解．

【解答】解：∵一次函数y=mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），

∴|m﹣1|=2，

∴m﹣1=2或m﹣1=﹣2，

解得m=3或m=﹣1，

∵y随x的增大而增大，

∴m＞0，

∴m=3．

故选B．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，本题难点在于要根据函数的增减性对m的值进行取舍．

　

4．在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　）

A．（2，﹣3），（﹣4，6） B．（﹣2，3），（4，6） C．（﹣2，﹣3），（4，﹣6） D．（2，3），（﹣4，6）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】探究型．

【分析】由于正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同，找到比值相同的一组数即可．

【解答】解：A、∵ = ，∴两点在同一个正比例函数图象上；

B、∵ ≠ ，∴两点不在同一个正比例函数图象上；

C、∵ ≠ ，∴两点不在同一个正比例函数图象上；

D、∵ ≠ ，两点不在同一个正比例函数图象上；

故选A．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，知道正比例函数图象上点的纵坐标和横坐标的比相同是解题的关键．

　

5．对于函数y=﹣ x+3，下列说法错误的是（　　）

A．图象经过点（2，2）

B．y随着x的增大而减小

C．图象与y轴的交点是（6，0）

D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9

【考点】一次函数的性质．

【分析】根据一次函数的性质进行计算即可．

【解答】解：A、函数y=﹣ x+3经过点（2，2），故错误；

B、y随着x的增大而减小，故错误；

C、图象与y轴的交点是（0，3），故正确；

D、图象与坐标轴围成的三角形面积是9，故错误；

故选C．

【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．

　

6．关于x的一次函数y=kx+k²+1的图象可能正确的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】一次函数的图象．

【专题】压轴题．

【分析】根据图象与y轴的交点直接解答即可．

【解答】解：令x=0，则函数y=kx+k²+1的图象与y轴交于点（0，k²+1），∵k²+1＞0，∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．

故选C．

【点评】本题考查一次函数的图象，考查学生的分析能力和读图能力．

　

7．P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是一次函数y=﹣2x+5图象上的两点，且x₁＜x₂，则y₁与y₂的大小关系是（　　）

A．y₁＜y₂ B．y₁=y₂ C．y₁＞y₂ D．y₁＞y₂＞0

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】利用一次函数的增减性可得出答案．

【解答】解：

在y=﹣2x+5中，

∵k=﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵x₁＜x₂，

∴y₁＞y₂，

故选C．

【点评】本题主要考查一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时y随x的增大而增大，当k＜0时y随x的增大而减小．

　

8．已知一次函数y= x+m和y=﹣ x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且与y轴分别交于B，C两点，那么△ABC的面积是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【考点】两条直线相交或平行问题．

【专题】计算题；压轴题；待定系数法．

【分析】首先把（﹣2，0）分别代入一次函数y= x+m和y=﹣ x+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．

【解答】解：y= x+m与y=﹣ x+n的图象都过点A（﹣2，0），

所以可得0= ×（﹣2）+m，0=﹣ ×（﹣2）+n，

∴m=3，n=﹣1，

∴两函数表达式分别为y= x+3，y=﹣ x﹣1，

直线y= x+3与y=﹣ x﹣1与y轴的交点分别为B（0，3），C（0，﹣1），

S_△ABC= BC•AO= ×4×2=4．

故选C．

【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．

　

9．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（　　）

A．4 B．8 C．16 D．8

【考点】坐标与图形变化-平移；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x﹣6上时的横坐标即可．

【解答】解：如图所示．

∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），

∴AB=3．

∵∠CAB=90°，BC=5，

∴AC=4．

∴A′C′=4．

∵点C′在直线y=2x﹣6上，

∴2x﹣6=4，解得 x=5．

即OA′=5．

∴CC′=5﹣1=4．

∴S_{▱BCC′B′}=4×4=16 （面积单位）．

即线段BC扫过的面积为16面积单位．

故选：C．

【点评】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积．

　

10．如图，已知直线l：y= x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A₁；过点A₁作y轴的垂线交直线l于点B₁，过点B₁作直线l的垂线交y轴于点A₂；…按此作法继续下去，点B₂₀₁₃的坐标为（　　）

A．（4²⁰¹²× ，4²⁰¹²） B．（2⁴⁰²⁶× ，2⁴⁰²⁶）

C．（2⁴⁰²⁶× ，2⁴⁰²⁴） D．（4⁴⁰²⁴× ，4⁴⁰²⁴）

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】规律型．

【分析】先根据题意找出A₂₀₁₃的坐标，再根据A₂₀₁₃的坐标与B₂₀₁₃的纵坐标相同即可得出结论．

【解答】解：∵直线l的解析式为：y= x，

∴l与x轴的夹角为30°，

∵AB∥x轴，

∴∠ABO=30°，

∵OA=1，

∴AB= ，

∵A₁B⊥l，

∴∠ABA₁=60°，

∴AA₁=3，

∴A₁（0，4），

∴B₁（4 ，4），

同理可得B₂（16 ，16），…，

∴A₂₀₁₃纵坐标为：2⁴⁰²⁶，

∴A₂₀₁₃（0，2⁴⁰²⁶）．

∴B₂₀₁₃（2⁴⁰²⁶× ，2⁴⁰²⁶）．

故选B．

【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A₁、A₂、A₃…及B、B₁、B₂、B₃…的点的坐标是解决本题的关键．

　

二、填空题

11．将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是　y=2x+1　．

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】先判断出直线经过坐标原点，然后根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加求出平移后与坐标原点对应的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．

【解答】解：直线y=2x经过点（0，0），

向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），

∵平移前后直线解析式的k值不变，

∴设平移后的直线为y=2x+b，

则2×0+b=1，

解得b=1，

∴所得到的直线是y=2x+1．

故答案为：y=2x+1．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用点的变化解答图形的变化是常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

　

12．函数y= 中，自变量x的取值范围是　x≥0且x≠4　．

【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．

【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣4≠0，

解得x≥0且x≠4．

故答案为：x≥0且x≠4．

【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

　

13．一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是　m＞﹣2　．

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．

【解答】解：∵一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，

∴m+2＞0，

解得，m＞﹣2．

故答案是：m＞﹣2．

【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．

函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；

函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．

　

14．直线y=3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是　x=2　．

【考点】一次函数与一元一次方程．

【分析】根据函数与方程的关系进行解答即可．

【解答】解：把x=m，y=0代入y=3x﹣m﹣4中，可得：m=2，

所以关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是x=2，

故答案为：x=2

【点评】此题考查函数与一元一次方程的问题，关键是根据函数与方程的关系进行解答．

　

15．已知某一次函数的图象经过点A（0，2），B（1，3），C（a，1）三点，则a的值是　﹣1　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据点A（0，2），B（1，3）的坐标求出函数解析式，再将C（a，1）代入解析式求出a的值．

【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b，

将点A（0，2），B（1，3）分别代入解析式得，

，

解得 ，

则函数解析式为y=x+2，

将C（a，1）代入解析式得，a+2=1，

解得a=﹣1，

故答案为﹣1．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟悉待定系数法是解题的关键．

　

16．某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是　4　天．

【考点】函数的图象．

【分析】根据题意和分析图象可知，甲乙合作的播种速度是150亩/天，所以600÷150=4天，由此即可求出答案．

【解答】解：由图形可得：甲播种速度200÷2=100亩/天，乙播种速度为（350﹣300）÷1=50亩/天，

∴甲乙合作的播种速度为150亩/天，

则乙播种参与的天数是600÷150=4天．

【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

　

17．经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2的直线解析式是　y=x﹣2或y=﹣x+2　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【专题】计算题．

【分析】设直线解析式为y=kx+b，先把（2，0）代入得b=﹣2k，则有y=kx﹣2k，再确定直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2k），然后根据三角形的面积公式得到 ×2×|﹣2k|=2，解方程得k=1或﹣1，于是可得所求的直线解析式为y=x﹣2或y=﹣x+2．

【解答】解：设直线解析式为y=kx+b，

把（2，0）代入得2k+b=0，解得b=﹣2k，

所以y=kx﹣2k，

把x=0代入得y=kx﹣2k得y=﹣2k，

所以直线与y轴的交点坐标为（0，﹣2k），

所以 ×2×|﹣2k|=2，解得k=1或﹣1，

所以所求的直线解析式为y=x﹣2或y=﹣x+2．

故答案为y=x﹣2或y=﹣x+2．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

　

18．如果直线l与直线y=﹣2x+1平行，与直线y=﹣x+2的交点纵坐标为1，那么直线l的函数解析式为　y=﹣2x+3　．

【考点】两条直线相交或平行问题．

【专题】计算题．

【分析】设直线l的解析式为y=kx+b，先根据两直线平行的问题得到k=﹣2，再把y=1代入y=﹣x+2可确定直线l与直线y=﹣x+2的交点坐标为（1，1），然后把（1，1）代入y=﹣2x+b求出b即可．

【解答】解：设直线l的解析式为y=kx+b，

∵直线l与直线y=﹣2x+1平行，

∴k=﹣2，

把y=1代入y=﹣x+2得﹣x+2=1，解得x=1，

∴直线l与直线y=﹣x+2的交点坐标为（1，1），

把（1，1）代入y=﹣2x+b得﹣2+b=1，解得b=3，

∴直线l的函数解析式为y=﹣2x+3．

故答案为y=﹣2x+3．

【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题：若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂平行，则k₁=k₂；若直线y=k₁x+b₁与直线y=k₂x+b₂相交，则由两解析式所组成的方程组的解为交点坐标．

　

三、解答题（共66分）

19．已知：一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．

（1）求k、b的值；

（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；

（2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值．

【解答】解：（1）由题意得 ，

解得 ．

∴k，b的值分别是1和2；

（2）将k=1，b=2代入y=kx+b中得y=x+2．

∵点A（a，0）在 y=x+2的图象上，

∴0=a+2，

即a=﹣2．

【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点求法，此题比较典型应熟练掌握．

　

20．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y₁（元），B套餐每月话费为y₂（元），月通话时间为x分钟．

（1）分别表示出y₁与x，y₂与x的函数关系式．

（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？

（3）什么情况下A套餐更省钱？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；

（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；

（3）根据（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B套餐，大于收费相同的时间选择A套餐解答．

【解答】解：（1）A套餐的收费方式：y₁=0.1x+15；

B套餐的收费方式：y₂=0.15x；

（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，

答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；

（3）由0.1x+15＜0.15x，得到x＞300，

当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．

【点评】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．

　

21．设函数y=x+n的图象与y轴交于A点，函数y=﹣3x﹣m的图象与y轴交于B点，两个函数的图象交于C（﹣3，1）点，D为AB的中点．

（1）求m、n的值；

（2）求直线DC点的一次函数的表达式．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式．

【分析】（1）直接把点C（﹣3，1）代入函数y=x+n与函数y=﹣3x﹣m，求出m、n的值即可；

（2）根据mn的值得出点A与点B的坐标，根据中点坐标公式求出D点坐标，利用待定系数法求出直线DC的函数解析式即可．

【解答】解：（1）∵函数y=x+n与函数y=﹣3x﹣m的图象交于C（﹣3，1）点，

∴1=﹣3+n，解得n=4；1=9﹣m，解得m=8，

∴n=4，m=8；

（2）∵函数y=x+n的图象与y轴交于A点，函数y=﹣3x﹣m的图象与y轴交于B点，

∴A（0，n），B（0，﹣m），

∵n=4，m=8，

∴A（0，4），B（0，﹣8）．

∵D为AB的中点，

∴D（0，﹣2）．

设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵C（﹣3，1），

∴ ，解得 ，

∴直线DC点的一次函数的表达式为y=﹣x﹣2．

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

　

22．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）．

（1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？

（2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？

【考点】一次函数的应用．

【专题】数形结合．

【分析】（1）根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC线段的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．

【解答】解：（1）∵CD∥x轴，

∴从第50天开始植物的高度不变，

答：该植物从观察时起，50天以后停止长高；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵经过点A（0，6），B（30，12），

∴ ，

解得 ．

所以，直线AC的解析式为y= x+6（0≤x≤50），

当x=50时，y= ×50+6=16cm．

答：直线AC所在线段的解析式为y= x+6（0≤x≤50），该植物最高长16cm．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．

　

23．（2015•天津）1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升，两个气球都匀速上升了50min．

设气球球上升时间为xmin （0≤x≤50）

（Ⅰ）根据题意，填写下表：

上升时间/min	10	30	…	x
1号探测气球所在位置的海拔/m	15	35	…	x+5
2号探测气球所在位置的海拔/m	20	30	…	0.5x+15

（Ⅱ）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由；

（Ⅲ）当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（Ⅰ）根据“1号探测气球从海拔5m处出发，以lm/min的速度上升．与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升”，得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式；

（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答；

（Ⅲ）由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，根据x的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：1号探测气球所在位置的海拔：m₁=x+5，2号探测气球所在位置的海拔：m₂=0.5x+15；

当x=30时，m₁=30+5=35；当x=10时，m₂=5+15=20，

故答案为：35，x+5，20，0.5x+15．

（Ⅱ）两个气球能位于同一高度，

根据题意得：x+5=0.5x+15，

解得：x=20，有x+5=25，

答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．

（Ⅲ）当30≤x≤50时，

由题意，可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球，

设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym，

则y=（x+5）﹣（0.5x+15）=0.5x﹣10，

∵0.5＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=50时，y取得最大值15，

答：两个气球所在位置海拔最多相差15m．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解析式．

　

24．（2016春•建昌县期末）如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）．

（1）求k的值；

（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）探究：在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为 ，并说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）将点E坐标（﹣8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式；

（2）由点A的坐标为（﹣6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围．

（3）根据△OPA的面积为 代入（2）的解析式求出x的值，再求出y的值就可以求出P点的位置．

【解答】解：（1）∵点E（﹣8，0）在直线y=kx+6上，

∴0=﹣8k+6，

∴k= ；

（2）∵k= ，

∴直线的解析式为：y= x+6，

∵P点在y= x+6上，设P（x， x+6），

∴△OPA以OA为底的边上的高是| x+6|，

当点P在第二象限时，| x+6|= x+6，

∵点A的坐标为（﹣6，0），

∴OA=6．

∴S= = x+18．

∵P点在第二象限，

∴﹣8＜x＜0；

（3）设点P（m，n）时，其面积S= ，

则 ，

解得|n|= ，

则n₁= 或者n₂=﹣ （舍去），

当n= 时， = m+6，

则m=﹣ ，

故P（﹣ ， ）时，三角形OPA的面积为 ．

【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法，在解答中画出函数图象和求出函数的解析式是关键．

　

25．（2009•济宁）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=﹣2x﹣1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；

（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数表达式．

【考点】一次函数综合题．

【专题】阅读型；新定义；开放型．

【分析】（1）直线l与已知直线y=﹣2x﹣1平行，因而直线的一次项系数是﹣2，根据待定系数法就可以求出函数解析式．

（2）点A、B的坐标可以求出，点C的位置应分在B点的左侧和右侧两种情况进行讨论．根据三角形的面积就可以求出C点的坐标．

【解答】解：（1）设直线l的函数表达式为y=kx+b，

∵直线l与直线y=﹣2x﹣1平行，∴k=﹣2，

∵直线l过点（1，4），

∴﹣2+b=4，

∴b=6．

∴直线l的函数表达式为y=﹣2x+6．

直线l的图象如图．

（2）∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，

∴点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）．

∵l∥m，

∴直线m为y=﹣2x+t．令y=0，解得x= ，

∴C点的坐标为（ ，0）．

∵t＞0，∴ ＞0．

∴C点在x轴的正半轴上．

当C点在B点的左侧时，S= ×（3﹣ ）×6=9﹣ ；

当C点在B点的右侧时，S= ×（ ﹣3）×6= ﹣9．

∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S= ．

【点评】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及函数平行的条件，是需要熟记的内容．