第7章 平行线的证明
一、选择题（共14小题）
1．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．40°
2．如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（ ）
A．35° B．70° C．90° D．110°
3．如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
6．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（ ）
A．58° B．70° C．110° D．116°
8．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．60° C．70° D．75°
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4=（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
10．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
11．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
13．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
14．如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共16小题）
15．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 度．
16．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= °．
17．如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= ．
18．如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 度．
19．如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= 度．
20．如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A= ．
21．如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为 度．
22．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为 ．
23．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= ．
24．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ．
25．如图，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3= °．
26．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= °．
27．如图，AB∥CD，∠BAF=115°，则∠ECF的度数为 °．
28．如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD= 度．
29．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= °．
30．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
第7章 平行线的证明
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题）
1．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．140° D．40°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=40°，
∴∠5=40°，
∴∠4=180°﹣40°=140°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
2．如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（ ）
A．35° B．70° C．90° D．110°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a∥b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5，
∵∠3=70°，
∴∠5=70°，
∴∠4=180°﹣70°=110°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系
3．如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2=（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】先根据对顶角相等得出∠3，然后判断a∥b，再由平行线的性质，可得出∠2的度数．
【解答】解：∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=50°，
∵c⊥a，c⊥b，
∴a∥b，
∵∠2=∠3=50°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握两直线平行内错角相等，对顶角相等．
4．如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】首先证明a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠6，再根据对顶角相等可得∠4．
【解答】解：∵∠1+∠5=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠2=∠5，
∴a∥b，
∴∠3=∠6=100°，
∴∠4=100°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行同位角相等．
5．已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，解得∠C=90°，、
∴△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
6．（2013•扬州）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
故A错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
故B正确；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠CDA，
若AC∥BD，可得∠1=∠2；
故C错误；
D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，
故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（ ）
A．58° B．70° C．110° D．116°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠1=∠2=58°，
∴a∥b，
∴∠3+∠5=180°，
即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，
∴∠4=∠5=110°，
故选C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．
8．如图，直线a、b被直线c、d所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．60° C．70° D．75°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】利用平行线的性质定理和判定定理，即可解答．
【解答】解：如图，
∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠3=∠5=125°，
∴∠4=180°﹣∠5=180°﹣125°=55°，
故选：A．
【点评】此题考查了平行线的性质和判定定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．如图，直线a，b与直线c，d相交，已知∠1=∠2，∠3=110°，则∠4=（ ）
A．70° B．80° C．110° D．100°
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【解答】解：∵∠3=∠5=110°，
∵∠1=∠2=58°，
∴a∥b，
∴∠4+∠5=180°，
∴∠4=70°，
故选A．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟记定理是解题的关键．
10．如图，∠1=∠2，∠3=30°，则∠4等于（ ）
A．120° B．130° C．145° D．150°
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】由∠1=∠2，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同位角相等得到∠3=∠5，求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5=∠3=30°，
∴∠4=180°﹣∠5，=150°，
故选D
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
11．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE=
∠ABC，∠BCD=
，
∴∠CBE+∠BCD=
（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．
12．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】首先根据∠A：∠B：∠C=3：4：5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几；然后根据分数乘法的意义，用180°乘以∠C的度数占三角形的内角和的分率，求出∠C等于多少度即可．
【解答】解：180°×
=
=75°
即∠C等于75°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．
13．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是（ ）
A．15° B．25° C．35° D．45°
【考点】平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°﹣∠3代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠2=60°﹣∠3=60°﹣25°=35°．
故选C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．
14．如图AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角．
【分析】两角互余，则两角之和为90°，此题的目的在于找出与∠CAB的和为90°的角，根据平行线的性质及对顶角相等作答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，设∠ABC的对顶角为∠1，
则∠ABC=∠1，
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠BCD=∠CAB+∠1=90°，
因此与∠CAB互余的角为∠ABC，∠BCD，∠1．
故选C．
【点评】此题考查的知识点为：平行线的性质，两角互余和为90°，对顶角相等．
二、填空题（共16小题）
15．如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 120 度．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行，再利用两直线平行同旁内角互补，由∠A的度数即可求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ADC=120°．
故答案为：120°
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
16．如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3= 110 °．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据对顶角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，再利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，
∴∠1=∠MEN，
∴AB∥CD，
∴∠3+∠BMN=180°，
∵MN平分∠EMB，
∴∠BMN=
，
∴∠3=180°﹣70°=110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
17．如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=116°30′，则∠4= 63°30′ ．
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据∠1=∠2可以判定a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得答案．
【解答】解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴a∥b，
∴∠3=∠5=116°30′，
∴∠4=180°﹣116°30′=63°30′，
故答案为：63°30′．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
18．如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠2= 30 度．
【考点】平行线的性质；角平分线的定义．
【分析】根据平行线的性质得到∠EFD=∠1，再由FG平分∠EFD即可得到．
【解答】解：∵AB∥CD
∴∠EFD=∠1=60°
又∵FG平分∠EFD．
∴∠2=
∠EFD=30°．
【点评】本题主要考查了两直线平行，同位角相等．
19．如图，点B，C，E，F在一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D= 36 度．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠B，∠DEC=∠F，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，
∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，
在△CDE中，∠D=180°﹣∠DCE﹣∠DEC=180°﹣72°﹣72°=36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的内角和定理，是基础题，熟记性质与定理是解题的关键．
20．如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A= 55° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．
【解答】解：∵∠EFD为△ECF的外角，
∴∠EFD=∠C+∠E=55°，
∵CD∥AB，
∴∠A=∠EFD=55°．
故答案为：55°
【点评】此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
21．如图，已知∠1=∠2，∠3=73°，则∠4的度数为 107 度．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据已知一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到a与b平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴a∥b，
∴∠5+∠3=180°，
∵∠4=∠5，∠3=73°，
∴∠4+∠3=180°，
则∠4=107°．
故答案为：107
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
22．（2013•南昌）如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为 65° ．
【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据平角的定义求出∠EDC的度数，再由平行线的性质得出∠C的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵∠1=155°，
∴∠EDC=180°﹣155°=25°，
∵DE∥BC，
∴∠C=∠EDC=25°，
∵△ABC中，∠A=90°，∠C=25°，
∴∠B=180°﹣90°﹣25°=65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
23．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= 115° ．
【考点】平行线的性质．
【分析】将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．
故答案为：115°．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．
24．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= 30° ．
【考点】平行线的性质；多边形内角与外角．
【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．
【解答】解：作出辅助线如图：
则∠2=42°，∠1=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴一个内角是108°，
∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，注意掌握两直线平行：内错角相等、同位角相等．
25．如图，a∥b，∠1=70°，∠2=50°，∠3= 60 °．
【考点】平行线的性质．
【专题】探究型．
【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，再由平角的性质求出∠3的度数即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1=70°，
∴∠4=∠1=70°，
∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=180°﹣70°﹣50°=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
26．如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC=80°，则∠B= 50 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】由∠BAC=80°，可得出∠EAC的度数，由AD平分∠EAC，可得出∠EAD的度数，再由AD∥BC，可得出∠B的度数．
【解答】解：∵∠BAC=80°，
∴∠EAC=100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=50°，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠EAD=50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握角平分线的性质及平行线的性质：两直线平行内错角、同位角相等，同旁内角互补．
27．如图，AB∥CD，∠BAF=115°，则∠ECF的度数为 65 °．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平角的定义求出∠BAC的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠BAF=115°，
∴∠BAC=180°﹣115°=65°，
∵AB∥CD，
∴∠ECF=∠BAC=65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
28．如图，∠B=30°，若AB∥CD，CB平分∠ACD，则∠ACD= 60 度．
【考点】平行线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据AB∥CD，可得∠BCD=∠B=30°，然后根据CB平分∠ACD，可得∠ACD=2∠BCD=60°．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B=30°，
∴∠BCD=∠B=30°，
∵CB平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠BCD=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
29．如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= 95 °．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF=∠A=100°，∠BNF=∠C=70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=
∠BMF=
×100°=50°，
∠BNM=
∠BNF=
×70°=35°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（50°+35°）=180°﹣85°=95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠B=40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 70° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得
∠DAC+
∠ACF=
（∠B+∠B+∠1+∠2）；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=
∠DAC，∠ECA=
∠ACF；
又∵∠B=40°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴
∠DAC+
∠ACF=
（∠B+∠2）+
（∠B+∠1）=
（∠B+∠B+∠1+∠2）=110°（外角定理），
∴∠AEC=180°﹣（
∠DAC+
∠ACF）=70°．
故答案为：70°．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键．