《7.5 三角形内角和定理》
一、选择题
1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
4．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．45° B．54° C．40° D．50°
5．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
6．关于三角形内角的叙述错误的是（ ）
A．三角形三个内角的和是180°
B．三角形两个内角的和一定大于60°
C．三角形中至少有一个角不小于60°
D．一个三角形中最大的角所对的边最长
7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
二、填空题
8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于 ．
9．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则∠B=∠ ，∠C=∠ ．
10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 度．
11．如图，∠α= ．
12．如图，直线a∥b，则∠A= ，若作BH⊥AC于H，则∠ABH= ．
13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．
14．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 度．
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 ．
16．在△ABC，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是 ．
三、解答题
17．在△ABC中，如果∠A=
∠B=
∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．
18．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB．
19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
20．如图，已知AB∥DE，点C是BE上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．
（1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX的大小是多少？
（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
《7.5 三角形内角和定理》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：4，那么这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理可分别求得每个角的度数，从而根据最大角的度数确定其形状．
【解答】解：依题意，设三角形的三个内角分别为：2x，7x，4x，
∴2x+7x+4x=180°，
∴7x≈97°，
∴这个三角形是钝角三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对三角形内角和定理及三角形形状的判断的综合运用．
2．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A=90°，即可得出结论．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=∠A，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
即△ABC一定是直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的判定方法；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
3．在△ABC中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据∠C=55°，求出∠A+∠B的度数，再根据∠A﹣∠B=35°求出∠B的度数即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=55°，
∴∠A+∠B=180°﹣∠C=180°﹣55°=125°①，
∵∠A﹣∠B=35°②，
∴①﹣②得，2∠B=90°，解得∠B=45°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
4．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）
A．45° B．54° C．40° D．50°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．
【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=
∠BAC=
×80°=40°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
5．如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
【考点】三角形内角和定理；多边形内角与外角．
【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
6．关于三角形内角的叙述错误的是（ ）
A．三角形三个内角的和是180°
B．三角形两个内角的和一定大于60°
C．三角形中至少有一个角不小于60°
D．一个三角形中最大的角所对的边最长
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的内角和进行解答即可．
【解答】解：A、三角形三个内角的和是180°，此选项正确；
B、三角形两个内角的和不一定大于60°，此选项错误；
C、三角形中至少有一个角不小于60°，此选项正确；
D、一个三角形中最大的角所对的边最长，此选项正确；
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
7．如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
【考点】三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°即可得出结论．
【解答】解：∵∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，
∴∠OBC+∠OCB=180°﹣∠A﹣∠1﹣∠2=180°﹣80°﹣15°﹣40°=45°，
∵∠BOC+（∠OBC+∠OCB）=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
二、填空题
8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于 40° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据题意，可设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，根据三角形的内角和定理，列方程解答．
【解答】解：设最小角度数为x，则最大角为2x，另一角为2x﹣20°，
列方程得，x+2x+2x﹣20°=180°，
解得x=40°．
答：这个三角形的最小角度数为40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和180°，解答体现了方程思想．
9．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则∠B=∠ DAC ，∠C=∠ BAD ．
【考点】直角三角形的性质．
【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出∠B+∠C=90°，再由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，那么根据直角三角形两锐角互余得出∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，然后根据同角的余角相等即可得到∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠C=90°，∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD．
故答案为DAC，BAD．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，余角的性质，三角形的高，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．
10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 85 度．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】压轴题．
【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．
【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
11．如图，∠α= 17° ．
【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角．
【分析】先根据三角形内角和定理得出关于α的方程，求出α的值即可．
【解答】解：∵三角形内角和是180°，
∴40°+32°=55°+α，
解得α=17°．
故答案为：17°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
12．如图，直线a∥b，则∠A= 20° ，若作BH⊥AC于H，则∠ABH= 70° ．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】由平行线的性质得出同位角相等∠BCH=60°，由三角形的外角性质即可得出∠A的度数；由角的互余关系求出∠ABH的度数即可．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠BCH=60°，
∵∠BCH=∠A+∠ABC，
∴∠A=60°﹣40°=20°；
∵BH⊥AC，
∴∠BHA=90°，
∴∠ABH=90°﹣∠A=90°﹣20°=70°；
故答案为：20°，70°．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、角的互余关系；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
13．计算∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 360° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形外角性质得出∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，根据三角形外角和定理得出∠8+∠7+∠9=360°，即可求出答案．
【解答】
解：由三角形外角性质得：∠8=∠1+∠2，∠7=∠3+∠4，∠9=∠6+∠5，
∴∠8+∠7+∠9=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，
∵△ABC的外角和等于360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9=360°，
故答案为：360°．
【点评】本题考查了三角形外角和定理，三角形外角性质的应用，注意：三角形的外角和等于360°．
14．如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=158°，则∠ACD= 68 度．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵FD⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∵∠AFD=158°，
∴∠ACD=∠AFD﹣∠CDF=158°﹣90°=68°．
故答案为：68．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图是解题的关键，注意题目中多余条件的干扰．
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是 45°或135° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义求较小的夹角，由邻补角定义即可求得较大夹角的度数．
【解答】解：直角三角形的两个锐角的平分线所交成的锐角是
×90°=45°，
则直角三角形的两个锐角的平分线所交成的钝角是180°﹣45°=135°．
故答案为：45°或135°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，注意两条直线相交所成的角有两个不同度数的角．
16．在△ABC，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B、∠C越来越大．若∠A减小α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α、β、γ三者之间的等量关系是 α=β+γ ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】根据三角形的内角和是个定值180度计算．
【解答】解：∵三角内角和是个定值为180度，
∴∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A越来越小，∠B、∠C越来越大时，
∴∠A﹣α+∠B+β+∠C+γ=180°，
∴α=β+γ．
故答案为：α=β+γ．
【点评】主要考查了三角形的内角和为180度这个知识点．
三、解答题
17．在△ABC中，如果∠A=
∠B=
∠C，求∠A，∠B，∠C分别等于多少度．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理和已知条件得出∠A+2∠A+2∠A=180°，求出∠A=36°，即可得出∠B=∠C=72°．
【解答】解：∵∠A=
∠B=
∠C，
∴∠B=∠C=2∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+2∠A=180°，
解得：∠A=36°，
∴∠B=∠C=72°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
18．如图所示，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求∠ACB．
【考点】方向角．
【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵AE，DB是正南正北方向，
∴BD∥AE，
∵∠DBA=45°，
∴∠BAE=∠DBA=45°，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，
又∵∠DBC=80°，
∴∠ABC=80°﹣45°=35°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°．
【点评】本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=66°，AE⊥BC于E，AD平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【分析】先在△ABC中根据三角形内角和定理计算出∠BAC=84°，再根据角平分线定义得到∠DAC=
∠BAC=42°，接着根据垂直的定义得到∠AEC=90°，则在△AEC中根据三角形内角和定理可计算出∠EAC=90°﹣∠C=24°，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°﹣30°﹣66°=84°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=
∠BAC=42°，
∵AE⊥BC于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°﹣∠C=90°﹣66°=24°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=42°﹣24°=18°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．准确识别图形，即在哪个三角形中运用内角和定理是解题的关键．
20．如图，已知AB∥DE，点C是BE上的一点，∠A=∠BCA，∠D=∠DCE．求证：AC⊥CD．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
【分析】由平行线的性质得出同旁内角互补∠B+∠E=180°，由三角形内角和定理和已知条件得出∠ACB+∠DCE=90°，得出∠ACD=90°，即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B+∠E=180°，
∵∠B+∠A+∠BCA=180°，∠E+∠D+∠DCE=180°，
∴，∠A+∠BCA+∠D+∠DCE=180°，
∵∠A=∠BCA，∠D=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21．如图所示，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B和点C．
（1）若∠A=30°，则∠ABX+∠ACX的大小是多少？
（2）若改变三角板的位置，但仍使点B，点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX+∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=90°，即可得出结果；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A是一个定值，同理在△XBC中，∠BXC=90°，∠XBC+∠XCB=90°也是一个定值，∠ABX+∠ACX=90°﹣∠A的值不变．
【解答】解：（1）∵∠A=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣30°=150°，
∵∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=150°﹣90°=60°；
（2）∠ABX+∠ACX的大小没有变化；理由如下：
∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠YXZ=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=180°﹣∠A﹣90°=90°﹣∠A；
即∠ABX+∠ACX的大小没有变化．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．