第2章 实数

一、选择题

1．下面四个实数，你认为是无理数的是（　　）

A． B． C．3 D．0.3

2．下列四个数中，是负数的是（　　）

A．|﹣2| B．（﹣2）² C．﹣ D．

3．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：

①a是无理数；

②a可以用数轴上的一个点来表示；

③3＜a＜4；

④a是18的算术平方根．

其中，所有正确说法的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（　　）

A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b

5．k、m、n为三整数，若 =k ， =15 ， =6 ，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　）

A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n

6．下列说法：

①5是25的算术平方根；

② 是 的一个平方根；

③（﹣4）²的平方根是﹣4；

④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1．

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．下列计算正确的是（　　）

A． = × B． = ﹣

C． = D． =

8．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）

A．4的算术平方根 B．4的立方根

C．8的算术平方根 D．8的立方根

9．下列各式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]=0，[3.14]=3．按此规定[ ]的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

　

二、填空题

11．﹣ 的相反数是　　．

12．16的算术平方根是　　．

13．写出一个比﹣3大的无理数是　　．

14．化简 ﹣ =　　．

15．比较大小：2 　　π（填“＞”、“＜”或“=”）．

16．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是　　．

17．若x，y为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）²⁰¹⁴的值为　　．

18．已知m= ，则m²﹣2m﹣2013=　　．

　

三、解答题（共66分）

19．（2012﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+| ﹣2|+ ；

（2）1+（﹣ ）^﹣1﹣ ÷（ ）⁰．

20．先化简，再求值：

（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab），其中a= ，b= ；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，其中x=﹣ ．

21．有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字母）：　　；

（2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．

22．计算：

（1） + + ﹣ ；

（2）2 ÷ × ；

（3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ．

23．甲同学用如图方法作出C点，表示数 ，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC

（1）请说明甲同学这样做的理由；

（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点A．

24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．

（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？

（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3， ，2 ．

25．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（一） = = ；

（二） = = = ﹣1；

（三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．

（1）请用不同的方法化简 ：

①参照（二）式化简 =　　．

②参照（三）式化简 =　　．

（2）化简： + + +…+ ．

　

参考答案与试题解析

一、选择题

1．下面四个实数，你认为是无理数的是（　　）

A． B． C．3 D．0.3

【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解： 、3、0.3是有理数，

是无理数，

故选：B．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

　

2．下列四个数中，是负数的是（　　）

A．|﹣2| B．（﹣2）² C．﹣ D．

【考点】实数的运算；正数和负数．

【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、|﹣2|=2，是正数，故本选项错误；

B、（﹣2）²=4，是正数，故本选项错误；

C、﹣ ＜0，是负数，故本选项正确；

D、 = =2，是正数，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键．

　

3．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：

①a是无理数；

②a可以用数轴上的一个点来表示；

③3＜a＜4；

④a是18的算术平方根．

其中，所有正确说法的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④

【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质．

【分析】先利用勾股定理求出a=3 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义判断④．

【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，

∴a= = =3 ．

①a=3 是无理数，说法正确；

②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；

③∵16＜18＜25，4＜ ＜5，即4＜a＜5，说法错误；

④a是18的算术平方根，说法正确．

所以说法正确的有①②④．

故选C．

【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．

　

4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 的结果为（　　）

A．2a+b B．﹣2a+b C．b D．2a﹣b

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．

【分析】现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．

【解答】解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，

原式=﹣a﹣[﹣（a+b）]=﹣a+a+b=b．

故选C．

【点评】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．

　

5．k、m、n为三整数，若 =k ， =15 ， =6 ，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（　　）

A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．

【解答】解： =3 ， =15 ， =6 ，

可得：k=3，m=2，n=5，

则m＜k＜n．

故选：D

【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．

　

6．下列说法：

①5是25的算术平方根；

② 是 的一个平方根；

③（﹣4）²的平方根是﹣4；

④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1．

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】立方根；平方根；算术平方根．

【分析】根据平方根、算术平方根以及立方根逐一分析4条结论的正误，由此即可得出结论．

【解答】解：①∵5²=25，

∴5是25的算术平方根，①正确；

②∵ = ，

∴ 是 的一个平方根，②正确；

③∵（±4）²=（﹣4）²，

∴（﹣4）²的平方根是±4，③错误；

④∵0²=0³=0，1²=1³=1，

∴立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1，正确．

故选C．

【点评】本题考查了方根、算术平方根以及立方根，解题的关键是根据算术平方根与平方根的定义找出它们的区别．

　

7．下列计算正确的是（　　）

A． = × B． = ﹣

C． = D． =

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可．

【解答】解： = × ，A错误；

= ，B错误；

是最简二次根式，C错误；

= ，D正确，

故选：D．

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．

　

8．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）

A．4的算术平方根 B．4的立方根

C．8的算术平方根 D．8的立方根

【考点】估算无理数的大小．

【分析】先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可．

【解答】解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3，

而 =2， ＜2，2＜ =2 ＜3， =2，

只有8的算术平方根符合题意．

故选C．

【点评】此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

　

9．下列各式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据二次根式的运算性质化简．

【解答】解：A、原式= ，错误；

B、被开方数不同，不能合并，错误；

C、运用了平方差公式，正确；

D、原式= = ，错误．

故选C．

【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．

　

10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]=0，[3.14]=3．按此规定[ ]的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】估算无理数的大小．

【分析】先求出 +1的范围，再根据范围求出即可．

【解答】解：∵3＜ ＜4，

∴4＜ +1＜5，

∴[ +1]=4，

故选B．

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出 +1的范围．

　

二、填空题

11．﹣ 的相反数是　 　．

【考点】实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：﹣ 的相反数是 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

　

12．16的算术平方根是　4　．

【考点】算术平方根．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．

【解答】解：∵4²=16，

∴ =4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

　

13．写出一个比﹣3大的无理数是　如 等（答案不唯一）　．

【考点】实数大小比较．

【分析】根据这个数即要比﹣3大又是无理数，解答出即可．

【解答】解：由题意可得，﹣ ＞﹣3，并且﹣ 是无理数．

故答案为：如 等（答案不唯一）

【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

　

14．化简 ﹣ =　﹣ 　．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ ．

【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

　

15．比较大小：2 　＜　π（填“＞”、“＜”或“=”）．

【考点】实数大小比较．

【分析】首先利用计算器分别求2 和π的近似值，然后利用近似值即可比较求解．

【解答】解：因为2 ≈2.828，π≈3.414，

所以 ＜π．

【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要采用了求近似值来比较两个无理数的大小．

　

16．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是　 　．

【考点】平方根．

【分析】由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．

【解答】解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得x=﹣ ，

所以3x﹣2=﹣ ，5x+6= ，

∴（ ）²=

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．

　

17．若x，y为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）²⁰¹⁴的值为　1　．

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y方程组，然后解方程组求出x、y的值，再代入原式求解即可．

【解答】解：由题意，得： ，

解得 ；

∴（x+y）²⁰¹⁴=（﹣2+3）²⁰¹⁴=1；

故答案为1．

【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．

　

18．已知m= ，则m²﹣2m﹣2013=　0　．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】先分母有理化，再将m²﹣2m﹣2013变形为（m﹣1）²﹣2014，再代入计算即可求解．

【解答】解：m= = +1，

则m²﹣2m﹣20130

=（m﹣1）²﹣2014

=（ +1﹣1）²﹣2014

=2014﹣2014

=0．

故答案为：0．

【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

　

三、解答题（共66分）

19．（2012﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+| ﹣2|+ ；

（2）1+（﹣ ）^﹣1﹣ ÷（ ）⁰．

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；

（2）根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的意义计算．

【解答】解：（1）原式=1﹣3+2﹣ +

=0；

（2）原式=1﹣2﹣（2﹣ ）÷1

=1﹣2﹣2+

= ﹣3．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

　

20．先化简，再求值：

（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab），其中a= ，b= ；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，其中x=﹣ ．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；

（2）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab）

=a²﹣4b²﹣b²

=a²﹣5b²，

当a= ，b= 时，原式=（ ）²﹣5×（ ）²=﹣13；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，

=4x²﹣9﹣4x²+4x+x²﹣4x+4

=x²﹣5，

当x= 时，原式=﹣2．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

　

21．有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字母）：　A、D、E　；

（2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．

【考点】实数的运算．

【分析】（1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解；

（2）根据（1）的结果可以得到规律．

【解答】解：（1）A、D、E；

注：每填对一个得，每填错一个扣，但本小题总分最少0分．

（2）设这个数为x，则x =a（a为有理数），所以x= （a为有理数）．

（注：无“a为有理数”扣；写x= a视同x= ）

【点评】此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅读比较多，解题时要注意审题，正确理解题意．

　

22．计算：

（1） + + ﹣ ；

（2）2 ÷ × ；

（3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ．

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；

（2）根据二次根式的乘除法则运算；

（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．

【解答】解：（1）原式=4 +5 + ﹣3

=6 + ；

（2原式=2× × ×

= ；

（3）原式=（ ﹣2 +6 ）÷2

=（ +4 ）÷2

= +2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

　

23．甲同学用如图方法作出C点，表示数 ，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC

（1）请说明甲同学这样做的理由；

（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点A．

【考点】实数与数轴；勾股定理．

【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得到点C表示的数；

（2）由29=25+4，依据勾股定理即可做出表示﹣ 的点．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OB= = = ，

∵OB=OC，

∴OC= ．

∴点C表示的数为 ．

（2）如图所示：

取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2．

由勾股定理可知：OC= = = ．

∵OA=OC= ．

∴点A表示的数为﹣ ．

【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

　

24．如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．

（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？

（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3， ，2 ．

【考点】勾股定理；二次根式的应用．

【分析】（1）利用勾股定理得出AB，BC，AC的长，进而得出答案；

（2）直接利用各边长结合勾股定理得出答案．

【解答】解：（1）如图①所示：AB=4，AC= =3 ，BC= = ，

所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数；

（2）如图②所示：

【点评】此题主要考查了勾股定理以及二次根式的应用，正确应用勾股定理是解题关键．

　

25．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（一） = = ；

（二） = = = ﹣1；

（三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．

（1）请用不同的方法化简 ：

①参照（二）式化简 =　 ﹣ 　．

②参照（三）式化简 =　 ﹣ 　．

（2）化简： + + +…+ ．

【考点】分母有理化．

【分析】（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；

（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

【解答】解：（1）① = = ﹣ ；

② = = = ﹣ ；

（2）原式= + + +…+ = = ．

故答案为：（1）① ﹣ ；② ﹣

【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．