《第2章 实数》

　

一、选择题

1．25的平方根是（　　）

A．5 B．﹣5 C．± D．±5

2．下列说法错误的是（　　）

A．无理数的相反数还是无理数 B．无限小数都是无理数

C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应

3．下列各组数中互为相反数的是（　　）

A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣ ）² D．|﹣ |与

4．在下列各数中无理数有（　　）

﹣0.333…， ， ，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

5．下列说法错误的是（　　）

A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1

C． 是2的平方根 D． 是 的平方根

6．下列各式中已化为最简式的是（　　）

A． B． C． D．

7．下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（　　）

A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数

9．要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是（　　）

A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1

10．（ ）²的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（　　）

A．3 B．7 C．3或7 D．1或7

11．若 与 都有意义，则a的值是（　　）

A．a＞0 B．a≤0 C．a=0 D．a≠0

12．当 的值为最小值时，a的取值为（　　）

A．﹣1 B．0 C． D．1

　

二、填空题：

13．36的平方根是______； 的算术平方根是______．

14．8的立方根是______； =______．

15． 的相反数是______，绝对值等于 的数是______．

16．比较大小： ______2；若a＞2 ，则|2 ﹣a|=______．

17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m=______，n=______．

18． 的立方根与﹣27的立方根的差是______；已知 + =0，则（a﹣b）²=______．

　

三、解答题

19．化简：

（1） + ﹣ ；

（2）

（3）3 ﹣ ﹣ ；

（4） +（1﹣ ）⁰；

（5）（ ﹣ ）（ + ）+2

（6）（ + ﹣ab）• （a≥0，b≥0）．

20．求x的值：

（1）2x²=8

（2）（2x﹣1）³=﹣8．

21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）．

22．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：已知：5+ 的小数部分是a，5﹣ 的整数部分是b，求a+b的值．

　

《第2章 实数》

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．25的平方根是（　　）

A．5 B．﹣5 C．± D．±5

【考点】平方根．

【分析】根据平方根的定义和性质即可得出答案．

【解答】解：∵（±5）²=25，

∴25的平方根是±5．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．

　

2．下列说法错误的是（　　）

A．无理数的相反数还是无理数 B．无限小数都是无理数

C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应

【考点】实数与数轴；实数．

【分析】A、根据相反数和无理数的定义进行分析、判断；

B、根据无理数的定义解答；

C、由有理数的分类进行分析、判断；

D、由实数与数轴的关系进行分析．

【解答】解：A、无理数a与它的相反数﹣a只是符号不同，但都还是无理数，故本选项正确；

B、无限不循环小数叫做无理数；故本选项错误；

C、有理数包括整数和分数；故本选项正确；

D、实数与数轴上的点是一一对应关系；故本选项正确；

故选B．

【点评】本题考查了实数与数轴、实数的有关知识点．注意，无理数的定义是指“无限不循环小数”而不是“无限小数”或者“小数”．

　

3．下列各组数中互为相反数的是（　　）

A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣ ）² D．|﹣ |与

【考点】实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；

B、是同一个数，故B错误；

C、是同一个数，故C错误；

D、是同一个数，故D错误；

故选：A．

【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数．

　

4．在下列各数中无理数有（　　）

﹣0.333…， ， ，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）．

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点】无理数．

【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可．

【解答】解： =2，

所给数据中，无理数有： ，﹣π，3π，76.0123456…，共4个．

故选B．

【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．

　

5．下列说法错误的是（　　）

A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1

C． 是2的平方根 D． 是 的平方根

【考点】平方根；立方根．

【专题】计算题．

【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果．

【解答】解：A、1的平方根为±1，错误；

B、﹣1的立方根是﹣1，正确；

C、 是2的平方根，正确；

D、﹣ 是 的平方根，正确；

故选A

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

　

6．下列各式中已化为最简式的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】最简二次根式．

【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．

【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式；

B、 =2 ，不是最简二次根式；

C、是最简二次根式；

D、 =11，不是最简二次根式．

故选C．

【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

　

7．下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】算术平方根．

【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答．

【解答】解：A．因为 ，故本选项正确；

B．因为 =3，故本选项错误；

C．因为 ，故本选项错误；

D．因为 ，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题．

　

8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（　　）

A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数

【考点】勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可．

【解答】解：∵ = =3 ，

∴对角线长是无理数．

故选D．

【点评】本题考查了长方形性质及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及实数的分类．

　

9．要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是（　　）

A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x＞1

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．

【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥﹣1．

故选：C．

【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

　

10．（ ）²的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（　　）

A．3 B．7 C．3或7 D．1或7

【考点】立方根；平方根．

【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可．

【解答】解：∵（﹣ ）²=9，

∴（ ）²的平方根是±3，

即x=±3，

∵64的立方根是y，

∴y=4，

当x=3时，x+y=7，

当x=﹣3时，x+y=1．

故选D．

【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出x y的值．

　

11．若 与 都有意义，则a的值是（　　）

A．a＞0 B．a≤0 C．a=0 D．a≠0

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：若 与 都有意义，则 ，由此可求a的值．

【解答】解：若 与 都有意义，

则 ，故a=0．故选C．

【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

　

12．当 的值为最小值时，a的取值为（　　）

A．﹣1 B．0 C． D．1

【考点】算术平方根．

【分析】由于 ≥0，由此得到4a+1=0取最小值，这样即可得出a的值．

【解答】解： 取最小值，

即4a+1=0．

得a= ，

故选C．

【点评】本题考查的是知识点有：算术平方根恒大于等于0，且只有最小值，为0；没有最大值．

　

二、填空题：

13．36的平方根是　±6　； 的算术平方根是　2　．

【考点】算术平方根；平方根．

【分析】根据平方根和算术平方根的定义求出即可．

【解答】解：36的平方根是± =±6，

∵ =4，

∴ 的算术平方根是2，

故答案为：±6，2．

【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

　

14．8的立方根是　2　； =　﹣3　．

【考点】立方根．

【分析】根据立方根的定义解答即可．

【解答】解：∵2³=8，

∴8的立方根是2；

=﹣3．

故答案为：2；﹣3．

【点评】本题考查了立方根的定义，熟记概念是解题的关键．

　

15． 的相反数是　﹣ 　，绝对值等于 的数是　 　．

【考点】实数的性质．

【分析】由题意根据相反数的定义及绝对值的性质进行求解．

【解答】解： 的相反数是：﹣ ，

设x为绝对值等于 ，

∴|x|= ，

∴x=± ，

故答案为：﹣ ， ．

【点评】此题主要考查相反数的定义及绝对值的性质，比较简单．

　

16．比较大小： 　＞　2；若a＞2 ，则|2 ﹣a|=　a﹣2 　．

【考点】实数大小比较；实数的性质．

【专题】推理填空题．

【分析】首先应用放缩法，利用 ，判断出 ＞2；然后根据a＞2 ，判断出2 ﹣a的正负，即可求出|2 ﹣a|的值是多少．

【解答】解：∵ ，

∴ ＞ =2；

∵a＞2 ，

∴2 ﹣a＜0，

∴|2 ﹣a|=a﹣2 ．

故答案为：＞、a﹣2 ．

【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．

（2）此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，注意判断出2 ﹣a的正负．

　

17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m=　1　，n=　4　．

【考点】平方根．

【专题】计算题．

【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而求出n的值．

【解答】解：根据题意得：m+1+m﹣3=0，

解得：m=1，即两个平方根为2和﹣2，

则n=4．

故答案为：1；4

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

　

18． 的立方根与﹣27的立方根的差是　5　；已知 + =0，则（a﹣b）²=　25　．

【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根．

【分析】首先把 化简，然后再计算出8和﹣27的立方根，再求差即可；

根据算术平方根具有非负性可得a﹣2=0，b+3=0，计算出a、b的值，进而可得答案．

【解答】解： =8，

8的立方根是2，

﹣27的立方根是﹣3，

2﹣（﹣3）=5．

故答案为：5；

∵ + =0，

∴a﹣2=0，b+3=0，

解得：a=2，b=﹣3，

（a﹣b）²=25．

故答案为：25．

【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握平方根、立方根、算术平方根的定义．

　

三、解答题

19．化简：

（1） + ﹣ ；

（2）

（3）3 ﹣ ﹣ ；

（4） +（1﹣ ）⁰；

（5）（ ﹣ ）（ + ）+2

（6）（ + ﹣ab）• （a≥0，b≥0）．

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．

【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（2）先把根号内的数利用平方差公式变形，然后根据二次根式的乘法法则运算；

（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；

（4）先根据零指数幂的意义运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；

（5）利用平方差公式计算；

（6）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算．

【解答】解：（1）原式=2 +4 ﹣ =5 ；

（2）原式= = × =13×11=143；

（3）原式=6 ﹣3 ﹣ = ；

（4）原式= +1=5+1=6；

（5）原式=5﹣7+2=0；

（6）原式=（a +b ﹣ab）

=a²b+ab²﹣ab ．

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．

　

20．求x的值：

（1）2x²=8

（2）（2x﹣1）³=﹣8．

【考点】立方根；平方根．

【分析】（1）利用解方程的步骤求解，注意解的最后一步利用平方根来求解；

（2）利用立方根的定义可得出x的一元一次方程，再求解即可．

【解答】解：

（1）系数化为1可得：x²=4，两边开方得：x=±2；

（2）由立方根的定义可得：2x﹣1=﹣2，解得x=﹣ ．

【点评】本题主要考查平方根和立方根的定义及求法，正确掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．

　

21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）．

【考点】一元二次方程的应用；实数的运算；勾股定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3，设长为5xcm，则宽为3xcm，根据对角线长，用勾股定理即可列出方程，求出长方形的长和宽，再进行估算．

【解答】解：设长为5xcm，则宽为3xcm，用勾股定理得（5x）²+（3x）²=（ ）²，

∴25x²+9x²=68，

∴34x²=68，

∴x²=2，即x= 或x=﹣ （舍去），

∴长为5× ≈7.1（cm），宽为3× ≈4.2（cm），

答：长方形的长为7.1cm，宽为4.2cm．

【点评】这类根据长形的对角线与直角边构成直角三角形，利用勾股定理化为求一元二次方程的解的问题，求解舍去不符合条件的解即可．

　

22．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是小平用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

请解答：已知：5+ 的小数部分是a，5﹣ 的整数部分是b，求a+b的值．

【考点】估算无理数的大小．

【分析】根据题目中的方法，估计 的大小，求出a、b的值，再把a，b的值相加即可得出答案．

【解答】解：∵4＜5＜9，

∴2＜ ＜3，

∴7＜5+ ＜8，

∴a= ﹣2．

又∵﹣2＞﹣ ＞﹣3，

∴5﹣2＞5﹣ ＞5﹣3，

∴2＜5﹣ ＜3，

∴b=2，

∴a+b= ﹣2+2= ．

【点评】此题考查了估算无理数的大小，常见的方法是夹逼法，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．