第15章 轴对称图形与等腰三角形
一、选择题
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
5．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
7．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．7或9 D．9或12
8．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（ ）
A．114 B．123 C．132 D．147
10．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18° D．64°
18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）
A．150° B．160° C．130° D．60°
二、填空题
20．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．
21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 ．
22．如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α= °（填一个即可）
23．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 cm．
24．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．
26．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= ．
27．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=
，则BE+CE= ．
三、解答题
28．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
29．求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
30．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
第15章 轴对称图形与等腰三角形
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为
=70°．
故选：D．
【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形外角性质得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，则2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性质得到∠D=
∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=
∠A=
×30°=15°．
故选A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．
3．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图．
【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．
【解答】解：如图，
，
AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，
因为直径对的圆周角是90°，
所以∠AMB=90°，
所以测量∠AMB的度数，结果为90°．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．
（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=
（180°﹣70°）=55°．
故选C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，
∵AD=CD，
∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
6．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分2是腰长与底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长=2+4+4=10，
综上所述，它的周长是10．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判定．
7．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．7或9 D．9或12
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
所以这个三角形的周长是12．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
8．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．9或7
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，
当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（ ）
A．114 B．123 C．132 D．147
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，再利用三角形的内角和进行分析解答即可．
【解答】解：∵BD=CD=CE，
∴∠B=∠DCB，∠E=∠CDE，
∵∠ADC+∠ACD=114°，
∴∠BDC+∠ECD=360°﹣114°=246°，
∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE=360°﹣246°=114°，
∴∠DCB+∠CDE=57°，
∴∠DFC=180°﹣57°=123°，
故选B．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等边对等角和三角形内角和分析解答．
10．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和3，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；
当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．
故选：D．
【点评】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
11．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．13或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
12．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，
∴∠B=∠ADB=80°，
∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，
∵AD=CD，
∴∠C=
=
=40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了腰和底，根据周长的定义即可求解．
【解答】解：8+8+5
=16+5
=21．
故这个三角形的周长为21．
故选：A．
【点评】考查了等腰三角形两腰相等的性质，以及三角形周长的定义．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ABC=∠ACB=
（180°﹣∠A）=
（180°﹣30°）=75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC=BD，
∴∠CBD=180°﹣2∠ACB=180°﹣2×75°=30°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45° C．60° D．70°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠CBD=∠E=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBA=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠CBA=70°，
∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．
16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）
A．36° B．54° C．18° D．64°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠A=36°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°﹣36°=54°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．108°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【解答】解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．
19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（ ）
A．150° B．160° C．130° D．60°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质；多边形内角与外角．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠E，然后判断出△ADE是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°可得∠EAD=60°，再求出∠BAD=60°，然后根据等腰三角形两底角相等和四边形的内角和等于360°计算即可得解．
【解答】解：∵AB∥ED，
∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，
∵AB=AC=AD，
∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，
在四边形ABCD中，∠BCD=
（360°﹣∠BAD）=
（360°﹣60°）=150°．
故选A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及多边形的内角和，熟记各性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题
20．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，
设∠ADC=α，
∴∠B=∠BAD=
，
∵∠BAC=102°，
∴∠DAC=102°﹣
，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴2α+102°﹣
=180°，
解得：α=52°．
故答案为：52．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．
21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 120° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．
【解答】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
22．如图，a∥b，∠ABC=50°，若△ABC是等腰三角形，则∠α= 130 °（填一个即可）
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】首先根据等腰三角形的性质和已知角，求得等腰三角形的另外两角，然后利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=50°，
∴当AB=AC时，∠ACB=∠ABC=50°，
∵a∥b，
∴∠α=130°，
故答案为：130．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是根据等腰三角形求得其他两角，答案不唯一．
23．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 12 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长=5+5+2=12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2=4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
24．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 35 cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为7cm和14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
25．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 110°或70° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°=70°．
故答案为：110°或70°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
26．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n= 9 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故答案为：9．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
27．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE．已知AE=5，tan∠AED=
，则BE+CE= 6或16 ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形．
【专题】压轴题；分类讨论．
【分析】本题有两种情形，需要分类讨论．
首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．
【解答】解：①若∠BAC为锐角，如答图1所示：
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE=BE，ED⊥AB，AD=
AB，
∵AE=5，tan∠AED=
，
∴sin∠AED=
，
∴AD=AE•sin∠AED=3，
∴AB=6，
∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；
②若∠BAC为钝角，如答图2所示：
同理可求得：BE+CE=16．
故答案为：6或16．
【点评】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．
三、解答题
28．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
【解答】证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
【点评】（1）此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（2）此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
29．求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形三线合一性质求得BD=DC，从而求得△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质就可以得出∠B=∠C．
【解答】证明：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．
又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形性质和全等三角形的判定与性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
30．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE=∠BAD．
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．