【323349】2023八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形15.3 等腰三角形专题训练

15.3 等腰三角形

专题一 等腰三角形知识的应用

1 .如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点.

2 .如图,已知△ABC为等边三角形,延长BC到D,延长BA到E,并且使AE=BD,连结CE、DE.求证:EC=ED.

专题二 等腰三角形操作题

3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．

4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。

现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。

（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；

（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？

专题三 等腰三角形探究题

5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:

学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”

同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．

(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？

(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)

6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．

（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．

【知识要点】

1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.

3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【温馨提示】

1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.

2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.

3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.

【方法技巧】

1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.

2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.

4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.

参考答案

1.证明:因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点,

所以∠1＝ ∠ABC. 又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E.

所以∠ACB＝2∠E, 即∠1＝∠E.

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M,

所以M是BE的中点.

2.证法一:延长BD到F,使DF=BC,连结EF,如图2.则BE=AE+AB=BD+DF=BF,故△BEF为等边三角形,从而可证△BCE≌△FDE,所以EC=ED.

证法二:过E作EF∥AC,交BD的延长线于F,如图2,则△BEF为等边三角形,以下同证法一.

证法三:在AE上截取EF=BC,如图3.则AF=CD,故AC∥DF,从而△BDF是等边三角形,DF=BF=AE,可证△ACE≌△FED,所以EC=ED.

证法四:过D作DF∥AC交AE于F点,如图3,以下同证法三.

证法五:作EF∥BC交CA的延长线于F,如图4.则△AEF是等边三角形,从而可证

△CEF≌△EDB,所以EC=ED.

证法六:作DF∥AB交AC的延长线于F,连结EF,如图5.则△CDF是等边三角形,故AF=AC+CF=BC+CD=BD=AE,从而∠AEF=∠AFE=30^O,∠DFE=30^O,即EF是等腰△CFD的顶角平分线,所以EF垂直平分CD,由此得EC=ED.

证法七:作EF⊥BD,垂足为F,如图6.则∠BEF=30^O,BE=2BF,即AB+AE=2BC+2CF,从而有BC+2CF=AE=BD=BC+CD,即CD=2CF,有CF=DF,EF为CD的垂直平分线,所以有CE=ED.

3.以下答案仅供参考

4.方案一：如图1（1）所示。（虚线AM’为等腰三角形ABC底边上的高）

方案二：如图1（2）所示，（虚线为切割线，M、N为AB、AC中点，MP⊥BC）;

（2）若要把该三角形只切割一次后焊接成正方形零件，则该三角形应为等腰直角三角形.

5.(1)该三角形的周长应该为22cm或23cm.∵当腰长为7cm时,周长=7+7+8=22(cm);当腰长为8cm时,周长=8+8+7=23(cm);

(2)考虑问题要全面.(其他符合题意的话都可以)

6.（1）∠BQM = 60°；（2）题的证明思路如下：先证△ACM ≌△BAN，得到∠M =∠N，所以∠BQM =∠N +∠QAN =∠M +∠CAM =∠ACB = 60°．