15.4 角的平分线
专题一 角平分线知识的应用
1
.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．
2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE.
求证：AC－AB＝2BE.
专题二 作图与实际问题
3.如图，点B、C在∠SAT的两边上，且AB=AC.
（1）请按下列语句用尺规画出图形（不写画法，保留作图痕迹）
①AN⊥BC，垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连接CM.
（2）该图中有__________对全等三角形.
4.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）.
专题三 角平分线中的探究题
5.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；
（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。
6.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA于D，交AC于E．
（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．
（2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？
（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？
【知识要点】
1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【温馨提示】
1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.
2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.
【方法技巧】
1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.
参考答案
1.解:∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AB，∴DE=DF．
∵S△ABC=36cm2，S△ABD
=
BC·DF．
又∵S△ABC
=S△ABD+S△BCD，AB=18cm，BC=12cm，∴
×18DE+
×12DF=36，
∴9DE+6DF=36．
又∵DE=DF，∴9DE+6DE=36，∴DE=
cm．
2.证明：延长BE交AC于点M，
∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°.
在△ABE中，∵∠1＋∠3＋∠AEB＝180°，∴∠3＝90°－∠1.
同理，∠4＝90°－∠2.
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM.
∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC－AB＝AC－AM＝CM.
∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5＋∠C.
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3＋∠5＝∠4＋∠5，
∴3∠C＝∠4＋∠5＝2∠5＋∠C.
∴
∠5＝∠C，∴CM＝BM.∴AC－AB＝BM＝2BE.
3.（1）如图;（2）3.
4.如图,坐标为(2,2).
5.（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B＝∠C，从而AB＝AC.
（
2）过点O分别作OF⊥AB，OE⊥AC，F、E分别是垂足，由题意知，OE＝OF.
在Rt△OFB和Rt△OEC中，∵OF＝OE，OB＝OC，∴Rt△OFB≌Rt△OEC.
∴∠OBF＝∠OCE，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC.
（3）不一定成立。
（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）.
6.（1）①BD=DI，CE=EI；②DE=BD+CE；③△ADE的周长=AB+AC．
证明：因BI平分∠DBC， ∴∠DBI=∠CBI，
又 ∵DE∥BC， ∴∠CBI=∠DIB， ∴∠DIB=∠DBI，故BD=DI，
同理CE=EI，即①得证．由①不难推出②、③．
（2）由（1）知△ADE周长=AB+AC=7+5=12．
（3）OF=FB；OG=GC；BF+CG=FG．