【323350】2023八年级数学上册 第15章 轴对称图形与等腰三角形15.4 角的平分线专题训练
15.4 角的平分线
专题一 角平分线知识的应用
1
.如图,BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,S△ABC=36cm2,AB=18cm,BC=12cm,求DE的长.
2.已知:如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.
求证:AC-AB=2BE.
专题二 作图与实际问题
3.如图,点B、C在∠SAT的两边上,且AB=AC.
(1)请按下列语句用尺规画出图形(不写画法,保留作图痕迹)
①AN⊥BC,垂足为N;
②∠SBC的平分线交AN延长线于M;
③连接CM.
(2)该图中有__________对全等三角形.
4.夏令营组织学员到某一景区游玩,老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图,指出:今天我们游玩的景点E是新开发的,地图上还没来得及标注,但已知这个景点E满足:①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离;②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中,画出景点E的位置,并标明坐标(用整数表示).
专题三 角平分线中的探究题
5.已知:点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在BC上,求证:AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC;
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画图表示。
6.如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点I,过I作DE∥BC交BA于D,交AC于E.
(1)你能发现哪些结论?把它们一一列出来,并选择一个加以证明.
(2)若AB=7,AC=5,你能求△ADE的周长吗?
(3)作∠ABC与∠ACB的外角平分线,他们相交于点O,过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G,你还能发现什么结论?
【知识要点】
1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.
2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【温馨提示】
1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.
2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.
【方法技巧】
1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.
2.遇到证明有关角平分线的问题时,可作角的两边的垂线,证明垂线段相等.
参考答案
1.解:∵BD是∠ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AB,∴DE=DF.
∵S△ABC=36cm2,S△ABD
=
BC·DF.
又∵S△ABC
=S△ABD+S△BCD,AB=18cm,BC=12cm,∴
×18DE+
×12DF=36,
∴9DE+6DF=36.
又∵DE=DF,∴9DE+6DE=36,∴DE=
cm.
2.证明:延长BE交AC于点M,
∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠AEM=90°.
在△ABE中,∵∠1+∠3+∠AEB=180°,∴∠3=90°-∠1.
同理,∠4=90°-∠2.
∵∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴AB=AM.
∵BE⊥AE,∴BM=2BE,∴AC-AB=AC-AM=CM.
∵∠4是△BCM的外角,∴∠4=∠5+∠C.
∵∠ABC=3∠C,∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5,
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C.
∴
∠5=∠C,∴CM=BM.∴AC-AB=BM=2BE.
3.(1)如图;(2)3.
4.如图,坐标为(2,2).
5.(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,由题意知,OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC,∴∠B=∠C,从而AB=AC.
(
2)过点O分别作OF⊥AB,OE⊥AC,F、E分别是垂足,由题意知,OE=OF.
在Rt△OFB和Rt△OEC中,∵OF=OE,OB=OC,∴Rt△OFB≌Rt△OEC.
∴∠OBF=∠OCE,又由OB=OC知∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACD,∴AB=AC.
(3)不一定成立。
(注:当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;否则,AB≠AC,如示例图).
6.(1)①BD=DI,CE=EI;②DE=BD+CE;③△ADE的周长=AB+AC.
证明:因BI平分∠DBC, ∴∠DBI=∠CBI,
又 ∵DE∥BC, ∴∠CBI=∠DIB, ∴∠DIB=∠DBI,故BD=DI,
同理CE=EI,即①得证.由①不难推出②、③.
(2)由(1)知△ADE周长=AB+AC=7+5=12.
(3)OF=FB;OG=GC;BF+CG=FG.
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