15.2 线段的垂直平分线

专题一 线段垂直平分线知识的应用

1.如图，△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF，

求 证：BE+CF＞EF．

2 .△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF的中垂线，求证BF=2AD.

3.已知，如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=DF．求证：AD垂直平分EF．

合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：

学生甲：因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD垂直平分EF．

学生乙：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的对应边相等），所以A点在线段EF的垂直平分线上，又因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上，所以AD垂直平分EF．

分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．

专题二 作图与实际问题

4 .如图，A、B、C三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出变电站的位置（用P点表示），并说明你的理由.

5.A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（ 2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．

（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在公路AB上分别画出P，Q的位置（保留作图痕迹）．

（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段上距离M，N两村都越来越近？在哪一段上距村庄N越来越近，而离村庄M越来越远（分别用文字表述你的结果，不必证明）？

（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．

【知识要点】

1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

2.线段的垂直平分线上的点与线段两端点距离相等,与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

3.线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的所有点的集合.

【温馨提示】

1.某条线段的垂直平分线是直线,不是线段或射线.

2.注意区分线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.

【方法技巧】

1.在证明某条直线是一条线段的垂直平分线时,可证明该直线垂直且平分这条线段,即根据定义证明,也可以证明直线上有不同的两点到这条线段的两个端点距离相等.

2.解与线段的垂直平分线有关的问题时,常先利用线段垂直平分线的性质将条件转化,再结合其他知识解决问题.

参考答案

1.证明:延长ED至M点,使DM=ED，连接MC，MF，则F在线段EM的垂直平分线上,

∴EF=FM，又∵BD=CD,DE=DM,∠BDE=∠CDM,

∴△BDE≌△CDM（SAS），∴BE=CM，在△CFM中,

∵CF+CM>MF，∴BE+CF>EF.

2.证明:连DE，DF，作DG⊥BC于G.∵DC为EF的中垂线,

∴DE=DF,CE=CF.DC⊥EF,∴∠1=∠2.

又∵∠A=90°,∴DA⊥AC，DG⊥BC,∴DA=DG.

又∵DE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△GDF（HL）,∴GF=AE.

又∵AE=AD,∴AD=DG=GF.∠A=90°,AB=AC,∴∠B=45°.

在△BDG中∠B=45°, ∵∠DGB=90°,∴∠BDG=45°.

∴DG=BG,∴DG=BG=GF,∴DG= BF,AD= BF,即BF=2AD.

3.学生乙的证明过程正确；学生甲的证明有错误．学生甲在解题过程中，过点D的直线有无数条，它们不都是EF的垂直平分线，所以在上述解题过程中，仅仅由D在EF的垂直平分线上就推得AD垂直平分EF是不正确的．产生错误的原因是对垂直平分线的判定定理理解不透，而实际上要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线解决问题．

4 .解:连接AB、AC,作AB和AC的垂直平分线,交点即为P点.

理由:连结PA、PB、PC,

∵P点是边AB、AC的垂直平分线,

∴PA=PB,PB=PC,∴PA=PB=PC.

5.（1）存在满足条件的点C,如图所示．

（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，－2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，

把 （2，－2）和（7，3）代入得： ，

解得： ，∴y=x－4，当y=0时，x=4，

所以交点P的坐标为（4，0）．

6.（1）作法：过点M作AB的垂线，垂足为点P，点P即为所求；过点N作AB的垂线，垂足为点Q，点Q即为所求，如图．

（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄都越来越近，在PQ上行驶时，离M越来越远，离N越来越近．

（3）如图，连结MN，作MN的垂直平分线交AB于点H，点H离村庄M，N的距离相等．