第14章 勾股定理

1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为(　　)

A．4 B．8 C．10 D．12

2．已知△ABC的三边长为a，b，c，且满足(a－2)²＋|b－2|＋|c－2|＝0，则此三角形一定是(　　)

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．一般三角形

3．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　)

A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m

4．如图，为修铁路需凿隧道AC，测得∠A＋∠B＝90°，AB＝130 m，BC＝120 m，若每天凿隧道5 m，则把隧道凿通需要(　　)

A．10天 B．9天 C．8天 D．11天

5．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)

A．5 B. C. D．5或

6．如图①，分别以Rt△ABC三边为直径向形外作三个半圆，其面积分别为S₁，S₂，S₃；图②，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个正方形，其面积分别为S₁，S₂，S₃；图③，分别以Rt△ABC三边为边向形外作三个等边三角形，其面积分别为S₁，S₂，S₃.其中满足S₁＝S₂＋S₃的有(　　)

A．① B．② C．①② D．①②③

7．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为(　　)

A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m

8．下列几组数：①7，24，25；②8，15，17；③9，40，41；④n²－1，2n，n²＋1(n是大于1的正整数)．其中是勾股数的有(　　)

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

9．如图是一块长，宽，高分别是6 cm，4 cm和3 cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是(　　)

A．(3＋2) cm B. cm C. cm D. cm

10．以下列各组数为三角形的边长：①6²，8²，10²；②，，；③1，，；④8，15，17；⑤300，400，500.其中能构成直角三角形的有________．(填序号)

11．在△ABC中，a²＋b²＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是________．

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm.现将△ABC进行折叠，使顶点A，B重合，则折痕DE＝________cm.

13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点P从C点出发，以每秒2 cm的速度沿CA，AB方向运动到B点，则从C点出发，经过________秒时，可使S_△BCP＝S_△ABC.

14．观察下列各式：3²＋4²＝5²，8²＋6²＝10²，15²＋8²＝17²，24²＋10²＝26²……，根据其中规律，写出下一个式子为______________．

15．如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯的价格为50元，你能算出铺设地毯至少需要花费多少钱吗？

16．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.

(1)试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；

(2)若AE＝4，FC＝3，求线段EF的长．

17．如图，笔直的公路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？

18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.

(1)线段BH与AC相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由；

(2)求证：BG²－GE²＝EA².

答案

1. C

2. C

3. C

4. A

5. D

6. D

7. B

8. D

9. C

10. ③④⑤

11. 2.4

12.

13. 2或6.5

14. 35²＋12²＝37²

15. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB²＝AC²－BC²＝10²－6²＝64，∴AB＝8米，根据楼梯表面的形状可知：铺设的地毯在楼梯的所有水平面上的长度之和等于AB，竖直面上的长度之和等于BC，故地毯的总长度为6＋8＝14(米)，所以铺设地毯的总面积为14×2.5＝35(平方米)，铺设地毯至少需要花费35×50＝1750(元)　

16. (1)DE＝DF，理由如下：如图，连结BD.

∵等腰直角△ABC中，D为AC边上中点，

∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，∴∠C＝45°，

∴∠ABD＝∠C.∵DE丄DF，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF，∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB[JP2]与△FDC中，

∵，∴△EDB≌△FDC(A.S.A.)，∴DE＝DF　

∵△EDB≌△FDC，∴BE＝FC＝3，∴AB＝AE＋BE＝4＋3＝7，则BC＝AB＝[JP]7，∴BF＝BC－CF＝7－3＝4.在Rt△EBF中，∵∠EBF＝90°，∴EF²＝BE²＋BF²＝3²＋4²，∴EF＝5.故线段EF的长为5　

17. ∵使得C，D两村到E站的距离相等，

∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，

∴∠A＝∠B＝90°，∴AE²＋AD²＝DE²，

BE²＋BC²＝EC²，∴AE²＋AD²＝BE²＋BC²，设AE＝x，则BE＝AB－AE＝(25－x)，∵DA＝15 km，CB＝10 km，∴x²＋15²＝(25－x)²＋10²，解得x＝10，∴AE＝10 km，

∴收购站E应建在离A点10 km处

18. (1)BH＝AC，证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA，在△DBH和△DCA中，∵∠DBH＝∠DCA，∠BDH＝∠CDA，BD＝CD，∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC　

(2)连接CG，∵F为BC的中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG，∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，在△ABE和△CBE中，∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠CBE＝∠ABE，∴△ABE≌△CBE，∴EC＝EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²－GE²＝EC²，即BG²－GE²＝EA²