14.2 三角形全等的判定

专题一 利用全等进行测量

1 . 1805年，法国拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，法军很难瞄准敌军，聪明的拿破仑站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营Ｑ处，然后后退到B点，这时他的视点恰好能落在O处，于是他命令部下测量他脚站的B处与O点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，法军能命中吗？说明理由．

2.某同学根据数学知识原理制作了如图所示的一个测量工具----拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA=BD,现要测量一透明隔离房间的深度,如何使用此测量工具,说明理由.

专题二 全等三角形中的探究题

3 .如图所示,在△ABC中, ∠C＝90,AC=10㎝,BC=5㎝,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线上运动.问P点运动到AC上什么位置时, △ABC才能和△APQ全等?

4.如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE.

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．

5.能够互相重合的多边形叫做全等形，即如果两个多边形对应角相等，对应边相等，那么两个多边形一定全等。但判定两个三角形全等只需三组对应量相等即可，如SAS，SSS等，但如果要判定两个四边形全等仅有四组量对应相等是不够的，必须具备至少五组量对应相等.

（1）请写出两个四边形全等的一种判定方法（五组量对应相等）;

（2）如图，简要说明你的判定方法是正确的;

（3）举例说明仅有四边对应相等的两个四边形不一定全等（画出图形并简要说明理由）.

【知识要点】

1.判断两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形除了上述判断方法外,还可以利用“HL”判断.

2.在已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边的情况下,可以利用尺轨作图作出符合条件的三角形.

3.三角形具有稳定性,即三角形三边确定的情况下,其形状和大小就固定了.

【温馨提示】

1.在书写两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.

2.判断两个直角三角形全等共有五种判定方法,除“HL”外,还可以利用一般三角形全等的方法进行判断.

3.注意全等三角形性质和判定的综合运用.

【方法技巧】

1.证明三角形全等的一般思路是:

(1)如果有两条对应边相等,还应寻找它们的夹角或第三边对应相等;

(2)如果有一个角和一条边对应相等,还应寻找另一个角相等;

(3)如果有两个角对应相等,还应寻找一条边对应相等.

2.证明线段或角相等时,常常先证明线段或角所在的三角形全等.当图形中找不到这些线段或角所在的全等三角形时,应考虑添加适当的辅助线.

参考答案

1 .能.因为AO∥PQ，所以∠AOB=∠Q．因为AB=OP，∠ABO=∠POQ，所以△ABO≌△POQ，所以BO = OQ，即距离敌营距离等于BO，所以法军能命中．

2.解:如图,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F、O、E三点正好在一条直线上,记下F点,这时量出DF长,即为房间深度CE.理由如下:由∠A=∠B=90°,OA=OB,

∠EOA=∠FOB,所以△EAO≌△FBO,得BF=AE,则BF-BD=AE-AC,即DF=CE.

3.解:要使△ABC和△APQ全等,由于∠PAQ=∠C＝90,PQ=AB,则只需AP=BC或AP=AC,由HL即知它们全等,从而得P点在A点或AC的中点处时△APQ和△ABC全等.

4.解:（1）AC⊥CE，可确定△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，因为∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，所以∠ACE＝180°－90°＝90°，所以AC⊥CE．图(2)(3)(4)(5)四种情况，结论仍然成立，理由同上．

5.解:（1）∠D＝∠D′,AD=A′D′,DC=D′C′,BC=B′C′,AB=A′B′,（2）连接AC, 在△ADC和△A′D′C′中,因为AD=A′D′,∠D＝∠D′,DC=D′C′,所以△ADC≌△A′D′C′,则AC=A′C′,从而得△ACB≌△A′C′B′,从而得到四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的对应角,对应边均相等,即有四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′;（3）举一个凸四边形和凹四边形.