第14章 勾股定理

　

一、选择题（共13小题）

1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A．48 B．60 C．76 D．80

2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　）

A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理

3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）

A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5

5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（　　）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， ，

6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）

A．5 B． C． D．5或

7．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m） （　　）

A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m

9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则 等于（　　）

A． B． C． D．

10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．

11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（　　）

A．只有1个 B．可以有2个

C．有2个以上，但有限 D．有无数个

12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（　　）

A．1 B．1或 C．1或 D． 或

13．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）

A． B． C．2 D．

　

二、填空题（共15小题）

14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为　　．

15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9 ，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD= ，则BD的长为　　．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃．若正方形EFGH的边长为2，则S₁+S₂+S₃=　　．

17．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　　．

18．如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=　　．

19．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　　．

20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为　　．

21．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为　　cm．

22．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为　　．

第14章 勾股定理

参考答案与试题解析

　

一、选择题（共13小题）

1．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

A．48 B．60 C．76 D．80

【考点】勾股定理；正方形的性质．

【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S_阴影部分=S_正方形ABCD﹣S_△ABE求面积．

【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

∴在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=100，

∴S_阴影部分=S_正方形ABCD﹣S_△ABE，

=AB²﹣ ×AE×BE

=100﹣ ×6×8

=76．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．

　

2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（　　）

A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理

【考点】勾股定理的证明．

【专题】几何图形问题．

【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．

【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明．

　

3．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为何？（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13

【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长．

【解答】解：∵BE⊥AC，

∴△AEB是直角三角形，

∵D为AB中点，DE=10，

∴AB=20，

∵AE=16，

∴BE= =12，

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．

　

4．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）

A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、∵1²+2²=5≠3²，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

B、∵2²+3²=13≠4²，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

C、∵2²+4²=20≠5²，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；

D、∵3²+4²=25=5²，∴能构成直角三角形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

　

5．下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（　　）

A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1， ，

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．

【解答】解：A、1²+2²≠3²，不能组成直角三角形，故错误；

B、2²+3²≠4²，不能组成直角三角形，故错误；

C、4²+5²≠6²，不能组成直角三角形，故错误；

D、1²+（ ）²=（ ）²，能够组成直角三角形，故正确．

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

　

6．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（　　）

A．5 B． C． D．5或

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．

【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，

（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为 ，

故选：D．

【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．

　

7．（2013•德宏州）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是（　　）

A．1.5 B．2 C．2.5 D．3

【考点】勾股定理．

【专题】压轴题．

【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．

【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，

∴a+b+2.5=6，

∴a+b=3.5，①

∵a、b是直角三角形的两条直角边，

∴a²+b²=2.5²，②

由①②可得ab=3，

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．

　

8．如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是（结果精确到0.1m） （　　）

A．34.64m B．34.6m C．28.3m D．17.3m

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．

【分析】首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可．

【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC，

∵AC=20m，

∴AB=40m，

∴BC= = = =20 ≈34.6（m），

故选：B．

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

　

9．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则 等于（　　）

A． B． C． D．

【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．

【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．

【解答】解：∵四边形MBND是菱形，

∴MD=MB．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．

在Rt△ABM中，AB²+AM²=BM²，即x²+y²=（2x﹣y）²，

解得x= y，

∴MD=MB=2x﹣y= y，

∴ = = ．

故选：C．

【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．

　

10．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（　　）

A．2 B．4 C． D．

【考点】勾股定理．

【分析】连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．

【解答】解：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F= ×（6﹣2）•180°=120°，

∵AF=EF，

∴∠AEF=∠EAF= （180°﹣120°）=30°，

∴∠AEP=120°﹣30°=90°，

AE=2×2cos30°=2×2× =2 ，

∵点P是ED的中点，

∴EP= ×2=1，

在Rt△AEP中，AP= = = ．

故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

　

11．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（　　）

A．只有1个 B．可以有2个

C．有2个以上，但有限 D．有无数个

【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质．

【专题】分类讨论．

【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．

【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10；另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为 ．

所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，

第一种是 ，解得x=5；

第二种是 ，解得x= ．所以可以有2个．

故选：B．

【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识．本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题．

　

12．在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1．过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB．则点P到BC所在直线的距离是（　　）

A．1 B．1或 C．1或 D． 或

【考点】勾股定理；平行线之间的距离；等腰直角三角形．

【专题】压轴题．

【分析】如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC；等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB= ，又AB=AP；所以，在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离．

【解答】解：①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，

∵CP∥AB，

∴∠PCD=∠CBA=45°，

∴四边形CDPE是正方形，

则CD=DP=PE=EC，

∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP，

∴AB= = ，

∴AP= ；

∴在直角△AEP中，（1+EC）²+EP²=AP²

∴（1+DP）²+DP²=（ ）²，

解得，DP= ；

②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E，

同理可证，四边形CDPE是正方形，

∴CD=DP=PE=EC，

同理可得，在直角△AEP中，（EC﹣1）²+EP²=AP²，

∴（PD﹣1）²+PD²=（ ）²，

解得，PD= ；

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答；考查了学生的空间想象能力．

　

13．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）

A． B． C．2 D．

【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可．

【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F．设AB=AD=x．

又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形，

∴AD=EF=x．

在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，

∴BE= AB= x，

∴DF=AE= = x，

在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°= x．

又∵BC=6，

∴BE+EF+CF=6，即 x+x+ x=6，

解得 x=2

∴△ACD的面积是： AD•DF= x× x= ×2²= ，

故选：A．

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形．解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度．

　

二、填空题（共15小题）

14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为　（4，0）　．

【考点】勾股定理；坐标与图形性质．

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．

【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0）、（0，8），

∴AO=6，BO=8，

∴AB= =10，

∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，

∴AB=AC=10，

∴OC=AC﹣AO=4，

∵交x正半轴于点C，

∴点C的坐标为（4，0），

故答案为：（4，0）．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长．

　

15．在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9 ，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD= ，则BD的长为　6　．

【考点】勾股定理；等腰直角三角形；锐角三角函数的定义．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解．

【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9 ，

∴CA²+CB²=AB²，

∴CA=CB=9，

∵在Rt△ACD中，tan∠CAD= ，

∴CD=3，

∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6．

故答案为：6．

【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大．

　

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S₁、S₂、S₃．若正方形EFGH的边长为2，则S₁+S₂+S₃=　12　．

【考点】勾股定理的证明．

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S₁=（CG+DG）²，S₂=GF²，S₃=（KF﹣NF）²，S₁+S₂+S₃=12得出3GF²=12．

【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，

∴CG=KG，CF=DG=KF，

∴S₁=（CG+DG）²

=CG²+DG²+2CG•DG

=GF²+2CG•DG，

S₂=GF²，

S₃=（KF﹣NF）²=KF²+NF²﹣2KF•NF，

∴S₁+S₂+S₃=GF²+2CG•DG+GF²+KF²+NF²﹣2KF•NF=3GF²=12，

故答案是：12．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S₁+S₂+S₃=3GF²=12是解题的难点．

　

17．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB=10，EF=2，那么AH等于　6　．

【考点】勾股定理的证明．

【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．

【解答】解：∵AB=10，EF=2，

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4× ab=96，

∴2ab=96，a²+b²=100，

∴（a+b）²=a²+b²+2ab=100+96=196，

∴a+b=14，

∵a﹣b=2，

解得：a=8，b=6，

∴AE=8，DE=6，

∴AH=8﹣2=6．

故答案为：6．

【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．

　

18．如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=　3　．

【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长．

【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，

∴AD=BE=4，

∵AB=5，

∴AE= =3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单．

　

19．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是　10　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S₁，C、D的面积和为S₂，S₁+S₂=S₃，于是S₃=S₁+S₂，

即S₃=2+5+1+2=10．

故答案是：10．

【点评】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．

　

20．在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为　2 　．

【考点】勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】根据勾股定理列式计算即可得解．

【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5，

∴AC= = =2 ．

故答案为：2 ．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观．

　

21．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为　4　cm．

【考点】勾股定理；矩形的性质．

【分析】设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE= BC= ，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，即求出了AB的长．

【解答】解：设AB=x，则可得BC=10﹣x，

∵E是BC的中点，

∴BE= BC= ，

在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即x²+（ ）²=5²，

解得：x=4．

即AB的长为4cm．

故答案为：4．

【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程．

　

22．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为　 　．

【考点】勾股定理的证明．

【专题】计算题．

【分析】根据勾股定理可以求得a²+b²等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）²=a²+2ab+b²即可求得（a+b）的值；则易求b：a．

【解答】解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，

∴设大正方形的面积是13，边长为c，

∴c²=13，

∴a²+b²=c²=13，

∵直角三角形的面积是 =3，

又∵直角三角形的面积是 ab=3，

∴ab=6，

∴（a+b）²=a²+b²+2ab=c²+2ab=13+2×6=13+12=25，

∴a+b=5．

∵小正方形的面积为（b﹣a）²=1，

∴b=3，a=2，

∴ = ．

故答案是： ．

【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．