【323335】2023八年级数学上册第14章勾股定理勾股定理的应用课时练习（新版）华东师大版

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【323335】2023八年级数学上册第14章勾股定理勾股定理的应用课时练习（新版）华东师大版

时间：2025-01-15 20:33:42 作者：字数：23983字

1. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）

A．a:b:c=8∶16∶17 B． a²-b²=c² C．a²=(b+c)(b-c) D． a=26 b=10 c=24

知识点：勾股定理的逆定理

知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。

满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。

答案:A

详细解答: A．a:b:c=8∶16∶17，可设a＝8k，b＝16k，c＝17k，

a²＋b²＝64k²＋256k²＝320k²，c²＝(17k)²＝289k²，

所以，a²＋b²≠c²，这个三角形不是直角三角形．

B． a²-b²=c² 即a² =c²+b²，这个三角形是直角三角形．

C．a²=(b+c)(b-c) 即a² =b²-c²，所以a² +c²= b²，这个三角形是直角三角形．

D． a=26，b=10，c=24，那么c²+b²=10²+24²=676，a² =26²=676，所以a²=c²+b²，这个三角形是直角三角形．

1．有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是（　　）．

（A）13、12、12 （B）12、12、8 （C）13、10、12 （D）5、8、4

答案:C

详细解答:如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13，中线AD=12，

由于CB=10，那么CD=5，△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。

其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。

2 、△ABC中，AB=AC=10，BC边上的高AD=6，则BC的长为（）

A、8 B、10

C、12 D、16

知识点：勾股定理在数学上的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。

答案:D

详细解答: 在Rt△ACD中，AD=6，AC=10，那么CD²=AC²-AD²=64，CD=8.

△ABC中，AB=AC，那么BC边上的高AD平分BC，所以BC=2CD=16

2、已知平面直角坐标系中有A（1，1）和B（4，4）两点，则连结两点的线段AB的长是（）

A、3 B、 C、4 D、5

答案: B（3 也可）

详细解答:画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，

由 A（1，1）和B（4，4）两点的坐标可以知道

AC=3, BC=3 ,所以AB²=AC²+BC²=9+9=18

因此AB=

3、王英同学从C地沿北偏东60⁰方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为（）

A、10米 B、12米 C、15米 D、米

知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。

答案:D（10 也可）

详细解答:根据题意画出如图所示的示意图，

由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=30⁰,

在Rt△BCE中，CB=10米, ∠BCE=30⁰, 那么BE=5米，

因为BC²=BE²+CE²，所以CE²=75。

在Rt△DCE中，DE=BD-BE=15米，CD²=DE²+CE²=75+225=300，

所以CD= 米.

3 组合 78 .如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm，高为32cm，则桶内能容下的最长的木棒为( )

A. 20cm B. 50cm

C. 40cm D. 45cm

答案:C

详细解答:画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，

由题意知在Rt△ABC中，AC=24 cm，BC=32 cm，那么AB²=AC²+BC²=24²+32²=1600，

所以AB=40 cm

4．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．

A． B．3 C． D．

知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。

知识点的描述: 含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1：：2，应用它来解决问题方便快捷。

答案:D

详细解答:如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°，斜边长AB为1，

那么BC= ,根据勾股定理求出AC= ,

所以周长1+ + =

4 ．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD⊥AB于D，AC边的垂直平分线交AB于E，那么AE∶ED等于( )

A．1∶1 B．1∶2

C． ∶2 D．2∶

答案:D

详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E，∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°，∴∠CED=30°,

∵ CD⊥AB于D，∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶

5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c。

试判断△ABC的形状( )。

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。

答案:A

详细解答: ∵ a²+b²+c²+338=10a+24b+26c , ∴a²-10a+25+b²-24b+144+c²-26c+169=0

∴(a-5)²+（b-12）²+（c-13）²=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数，

利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。

5、△ABC的三边a,b,c满足则△ABC是（　）

等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形

答案:A

详细解答: ∵

∴

∴△ABC是等边三角形

6. 一个三角形的三边的比为5:12:13，它的周长为60cm，则它的面积是（　　）

Ａ.100 B.110 C.120 D. 150

知识点:对比值处理的一般方法。

知识点的描述:当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。

答案:C

详细解答: ∵ △ABC三条边的比为a:b:c＝5:12:13，则可设a＝5k，b＝12k，c＝13k，

∵它的周长为60cm，∴5k +12k +13k =60，k=2，

∴△ABC的三边分别为a＝10 cm，b＝24 cm，c＝26 cm，

∴a²＋b²＝10²＋24²＝676，c²＝26²＝676，

∴a²＋b²＝c²，△ABC是直角三角形．

∴它的面积是 ×10×24=120 （cm²）

6.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（）

A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10

答案:D

详细解答: 斜边与一条直角边之比为13∶5，不妨设a＝5k，c＝13k，那么b＝12k，又周长为60，∴5k +12k +13k =60，解得k=2，

∴△ABC的三边分别为a＝10 ，b＝24 ，c＝26 。

7．在△ABC中，∠A＝30°，AC＝，BC＝2，则S_△_ABC等于 ( )

A． B． C．或 D．或

知识点:多解问题

知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。

答案:C

详细解答:本题没给出图形，作△ABC的AB边的高CD，分两种情况讨论：

（1）若高CD在△ABC的内部，如图

在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD= ，利用勾股定理得AD=3

在Rt△BDC中，BC＝2， CD= ，那么利用勾股定理得BD=1

∴S_△_ABC= AB×CD= （3+1）× =

（2）若高CD在△ABC的外部，如图

在Rt△ADC中，∠A＝30°，AC＝，那么CD= ，利用勾股定理得AD=3

在Rt△BDC中，BC＝2， CD= ，那么利用勾股定理得BD=1

则S_△_ABC= AB×CD= （3-1）× =

∴S_△_ABC= 或

7．若等腰三角形的腰长为4，腰上的高为2，则此三角形的顶角为 ( )

A．30° B．150° B．30°或150° D．60°或120°

答案:B

详细解答:本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD，分两种情况讨论：

（ 1）若高BD在△ABC的内部，如图

在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，

∴ = ，∴∠A＝30°

（ 2）若高CD在△ABC的外部，如图

在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝2，∴ = ，

∴∠DAB＝30°∴∠BAC＝150°

∴三角形的顶角为 30°或150°

8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A. 24cm² B. 36cm² C. 48cm² D. 60cm²

知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。

答案:A

详细解答: Rt△ABC中，∠C=90°，那么a²+b²=c²，又c=10cm，所以a²+b²=100

由已知a+b=14cm，得（a+b）²=196，即a²+b²+2ab=196，所以2ab=196-100=96，ab=48

则Rt△ABC的面积是 ab= ×48=24（cm²）

8．直角三角形中一直角边的长为11，另两边为自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121 B．132 C．100 D．不能确定

答案:B

详细解答:假设另一直角边为a，斜边为c，根据勾股定理得：c²=a²+11² ，即（c+a）（c-a）=11×11=121×1

因为 c+a＞c-a ，所以c+a=121，c-a=1解方程组得c=61，a=60，则直角三角形的周长为132。

9．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域． A市是否会受到台风的影响？如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？（）

Ａ . 8小时 B. 10小时

C. 12小时 D. A市不会受到台风影响

知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。

答案:C

详细解答:过A作AC⊥BF于C，则AC= AB=240<300，

∴A市会受到台风影响．

过A作AD=300km，交BF于点D．

∴DC= =180（km），

∴该市受台风影响的时间为： =12小时．

9 组合 48 ．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

Ａ.15 km B.16 km

C.17 km D.18 km

答案:C

详组合 31 细解答: 如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线.

在Rt△A′DB中，A′D= AA′+AD=8+7=15（km），DB=8（km），

由勾股定理求得A′B= =17（km）

10．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？（）

Ａ .D点在距A点60米的地方，最低造价为480元

B. D点在距A点50米的地方，最低造价为300元

C. D点在距A点64米的地方，最低造价为480元

D. D点在距A点64米的地方，最低造价为400元

知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案:C

详细解答: ∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，

那么根据勾股定理得AB=100米

当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价，

作AB边的高CD

∵CD·AB=AC·BC ∴CD= = =48（米）

∴AD= =64（米）

∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（　　）

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

组合 20

答案:C

详细解答:作BC边上的高AD，∵∠ABC=150° ∴∠ABD=30°，在Rt△ABD中，AB=20m，

∴A D=10 m，

∴三角形空地的面积为 BC·AD= ×30m×10m

=150m²

∵ 这种草皮每平方米元，则购买这种草皮至少需要元

11．如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，AD＝CD＝，则四边形ABCD的面积为 ( )

A ．47 B．49

C．53 D．60

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。

答案: B

详细解答：连结AC，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°

∴ AC=

在△ADC中，AD＝CD＝

∴AD²+DC²=（）²+（）²=100

又∵AC²=10²=100

∴AD²+DC²=AC²

所以∠ADC=90°

∴S_四边形ABCD=S_△ABC+S_△ACD= AB·BC+ AD·DC= ×8×6+ · · =24+25=49

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。

1 1．在△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高，DC=2，则BD等于（）

A、4 B、6 C、8 D、

答案:B

详细解答: ∵ AC=10，DC=2 ， ∴AD=8

在Rt△ABD中，AB=10，AD=8， ∴BD=6

12．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．

A ． B．

C．1 D．

知识点:方程的思想

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。

答案:B

详细解答: ∵ AD=2BD， ∴可设BD=k，AD=2k

Rt△ADC中，∠ADC=90°，那么AC²-AD²=DC²；

Rt△BDC中，∠BDC=90°，那么BC²-BD²=DC²，

∴AC²-AD²= BC²-BD²，得方程5²-（2k）²= 4²-k²

解得k= ，所以BD的长为。

12．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（　　）

A.56 B.48 C.40 D.32

答案:B

详细解答:如图，假设BD=DC=x，那么AB=AC=16-x，

在Rt△ADC中， AD²+DC²=AC²

∵ AD＝8，CD＝x，AC=16-x

∴8²+x²=（16-x）²

解得x=6

三角形的面积为 AD·BC= ×8×12=48

1 3．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )

A.20cm; B.10cm;

C.14cm; D.无法确定.

知识点：勾股定理在实际问题中的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。

答案:B

详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图，

蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB，

由题意知在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝ ×2 ×2=6，∠C＝90°

∴AB= （cm）

13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00时甲、乙二人还能保持联系吗？（）

Ａ.能 B.不能

答案:A

分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离．

详组合 4 细解答:如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，

走了12千米，即OA=12（千米）．

乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，

走了5千米，即OB=5（千米）．

在Rt△OAB中，AB²=12²十5²＝169，∴AB=13（千米），

因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．

∵15＞13，

∴甲、乙两人还能保持联系．

组合 1 14、如图，∠AOB=45⁰，点P在∠AOB的内部， OP=2，P₁与P关于OA对称，P₂与P关于OB对称，则P₁P₂的长（）。

A、 B、3 C、 D、2

知识点：勾股定理在数学上的应用

知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。

答案:C（也可）

详细解答: ∵P₁与P关于OA对称， ∴OP₁=OP=2 ，∠AOP=∠AOP₁

∵P₂与P关于OB对称，∴OP₂=OP=2 ，∠BOP=∠BOP₂

∵∠AOB=45⁰，即∠AOP+∠BOP=45⁰，

∴∠P₁OP₂=2（∠AOP+∠BOP ）=2×45⁰=90⁰，

∴在Rt△P₁OP₂中， P₁P₂²= OP₁²+ OP₂²=8

∴P₁P₂=

14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（）。

（A）100π-24 （B）25π-24

（C）100π-48 （D）25π-48

答案:B

详细解答: ∠B为直角，AB=6，BC=8，那么AC=10

则阴影面积为π×5²- ×6×8=25π-24

15．在直角三角形中，自两锐角所引的两条中线长分别为5和2 ，则斜边长为（）

A．10 B．4 C． D．2

知识点:代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。

答案:D（也可以）

详细解答:如图所示，不妨设中线AD=2 ，中线BE=5

假设AC=b，BC=a

在 Rt△ADC中，AC²+DC²=AD²，即b²+（ a）²=（2 ）²，

化简为4b²+a²=160，

在Rt△BEC中，BC²+EC²=BE²，即a²+（ b）²=5²，

化简为4a²+b²=100，

两式相加得4b²+a²+4a²+b²=160+100，即5（a²+ b²）=260，

所以a²+b²=52，根据勾股定理得AB= =2

15、CD是直角△ABC斜边AB上的高，若AB=1，AC：BC=4：1，则CD的长为（）。

A 、 B、 C、 D、

答案:A

详细解答:假设CB=k，那么AC=4k，直角△ABC中求得AB= k，

又已知AB=1，所以k= ，BC= ，AC=

AB·CD=AC·BC得CD=

1 6、如图，△ABC中，∠C=90⁰，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，则BD的长为（）

A、 B、3

C、 D、

知识点:方程的思想和折叠问题

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。

答案:A

详细解答:连结AD， △ABC中，∠C=90⁰，AC=3，BC=4，那么AB=5

∵AB的垂直平分线交AB于E，∴AD=BD

假设BD为x，那么AD=x，DC=4-x，

△ADC中，∠C=90⁰，AC=3，DC=4-x，AD=x，∴3²+（4-x）²=x²，解得x=

16．已知，如图长方形ABCD中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

组合 122 A. B.

C. D.

答案:A

详细解答:假设AE=x，那么EB=ED=9-x

在Rt△ABE中，3²+x²=（9-x）²，解得x=4

△ABE的面积为 ×3×4=6（cm²）

17．如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.（）

Ａ. cm B. cm C.53 cm D.42 cm

知识点:方程的思想

知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。

答组合 115 案:B

详细解答:由BD²+DC²=12²+16²=20²=BC²得CD⊥AB

又AC=AB=BD+AD=12+AD，

在Rt△ADC中，AC²=AD²+DC²，

即(12+AD)²=AD²+16²，解得AD= ，

故 △ABC的周长为2AB+BC= cm

17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？（）