1. 在△ABC中，∠B=90°，∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c，则a、b、c的关系是（ ）

A．c²=a²+b² B．a²=（b+c）（b-c ） C．a²=c²-b² D．b=a+c

知识点：勾股定理

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。

答案：B

详细解答：在△ABC中，∠B=90°，∠B的对边b是斜边，所以b²=a²+c²。a²=（b +c）（b-c ）可变形为b²=a²+c²，所以选B

1. 下列说法正确的是（　　）

A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a²＋b²＝c²；

B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²＋b²＝c²；

C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则a²＋b²＝c²；

D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， ，则c²-b²＝a²。

答案：D

详细解答：A是错的，缺少直角条件；

B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；

C也是错的，既然 ，那么a边才是斜边，应该是a²＝c²＋b²

D才是正确的， ，那么c²＝a²+b²，即c²-b²＝a².

2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸（即电视机屏幕的对角线长）是 ( )

A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm)

知识点：勾股定理的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。

答案：C

详 细解答：

如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm，即BC=58cm；宽为46cm，即AB=46cm。

在直角三角形ABC中，BC=58cm,AB=46cm,那么AC²=BC²+AB²=57²+46²=5365，所以AC=74cm，选C。

2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距( )

A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm

答案：C

详细解答：

如答图，一只小鼹鼠从B挖到C，BC=8cm×10=80cm，

另一只小鼹鼠从B挖到A，BA=6cm×10=60cm，

由题意可知两个方向互相垂直，

所以AC²=AB²+BC²=60²+80²=10000，所以AC=100 cm

3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( )

A.1:1: B.1:1:2 C.1: : D.1:4:1

知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形

知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。

答案：A

详细解答：

三 角形三个内角的比是1:2:1，可以知道三个角分别为45°、90°、 45°，如答图，假设AB=1，那么BC=1，AC²=AB²+BC²=1+1=2，所以AC= ，三条边的比是1:1: 。

3．已知△ABC中，∠A= ∠C= ∠B，则它的三条边之比为（ ）．

A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1

答案：B

详 细解答：△ABC中，∠A= ∠C= ∠B，可求出∠A=30°，∠C=60°，∠B=90°，画出答图。

假设BC=1，那么AC=2，根据勾股定理得AB²=AC²-BC²=4-1=3，所以AB= ，因此三边的比为1： ：2。

4．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为（ ）

（A）15° （B）30° （C）45° （D）不能确定

知识点：勾股定理在数学中的应用

知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

答案：C

详细解答：由勾股定理得AC²=BC²+AB²，又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，即AC²=2AB×BC，所以BC²+AB²=2AB×BC，得（BC-AB）²=0，所以BC=AB，所以三角形ABC是等腰直角三角形，最小锐角为45°。

4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为（ ）

（A）4 （B）5 （C）6 （D）

答案：D

详细解答：由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知，△ABP≌△ACP′，

所以∠CAP′=∠BAP，AP′=AP，又因为∠BAC=90°，所以∠PAP′=90°，AP′=AP=3，

在直角三角形APP′中，PP′²= AP′²+AP²=3²+3²=18，所以PP′=

5 ．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（ ）

A． B．- C．2 D．-2

知识点：认识长度为无理数的线段

知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段

答案：B

详细解答：在Rt△BCD中，CB=BD=1，那么CD²=CB²+BD²=2，所以CD= ，CA=CD= ，因此点A所表示的数为-

5. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

答案：C

详细解答：在Rt△ABD中，AD=5，BD=1，那么AB²=AD²+BD²=26，AB=

在Rt△BCE中，BE=3，CE=2，那么BC²=BE²+CE²=13，BC=

在Rt△ACF中，AF=4，CF=3，那么AC²=AF²+CF²=25，AC=5

所以边长为无理数的边是：AB 和BC

6

B

．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

A．5 B．25 C． D．5或

知识点：两解问题

知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。

答案：D

详细解答：如果两直角边长分别为3和4，那么第三边就是斜边，其长度为5；如果4是斜边，3是直角边，那么另一条直角边为 。

6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )

A.42 B.32 C.42或32 D.37或33

答案：C

详细解答：若高AD在△ABC内部，如图，

在 Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD²=AB²-AD²=81，BD=9

在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD²=AC²-AD²=25，CD=5

所以BC=BD+CD=9+5=14，这时周长为15+13+14=42

若高AD在△ABC外部，如图，

在 Rt△ABD中，AB=15，AD=12，那么BD²=AB²-AD²=81，BD=9

在Rt△ACD中，AC=13，AD=12，那么CD²=AC²-AD²=25，CD=5

所以BC=BD-CD=9-5=4，这时周长为15+13+4=32

所以选C.

7．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行（ ）

（A）6 m （B）8 m （C）10 m （D）18 m

知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题

知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题

答案：C

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如图,AB表示高8m的树，CD表示高2 m的树，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD，过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=8 m，AE=AB-EB=AB-CD=6m，从而AD²=AE²+DE²=6²+8²=100，所以AB=10 m。

7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( )

A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断

答案：B

详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，

AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF，就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。

在直角三角形AED中，DE=BC=3.9，AE=AB-EB=AB-CD=3，从而AD²=AE²+DE²=3²+3.9²=24.21。

由题意知AF=5，所以AF²=25，显然AD小于AF，有危险。

8 ．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB（ ）.

A．10 m B．11 m C．12 m D．15 m

知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题

知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。

答案：C

详细解答：设AD=x米，则AB为（10+x）米，AC为（15-x）米，BC为5米，

∴(x+10)²+5²=(15-x)²，解得x=2，∴10+x=12（米）

所以树高12 m 。

8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).

A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m

答 案：A

详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的竹竿，CD是水面，

由题意知：CD=1.5 m，AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m，那么竹竿的高就是（x+0.5）m，所以CB=（x+0.5）m，直角三角形BDC中应用勾股定理得（x+0.5）²=x²+1.5²，解得x=2，所以河水的深度为2m

9.已知：如图，△ABC中，BC=4，∠A=45°，∠B=60°，那么AC=（ ）

（A） （B）4 （C）6 （D）

知识点：转化的数学思想、勾股定理

知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。

答案：A （2 也行）

分 析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°，添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度

详细解答：作AB边的高CD,如图，

在Rt△BDC中，∠B=60°，那么∠BCD=90°-60°=30°，BC=4，

那么BD=2,利用勾股定理可求出CD= ；

在Rt△ADC中，∠A=45°，那么∠ACD=90°-45°=45°，所以AD=CD= ，

那么利用勾股定理得AC²=AD²+CD²=24,所以AC= ；

小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗？为什么？(注意利用特殊角)

9.已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。四边形ABCD的面积为（ ）。

（A）20 （B）

（C） （D）16

答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2 - 就可以了)

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。

详细解答：延长AD、BC交于E。

∵ ∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE²=AE²-AB²=8²-4²=48，BE= = 。

∵DE²= CE²-CD²=4²-2²=12，∴DE= = 。

∴S_{四边形ABCD}=S_△ABE-S_△CDE= AB·BE- CD·DE= ×4× - ×2· =2 - =

小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。

1 0. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）

A. B. C. D.

知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用

知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一．解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。

答案：B

详细解答：假设CD=xcm，那么DE=CD=xcm，BD=（8-x）cm。

因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm，

又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),

在Rt△EBD中，EB=4cm，DE=xcm，BD=（8-x）cm ，那么（8-x）²=x²+4²，

解得x=3

所以CD=

1 0.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长( )．

（A）3cm （B）4cm

（C）5cm （D）6cm

答案：A

详细解答：

由折叠的过程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DE＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF²＝AF²－AB²＝10²－8²＝6²，BF＝6，FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果设CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm．

在Rt△CEF中，EF²＝CF²＋CE²，用这个关系建立方程:(8－x)²＝4²＋x²

解得x＝3，即CE的长为3cm．