等腰三角形

基础训练

1．若一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为(A)

A. 12　　　　　　 B. 9

C. 12或9　　　　 D. 9或7

2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是(D)

A. 1，2，3　 B. 1，1，

C. 1，1，　 D. 1，2，

3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为(D)

A. 60°　　　 B. 120°

C. 60°或150°　　　 D. 60°或120°

4．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有(B)

A. 4个　　　 B. 3个

C. 2个　　　 D. 1个

(第5题图)

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋∠A；

③点O到△ABC各边的距离相等；

④设OD＝m，AE＋AF＝n，则S_△AEF＝mn.

其中正确的结论是(　A　)

A. ①②③　　　　　　　　　 B. ①②④

C. ②③④　　　　　 D. ①③④

(第6题图)

6．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，哪两个条件组合可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出一种情形)：①③或②③．

7．在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ ABC＝45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD＝90°，连结CD，则线段CD的长为__或__．

(第8题图)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F.请找出一组相等的线段(AB＝AC除外)并加以证明．

解：AD＝AF.证明如下：

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

∵DE⊥BC，

∴∠B＋∠BFE＝∠C＋∠D＝90°，

∴∠BFE＝∠D.

∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠DFA＝∠D，

∴AF＝AD.

拓展提高

(第9题图)

9．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为(B)

A. 2　　 B.

C. 2　　 D. 3

10．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为(D)

A. 45°　　 B. 75°

C. 60°　　 D. 45°或75°

11．在平面直角坐标系中，点A(，)，B(3，3)，动点C在x轴上，若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为(B)

A. 2　　　　　　　 B. 3

C. 4　　　　　　　　 D. 5

12．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝72度．

(第12题图)

(第13题图)

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC与∠DCB的平分线相交于点H，过H作AD的平分线交AB于E，交CD于F.若BE＝3，CF＝2，则EF＝__5__．

14．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA，OB上分别取点OA＝OB₁，连结AB₁，在B₁A，B₁B上分别取点A₁，B₂，使B₁B₂＝B₁A₁，连结A₁B₂，…，按此规律下去，记∠A₁B₁B₂＝θ₁，∠A₂B₂B₃＝θ₂，…，∠A_nB_nB_n＋1＝θ_n，则：

(1)θ₁＝；(2) θ_n＝．

,(第14题图))

15．在如图所示的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP₁＝P₁P₂＝P₂P₃＝…＝P₁₃P₁₄＝P₁₄A，则∠A的度数是__12°__．

,(第15题图))

16．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：

以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A₁，得第1条线段AA₁；

再以点A₁为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A₂，得第2条线段A₁A₂；

再以点A₂为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A₃，得第3条线段A₂A₃；

……

这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝__9__．

,(第16题图))

17．如图，已知点A(3，0)，B(0，4)，C为x轴上一点．

(1)画出等腰三角形ABC.

(2)求出C点的坐标．

,(第17题图))

解：(1)如解图．

,(第17题图解))

(2)①当A是顶点时，C₁(－2，0)，C₂(8，0)，

②当B是顶点时，C₃(－3，0)

③当C是顶点时，C₄.

(第18题图)

18．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED.

(1)求证：△MED为等腰三角形．

(2)求证：∠EMD＝2∠DAC.

解：(1)证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，

∴ME＝AB，MD＝AB，

∴ME＝MD，

∴△MED为等腰三角形．

(2)∵ME＝AB＝MA，

∴∠MAE＝∠MEA，

∴∠BME＝2∠MAE.

同理，MD＝AB＝MA，

∴∠MAD＝∠MDA，

∴∠BMD＝2∠MAD，

∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.

(第19题图)

19．如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.

(1)求证：DE平分∠BDC.

(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.

解：(1)证明：∵△ABC为等腰Rt△，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°.

∵∠CAD＝∠CBD＝15°，

∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.

又∵CA＝CB，∴△BDC≌△ADC(SAS)．

∴∠DCA＝∠DCB.

又∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°.

∵∠BDE＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，

∴∠BDM＝∠EDC.∴DE平分∠BDC.

(第19题图解)

(2)如解图，连结MC.

∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，

∴△MDC是等边三角形，

∴CM＝CD.

又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，

∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，

∴∠EMC＝∠ADC.

又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.

∴△ADC≌△EMC(AAS)．∴ME＝AD＝BD.