《第12章 整式的乘除》

一、选择题

1．若3×9^m×27^m=3²¹，则m的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．要使多项式（x²+px+2）（x﹣q）不含关于x的二次项，则p与q的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1

3．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）²互为相反数，则（3x﹣y）³的值为（　　）

A．1 B．9 C．﹣9 D．27

4．若x²﹣kxy+9y²是一个两数和（差）的平方公式，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C．±6 D．±81

5．已知多项式（17x²﹣3x+4）﹣（ax²+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c=（　　）

A．12 B．13 C．14 D．19

6．下列运算正确的是（　　）

A．a+b=ab B．a²•a³=a⁵

C．a²+2ab﹣b²=（a﹣b）² D．3a﹣2a=1

7．若a⁴+b⁴+a²b²=5，ab=2，则a²+b²的值是（　　）

A．﹣2 B．3 C．±3 D．2

8．下列因式分解中，正确的是（　　）

A．x²y²﹣z²=x²（y+z）（y﹣z） B．﹣x²y+4xy﹣5y=﹣y（x²+4x+5）

C．（x+2）²﹣9=（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a²=﹣（3﹣2a）²

9．设一个正方形的边长为1cm，若边长增加2cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A．6cm² B．5cm² C．8cm² D．7cm²

10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．（a+b）²=a²+2ab+b² B．（a﹣b）²=a²﹣2ab+b²

C．a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a²+ab﹣2b²

　

二、填空题

11．若把代数式x²﹣2x﹣3化为（x﹣m）²+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=　　．

12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果1※1=2，那么2012※2012=　　．

13．如果x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式x²﹣y²的值是　　．

14．若（x﹣m）²=x²+x+a，则m=　　．

15．若x³=﹣8a⁹b⁶，则x　　．

16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）=　　．

17．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）

=m（a+b）+n（a+b）

=（a+b）（m+n）

（2）x²﹣y²﹣2y﹣1=x²﹣（y²+2y+1）

=x²﹣（y+1）²

=（x+y+1）（x﹣y﹣1）

试用上述方法分解因式a²+2ab+ac+bc+b²=　　．

18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=5²；2×3×4×5+1=11²；3×4×5×6+1=19²；4×5×6×7+1=29²；n（n+1）（n+2）（n+3）+1=　　．（n为整数）

　

三、解答题（共46分）

19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值．

（1）若x+y=4，xy=3，求（x﹣y）²，x²y+xy²的值．

（2）若x= ，y= ，求x²﹣xy+y²的值．

（3）若x²﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）²+1的值．

（4）若m²+m﹣1=0，求m³+2m²+2014的值．

20．已知2^a=5，2^b=3，求2^a+b+3的值．

21．利用因式分解计算：

1﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…+99²﹣100²+101²．

22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．

23．利用分解因式说明：（n+5）²﹣（n﹣1）²能被12整除．

24．观察下列等式：1× =1﹣ ，2× =2﹣ ，3× =3﹣ ，…

（1）猜想并写出第n个等式；

（2）证明你写出的等式的正确性．

　

《第12章 整式的乘除》

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．若3×9^m×27^m=3²¹，则m的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．

【解答】解：3•9^m•27^m=3•3^2m•3^3m=3^1+2m+3m=3²¹，

∴1+2m+3m=21，

解得m=4．

故选B．

【点评】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．

　

2．要使多项式（x²+px+2）（x﹣q）不含关于x的二次项，则p与q的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为﹣1

【考点】多项式乘多项式．

【分析】把式子展开，找到所有x²项的所有系数，令其为0，可求出p、q的关系．

【解答】解：∵（x²+px+2）（x﹣q）=x³﹣qx²+px²﹣pqx+2x﹣2q=﹣2q+（2﹣pq）x+（p﹣q）x²+x³．

又∵结果中不含x²的项，

∴p﹣q=0，解得p=q．

故选A．

【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．

　

3．若|x+y+1|与（x﹣y﹣2）²互为相反数，则（3x﹣y）³的值为（　　）

A．1 B．9 C．﹣9 D．27

【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

【专题】方程思想．

【分析】先根据相反数的定义列出等式|x+y+1|+（x﹣y﹣2）²=0，再由非负数的性质求得x、y的值，然后将其代入所求的代数式（3x﹣y）³并求值．

【解答】解：∵|x+y+1|与（x﹣y﹣2）²互为相反数，

∴|x+y+1|+（x﹣y﹣2）²=0，

∴ ，

解得， ，

∴（3x﹣y）³=（3× + ）³=27．

故选D．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法、非负数的性质﹣﹣绝对值、非负数的性质﹣﹣偶次方．解题的关键是利用互为相反数的性质列出方程，再由非负数是性质列出二元一次方程组．

　

4．若x²﹣kxy+9y²是一个两数和（差）的平方公式，则k的值为（　　）

A．3 B．6 C．±6 D．±81

【考点】完全平方式．

【专题】计算题．

【分析】利用完全平方公式的结构判断即可确定出k的值．

【解答】解：∵x²﹣kxy+9y²是一个两数和（差）的平方公式，

∴﹣k=±6，

则k=±6．

故选C．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

　

5．已知多项式（17x²﹣3x+4）﹣（ax²+bx+c）能被5x整除，且商式为2x+1，则a﹣b+c=（　　）

A．12 B．13 C．14 D．19

【考点】整式的除法．

【专题】计算题．

【分析】根据商乘以除数等于被除数列出关系式，整理后利用多项式相等的条件确定出a，b，c的值，即可求出a﹣b+c的值．

【解答】解：依题意，得（17x²﹣3x+4）﹣（ax²+bx+c）=5x（2x+1），

∴（17﹣a）x²+（﹣3﹣b）x+（4﹣c）=10x²+5x，

∴17﹣a=10，﹣3﹣b=5，4﹣c=0，

解得：a=7，b=﹣8，c=4，

则a﹣b+c=7+8+4=19．

故选D．

【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

6．下列运算正确的是（　　）

A．a+b=ab B．a²•a³=a⁵

C．a²+2ab﹣b²=（a﹣b）² D．3a﹣2a=1

【考点】同底数幂的乘法；合并同类项．

【专题】存在型．

【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式对各选项进行解答即可．

【解答】解：A、a与b不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、由同底数幂的乘法法则可知，a²•a³=a⁵，故本选项正确；

C、a²+2ab﹣b²不符合完全平方公式，故本选项错误；

D、由合并同类项的法则可知，3a﹣2a=a，故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法及完全平方公式，熟知以上知识是解答此题的关键．

　

7．若a⁴+b⁴+a²b²=5，ab=2，则a²+b²的值是（　　）

A．﹣2 B．3 C．±3 D．2

【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】利用完全平方公式分解因式进而求出即可．

【解答】解：由题意得（a²+b²）²=5+a²b²，

因为ab=2，所以a²+b²= =3．

故选：B．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式是解题关键．

　

8．下列因式分解中，正确的是（　　）

A．x²y²﹣z²=x²（y+z）（y﹣z） B．﹣x²y+4xy﹣5y=﹣y（x²+4x+5）

C．（x+2）²﹣9=（x+5）（x﹣1） D．9﹣12a+4a²=﹣（3﹣2a）²

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．

【解答】解：A、用平方差公式，应为x²y²﹣z²=（xy+z）（xy﹣z），故本选项错误；

B、提公因式法，符号不对，应为﹣x²y+4xy﹣5y=﹣y（x²﹣4x+5），故本选项错误；

C、用平方差公式，（x+2）²﹣9=（x+2+3）（x+2﹣3）=（x+5）（x﹣1），正确；

D、完全平方公式，不用提取负号，应为9﹣12a+4a²=（3﹣2a）²，故本选项错误．

故选C．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握公式的结构特征是解题的关键．

　

9．设一个正方形的边长为1cm，若边长增加2cm，则新正方形的面积增加了（　　）

A．6cm² B．5cm² C．8cm² D．7cm²

【考点】完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：（1+2）²﹣1²=9﹣1=8，即新正方形的面积增加了8cm²，

故选C．

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

　

10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（　　）

A．（a+b）²=a²+2ab+b² B．（a﹣b）²=a²﹣2ab+b²

C．a²﹣b²=（a+b）（a﹣b） D．（a+2b）（a﹣b）=a²+ab﹣2b²

【考点】平方差公式的几何背景．

【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a²﹣b²；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．

【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a²﹣b²，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），

而两个图形中阴影部分的面积相等，

∴阴影部分的面积=a²﹣b²=（a+b）（a﹣b）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．

　

二、填空题

11．若把代数式x²﹣2x﹣3化为（x﹣m）²+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=　　．

【考点】完全平方公式．

【专题】配方法．

【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x²﹣2x﹣3=x²﹣2x+1﹣4=（x﹣1）²﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．

【解答】解：∵x²﹣2x﹣3=x²﹣2x+1﹣4=（x﹣1）²﹣4，

∴m=1，k=﹣4，

∴m+k=﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．

　

12．现在有一种运算：a※b=n，可以使：（a+c）※b=n+c，a※（b+c）=n﹣2c，如果1※1=2，那么2012※2012=　　．

【考点】整式的除法．

【专题】新定义．

【分析】先设出2012※2012=m，再根据新运算进行计算，求出m的值即可．

【解答】解：设2012※2012=m，

由已知得，（1+2011）※1=2+2011，

2012※（2012﹣2011）=m+2×2011，

则2+2011=m+2×2011，

解得，m=2012※2012=（2+2011）﹣2011×2=﹣2009．

故答案为：﹣2009．

【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，在解题时要注意按照两者的转换公式进行计算即可．

　

13．如果x+y=﹣4，x﹣y=8，那么代数式x²﹣y²的值是　　．

【考点】平方差公式．

【专题】计算题．

【分析】由题目可发现x²﹣y²=（x+y）（x﹣y），然后用整体代入法进行求解．

【解答】解：∵x+y=﹣4，x﹣y=8，

∴x²﹣y²=（x+y）（x﹣y）=（﹣4）×8=﹣32．

故答案为：﹣32．

【点评】本题考查了平方差公式，由题设中代数式x+y，x﹣y的值，将代数式适当变形，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

　

14．若（x﹣m）²=x²+x+a，则m=　　．

【考点】完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，利用多项式相等的条件确定出m的值即可．

【解答】解：∵（x﹣m）²=x²+x+a=x²﹣2mx+m²，

∴﹣2m=1，a=m²，

则m=﹣ ，a= ．

故答案为：﹣

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

　

15．若x³=﹣8a⁹b⁶，则x　　．

【考点】幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解答即可．

【解答】解：∵x³=﹣8a⁹b⁶，

∴x³=（﹣2a³b²）³，

∴x=﹣2a³b²．

故答案为：=﹣2a³b²．

【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，先根据题意得出x³=（﹣2a³b²）³是解答此题的关键．

　

16．计算：（3m﹣n+p）（3m+n﹣p）=　　．

【考点】平方差公式；完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式计算即可得到结果．

【解答】解：原式=9m²﹣（n﹣p）²=9m²﹣n²+2np﹣p²．

故答案为：9m²﹣n²+2np﹣p²

【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

　

17．阅读下列文字与例题

将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．

例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）

=m（a+b）+n（a+b）

=（a+b）（m+n）

（2）x²﹣y²﹣2y﹣1=x²﹣（y²+2y+1）

=x²﹣（y+1）²

=（x+y+1）（x﹣y﹣1）

试用上述方法分解因式a²+2ab+ac+bc+b²=　　．

【考点】因式分解-分组分解法．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．

【解答】解：原式=（a²+2ab+b²）+（ac+bc）

=（a+b）²+c（a+b）

=（a+b）（a+b+c）．

故答案为（a+b）（a+b+c）．

【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．

　

18．观察，分析，猜想：1×2×3×4+1=5²；2×3×4×5+1=11²；3×4×5×6+1=19²；4×5×6×7+1=29²；n（n+1）（n+2）（n+3）+1=　　．（n为整数）

【考点】规律型：数字的变化类．

【分析】观察下列各式：1×2×3×4+1=5²=（1²+3×1+1）²；2×3×4×5+1=11²=（2²+3×2+1）²；3×4×5×6+1=19²=（3²+3×3+1）²，4×5×6×7+1=29²=（4²+3×4+1）²，得出规律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²，（n≥1）．

【解答】解：∵1×2×3×4+1=[（1×4）+1]²=5²，

2×3×4×5+1=[（2×5）+1]²=11²，

3×4×5×6+1=[（3×6）+1]²=19²，

4×5×6×7+1=[（4×7）+1]²=29²，

∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²．

故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3×n+1）²．

【点评】此题考查了数字的变化规律，解答本题的关键是发现规律为n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n+1）²（n≥1），一定要通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．

　

三、解答题（共46分）

19．通过对代数式的适当变形，求出代数式的值．

（1）若x+y=4，xy=3，求（x﹣y）²，x²y+xy²的值．

（2）若x= ，y= ，求x²﹣xy+y²的值．

（3）若x²﹣5x=3，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）²+1的值．

（4）若m²+m﹣1=0，求m³+2m²+2014的值．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】（1）将（x﹣y）²通过配方法转化成（x+y）²，x²y+xy²因式分解即可；

（2）利用配方法转化成=（x+y）²﹣3xy即可；

（3）根据整式的乘法把式子展开即可；

（4）先把m²+m﹣1=0，变形为m²=1﹣m．把m³+2m²+2014变形为m²（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014即可；

【解答】解：（1）（x﹣y）²=x²﹣2xy+y²=x²+2xy+y²﹣4xy=（x+y）²﹣4xy4²﹣4×3=4，

x²y+xy²=xy（x+y）=3×4=12，

（2）x²﹣xy+y²=（x+y）²﹣3xy=（ + + ﹣ ）²﹣3（ + ）（ ﹣ ）=（2 ）²﹣3×2=28﹣6=22

（3）（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）²+1=2x²﹣3x+1﹣（x²+2x+1）+1=x²﹣5x+1=3+1=4

4）由m²+m﹣1=0，得m²=1﹣m．把m³+2m²+2014=m²（m+2）+2014=（1﹣m）（m+2）+2014=m﹣1﹣m+2+2014

【点评】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

　

20．已知2^a=5，2^b=3，求2^a+b+3的值．

【考点】同底数幂的乘法．

【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出即可．

【解答】解：2^a+b+3=2^a•2^b•2³=5×3×8=120．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

　

21．利用因式分解计算：

1﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…+99²﹣100²+101²．

【考点】因式分解的应用．

【分析】先把原式变形为1+3²﹣2²+5²﹣4²+…+101²﹣100²，再因式分解得1+（3+2）+（5+4）+…+（101+100），然后进行计算即可．

【解答】解：1﹣2²+3²﹣4²+5²﹣6²+…+99²﹣100²+101²

=1+3²﹣2²+5²﹣4²+…+101²﹣100²

=1+（3+2）（3﹣2）+（5+4）（5﹣4）+…+（101+100）（101﹣100）

=1+（3+2）+（5+4）+…+（101+100）

=

=5151．

【点评】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是平方差公式，关键是对要求的式子进行变形，注意总结规律，得出结果．

　

22．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【专题】计算题．

【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．

【解答】解：原式=x²﹣2x﹣x²+1=﹣2x+1，

当x=10时，原式=﹣2×10+1=﹣19．

【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．

　

23．利用分解因式说明：（n+5）²﹣（n﹣1）²能被12整除．

【考点】因式分解的应用．

【分析】将原式因式分解，结果能被12整除即可．

【解答】解：因为（n+5）²﹣（n﹣1）²=n²+10n+25﹣（n²﹣2n+1）=12（n+2），

所以（n+5）²﹣（n﹣1）²能被12整除．

【点评】考查了因式分解的应用，解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有12的因数相乘的形式．

　

24．观察下列等式：1× =1﹣ ，2× =2﹣ ，3× =3﹣ ，…

（1）猜想并写出第n个等式；

（2）证明你写出的等式的正确性．

【考点】规律型：数字的变化类．

【专题】证明题；探究型．

【分析】（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式﹣第二个因数，即n× =n﹣ ；

（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．

【解答】解：（1）猜想：n× =n﹣ ；

（2）证：右边= = =左边，即n× =n﹣ ．

【点评】主要考查：等式找规律，难点是怎样证明，不是验证．此题隐含着逆向思维及数学归纳法的思想．