4.2 不等式的基本性质

★不等式的基本性质

1．不等式的基本性质1：如果a>b，那么 a+c____b+c， a－c____b－c．

不等式的基本性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac_____bc．

不等式的基本性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac_____bc．

2．设a<b，用“<”或“>”填空．

（1）a－1____b－1；

（2）a+1_____b+1；

（3）2a____2b；

（4）－2a_____－2b；

（5）－ _____－ ；

（6） ____ ．

3．根据不等式的基本性质，用“<”或“>”填空．

（1）若a－1>b－1，则a____b；

（2）若a+3>b+3，则a____b；

（3）若2a>2b，则a____b；

（4）若－2a>－2b，则a___b．

4．若a>b，m<0，n>0，用“>”或“<”填空．

（1）a+m____b+m；

（2）a+n___b+n；

（3）m－a___m－b；

（4）an____bn；

（5） ____ ；

（6） _____ ；

5．下列说法不正确的是（ ）

A．若a>b，则ac >bc （c 0）

B．若a>b，则b<a

C．若a>b，则－a>－b

D．若a>b，b>c，则a>c

★不等式的简单变形

6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x>a或x>a的形式：

（1）x－3>1；

（2）－ x>－1；

（3）3x<1+2x；

（4）2x>4．

［学科综合］

7．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）

A．bc>ab

B．ac>ab

C．bc<ab

D．c+b>a+b

8．已知关于x的不等式（1－a）x>2变形为x< ，则1－a是____数．

9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（ ）

A．3b<p<3a

B．a+2b<p<2a+b

C．2b<p<2（a+b）

D．2a<p<2（a+b）

［创新思维］

（一）新型题

10．若m>n，且am<an，则a的取值应满足条件（ ）

A．a>0

B．a<0

C．a=0

D．a 0

（二）课本例题变式题

11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是（ ）

A．由4x－1>2，得4x>1

B．由5x>3，得x>

C．由 >0，得x>2

D．由－2x<4，得x<－2

（三）易错题

12．若a>b，且m为有理数，则am ____bm ．

13．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？

（四）难题巧解题

14．若方程组 的解为x，y，且3<k<6，则x+y的取值范围是______．

（五）一题多解题

15．根据不等式的基本性质，把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．

［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］

16．如图13－2－2所示，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？

［数学在生产、经济、科技中的应用］

17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．

（1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？

（2）写出甲商店中收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式．

（3）小明现有24元钱，最多可买多少本？

［自主探究］

18．命题：a，b是有理数，若a>b，则a >b ．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；（2）若条件保持不变，那么怎样改变结论，命题才能正确？

［潜能开发］

19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x>4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x>4x不是一回事吗？当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．

［信息处理］

20．根据不等式的基本性质，把下列不等变为x>a或x<a的形式：

（1） >－3；

（2）－2x<6．

解：（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以 ，得x>－6．

（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变，所以 ，得x>－3．

上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的？

［开放实践］

21．比较a+b与a－b的大小．

［经典名题，提升自我］

［中考链接］

22．（2004·山东淄博）如果m<n<0，那么下列结论中错误的是（ ）

A．m－9<n－9

B．－m>－n

C．

D． >1

23．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（ ）

A．a>b

B．ab>0

C． >0

D．－a>－b

［奥赛赏析］

24．要使不等式…< <…成立，有理数a的取值范围是（ ）

A．0<a<1

B．a<－1

C．－1<a<0

D．a>1

［趣味数学］

25．（1）A、B、C三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重．

（2）P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．

答案

1．> > > <

2．（1）<

（2）<

（3）<

（4）>

（5）>

（6）<

3．（1）>

（2）>

（3）>

（4）<

4．（1）>

（2）>

（3）<

（4）>

（5）<

（6）>

5．C 点拨： a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．

6．解：（1）x－3>1，x－3+3>1+3，（根据不等式的基本性质1）x>4；

（2）－ x>－1， － x·（－ ）<－1·（－ ），（根据不等式的基本性质3）x< ；（3）3x<1+2x，3x－2x<1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1）x<1；

（4）2x>4， ，（根据不等式的基本性质2）x>2．

7．A

8．负

9．D

10．B

11．B

12．错解：am >bm

错因分析：m 应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况

正解：：am bm

13．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．

错解2：乙对，因为a为负数或零时，原不等式不成立．

错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种．

正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．

14．1<x+y<2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k． 3<k<6，即3<3（x+y）<6， 1<x+y<2．

15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5，2x<4x－6，2x－4x<4x－6－4x，－2x<－6， ，x>3．

解法2：2x+5<4x－1，2x+5－2x<4x－1－2x，5+1<2x－1+1，6<2x， ，3<x，即x>3．

16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式，两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c>b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．

17．解：（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1 70% 10=17（元），到乙商店购买20本，共需1 0．85 220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．

（2）甲商店中，收款y（元）与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10），即y=0．7x+3（其中x>10）．

（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3，解得x=30（本）．若到乙商店购买，则可买24÷（1 0．85）≈28（本）． 30>28，故小明最多哥 买30本．

18．解：（1）a，b是有理数，若a>b>0，则

（2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．

19．解：乙同学的回答不正确，5a不一定大于4a．当a>0时，5a>4a>0；当a=0时，5a=4a=0；当a<0时，5a<4a<0．

20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1”相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

21．解：a+b－（a－b）=2b，当b>0时，a+b>a－b；当b=0时，a+b=a－b；当b<0时，a+b<a－b．

22．C

23．D

24．B 点拨：a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且 …，则这个负数一定小于－1，故应选B．

25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．

（2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．