2.4__线段的垂直平分线__

第1课时　线段的垂直平分线的性质

1．如图2－4－7，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的 垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于 (　　)

图2－4－7

A．80° B．70°

C ．60° D．50°

2 ．如图2－4－8，AC＝AD，BC＝BD，则有 (　　)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D

　图2－4－8

．CD平分∠ACB

3．[2012·邵阳] 如图2－4－9所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是________．

图2－4－9

4．如图2－4－10，在△ABC中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，连接DC，则△ACD的周长为________cm.

　　图2－4－10

5．如图2－4－11，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC.

(1)求∠ECD的度数；

(2)若CE＝5，求BC长．

图2－4－11

6． 如图2－4－12，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P.

(1)求证：PA＝PB＝PC.

(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？

图2－4－12

7 ．根据图2－4－13，解答下列各题．

(1)在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ 100°，ME和NF分别垂直平分AB和AC，求∠MAN的度数．

(

图2－4－13

2)在(1)中，若无AB＝AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．

(3)在(2)的情况下，若BC＝10 cm，试求出△AMN的周长．

答案解析

1．C　【解析】 因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝＝80°.

因为DE是线段AB的垂直平分线，

所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°，

所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°.

故选C.

2．A　【解析】 因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A， B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A.

3．BD＝CD(答案不唯一)　【解析】 因为ED是BC的垂直平分线，

所以BE＝CE，BD＝CD，

因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，

所以∠ECB＝∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝60°，

所以∠ACE＝90°－30°＝60°，

所以△AEC是等边三角形，

所以AE＝EC＝AC，

所以AE＝AC＝EC＝BE.

所以图中两条相等的线段是：BE＝CE＝AC＝AE或BD＝CD.

故答案为：此题答案不唯一，如BD＝CD等．

4．8　【解析】 因为DE为BC的垂直平分线，所以CD＝BD，

所以△ACD 的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB，

又因为AC＝3 cm，AB＝5 cm，所以△ACD的周长为3＋5＝8 (cm)．

5．解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE，

所以∠ECD＝∠A＝36°；

(2)因为AB＝AC，∠A＝36°，

所以∠B＝∠ACB＝72°，

所以∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°，

所以∠BEC＝∠B，

所以BC＝EC＝5.

6．证明：(1) 因为边AB、BC的垂直平分线交于点P，

所以PA＝PB，PB＝PC.

所以PA＝P B＝PC.

(2)点P在边AC的垂直平分线上，因为PA＝PC，

所 以点P在边AC的垂直平分线上(和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)

还可得出结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点．

7．解：(1)因为ME垂直平分AB，

所以MA＝MB，

所以∠B＝∠BAM，

同理NA＝NC，所以∠C＝∠NAC.

因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∠BAC＝1 00°，

所以∠B＋∠C＝80°，

所以∠BAM＋∠NAC＝80°，

所以∠MAN＝∠BAC－(∠BAM＋∠NAC)＝100°－80°＝20°；

(2)能，∠MAN＝20 °，[理由同(1) ]．

(3)由(1)知MA＝MB，NA＝NC.

所以AM＋AN＋MN＝BM＋NC＋MN＝BC＝10 (cm)．