期末学情评估
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
2．如图，四边形ABCD中，AB＝CD.添加下列一个条件后能使四边形ABCD成为平行四边形的是( )
A．AB∥CD B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB＝AC
(第2题) 
(第7题)
3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
4．下列分式从左到右的变形一定正确的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝－1
5．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是( )
A．(a＋2)(a－2)＝a2－4 B．a2＋2a－5＝a(a＋2)－5
C．a2－a＋＝ D．6a＋2b＝2a
6．小明认为，在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么∠B与∠C所对的边AC与AB也不相等．要用反证法证明这一结论，应先假设( )
A．∠B＝∠C B．AC＝AB
C．AB＞AC D．AB＜AC
7．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝3，则BD的长为( )
A．6 B．12 C．9 D．15
8．如图，一次函数y＝－x－2与y＝kx＋b的图象交于点P(2，n)，则关于x的不等式kx＋b＜－x－2的解集为( )
A．x＜－4 B．x＞2 C．x＜2 D．0＜x＜2
(第8题) 
(第9题)
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝39°，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AB于点D，分别以D，B为圆心，大于DB长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则∠BCF的度数为( )
A．38° B．39° C．40° D．51°
10．静乐—兴县高速公路(简称静兴高速)通车后，大大方便了人们的出行．据了解从兴县到太原的车程为202公里，静兴高速通车后，汽车平均车速提高为原来的1.6倍，从兴县到太原所用时间比原来节省了1.8小时，设原来从兴县到太原所用时间为x小时，根据题意可列方程为( )
A.＝＋1.8 B.×1.6＝
C.＝－1.8 D.×1.6＝
二、填空题(每题3分，共15分)
11．化简：－＝________．
12．已知xy＝2 024，x－y＝1，那么x2y－xy2＝________．
13．如图①，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图②是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是____________．
(第13题) (第14题) (第15题)
14．如图，△ABC中，AB＝BC＝8 cm，将△ABC沿BC平移3 cm得到△DEF，AC与DE相交于点G，则GE的长为________cm.
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，连接AD，则AD的长为__________.
三、解答题(共75分)
16．(8分)分解因式：
(1)3x2－12; (2)x2(m－n)＋2xy(n－m)＋y2(m－n)．
17. (10分)
(1)计算：·－； (2)解分式方程：＝＋1.
18．(8分)下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得3x＋3>8－x. 第一步
解得x>. 第二步
由不等式②，得x＋3≤2x. 第三步
移项，得x－2x≤－3. 第四步
解得x≤3. 第五步
所以原不等式组的解集是<x≤3. 第六步
任务一：
(1)小明的解答过程中，第________步开始出现错误，错误的原因是_________________________________________________________；
(2)第三步的依据是__________________________________________；
任务二：
(3)求出这个不等式组正确的解集．
19．(8分) 如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)求证：CE＝CB；
(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE.
(第19题)
20．(8分)如图，一次函数y1＝x＋m的图象与y轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点A(1，3)．
(1)求△ABO的面积；
(2)利用函数图象直接写出当y1>y2时，x的取值范围．
(第20题)
21．(9分)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子所花费的金额是1 200元，购进乙种粽子所花费的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的进货单价是乙种粽子进货单价的2倍．
(1)甲、乙两种粽子的进货单价分别为多少元？
(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若此次进货总花费金额不超过1 150元，问最多购进多少个甲种粽子？
22．(12分)综合与探究
问题情境
数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CD于点F，交BC于点E.
初步分析
(1)智慧小组的同学发现△CEF是等腰三角形，请你证明这一结论；
(2)博学小组的同学发现给△ABC添加一个条件，可使△CEF成为等边三角形．添加的条件可以是________；(写出一种即可)
操作探究
(3)创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F′恰好落在线段BC上．
①请在图中画出平移后的△A′D′F′；
②判断此时线段A′B与AC之间的数量关系，并说明理由．
(第22题)
23．(12分)综合与实践——平行四边形旋转中的数学问题
问题情境：
已知▱ABCD与▱A′B′C′D′中，AB＝A′B′＝6，BC＝B′C′＝8，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学问题，请你和他们一起进行探究．
拼图思考：
(1)希望小组的同学将▱ABCD与▱A′B′C′D′按图①的方式摆放，其中点B与点B′重合，点A′落在BC边上，点C′落在BA边的延长线上，A′D′，AD交于点E，连接BE.他们提出了如下问题，请你解答：
①求证：BE平分∠ABA′；
②点D，D′之间的距离为________；
操作探究：
(2)创新小组的同学在图①的基础上进行了如下操作：保持▱ABCD不动，将▱A′B′C′D′绕点B按顺时针方向旋转，连接DD′.他们又提出了如下问题：
①当线段C′D′与DC交于点P时，如图②，求证：点B在线段DD′的垂直平分线上；
②在▱A′B′C′D′旋转的过程中，当点C′恰好落在线段DC的延长线上时，请在图③中补全图形，并直接写出此时点D，D′之间的距离．
(第23题)
答案
一、1.D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.B
10．A
二、11.m＋1 12.2 024 13.正八边形 14.5
15．4－3点拨：由旋转的性质可得BD＝BC，∠DBC＝60°，连接CD，易知△BCD是等边三角形．延长DA交BC于E，可证DA是线段BC的垂直平分线，可得BE＝EC＝4，DE＝4，AE＝3，进而得DA＝4－3.
三、16.解：(1)原式＝3(x2－4)＝3(x＋2)(x－2)．
(2) 原式＝x2(m－n)－2xy(m－n)＋y2(m－n)
＝(m－n)(x2－2xy＋y2)
＝(m－n)(x－y)2.
17．解：(1)原式＝·－
＝－＝.
(2)去分母，得3x＝x＋3x＋3，解得x＝－3，
检验：当x＝－3时，3(x＋1)≠0，
∴分式方程的解为x＝－3.
18．解：(1)五；系数化为1时没有变号
(2)不等式的基本性质2(或不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变)
(3)由不等式①，得3x＋3>8－x，解得x>.
由不等式②，得x＋3≤2x，
移项、合并同类项，得－x≤－3，解得x≥3.
所以原不等式组的解集是x≥3.
19．证明：(1)∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，∴CE＝CB.
(2)由(1)知，CE＝CB，∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA(HL)，∴AE＝AB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE.
20．解：(1)∵一次函数y1＝x＋m的图象过点A(1，3)，
∴3＝1＋m，解得m＝2，
∴一次函数的表达式为y1＝x＋2.
∵当x＝0时，y1＝2，∴B(0，2)，
∴S△ABO＝×2×1＝1.
(2)当y1>y2时，x<1.
21．解：(1)设乙种粽子的进货单价为x元，则甲种粽子的进货单价为2x元，
依题意，得－＝50，解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根，则2x＝8.
答：甲种粽子的进货单价为8元，乙种粽子的进货单价为4元．
(2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200－m)个，
依题意，得8m＋4(200－m)≤1 150，
解得m≤87.5.
答：最多购进87个甲种粽子．
22．(1)证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB.
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠AFD＋∠FAD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝∠AEC.∵∠AFD＝∠CFE，∴∠AEC＝∠CFE，
∴△CEF是等腰三角形．
(2)∠CAB＝60°(答案不唯一)
(3)解：①如图①，△A′D′F′即为所求．
(第22题)
②A′B＝AC.理由如下：
过点F作FG⊥AC于G，如图②.
∵AE平分∠BAC，FD⊥AB，FG⊥AC，∴FG＝FD.
在Rt△AGF和Rt△ADF中，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF(HL)，
∴AG＝AD.
∵△ADF平移后得到△A′D′F′，
∴△ADF≌△A′D′F′，
∴AD＝A′D′＝AG，DF＝D′F′＝GF.
∵∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＝∠3.
在△CGF和△BD′F′中，
∴△CGF≌△BD′F′(AAS)，∴CG＝BD′，
∴AG＋CG＝A′D′＋BD′，∴A′B＝AC.
23．(1)①证明：∵AB∥A′E，AE∥BA′，
∴四边形ABA′E是平行四边形．
∴∠A′BE＝∠AEB，AE＝A′B.
∵BA＝B′A′，∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠A′BE，
∴BE平分∠ABA′.
②2
点拨：连接DD′，易知A′D′＝AD＝8，AE＝AB＝A′E＝6，
∴ED＝ED′＝2，
∵∠DED′＝∠AEA′＝∠ABA′＝60°，
∴△DED′是等边三角形，
∴DD′＝DE＝2.
(2)①证明：连接BD，BD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠A＋∠ABC＝180°.
∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′＝B′C′，A′D′∥B′C′，∴∠A′＋∠A′B′C′＝180°.
∵∠ABC＝∠A′B′C′，BC＝B′C′，
∴AD＝A′D′，∠A＝∠A′，∵AB＝A′B′，∴△ABD≌△A′BD′，
∴BD＝BD′，
∴点B在线段DD′的垂直平分线上．
②解：如图所示，点C′恰好落在线段DC的延长线上时，
DD′＝20.
(第23题)