第一章学情评估
一、选择题(每题3分，共30分)
1．已知等腰三角形的顶角为70°，则它的底角为( )
A．70° B．55° C．40° D．110°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，则下列结论不一定正确的是( )
A．AB＝2BD B．AD⊥BC
C．AD平分∠BAC D．∠B＝∠C
(第2题) 
(第3题)
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8 cm，点D到AB的距离为3 cm，则DB的长是( )
A．3 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
4．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据(单位：米)不符合直角三角形的三边长的是( )
A．3，4，5 B．7，24，25
C．9，12，15 D．1，2，3
5．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )
A．一定相等 B．当BD＝CD时相等
C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等
(第5题) 
(第6题)
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠B＝30°，P是线段BC上的一动点，连接AP，则AP的长不可能是( )
A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．9.5
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为( )
(第7题)
A．130° B．125° C．120° D．115°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如下步骤尺规作图：(1)分别以点B，C为圆心，大于BC长为半径作圆弧，相交于点E，F，连接EF分别交BC，AB于点D，G.(2)连接AD.根据操作，有下列判断：①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线；③CG⊥AB；④S△ADC＝S△ABD，其中正确的序号是( )
A．①②③④ B．②④ C．③ D．②③④
9．如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝126°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数是( )
(第9题)
A．36° B．45° C．46° D．48°
10．如图所示的5个图中，能判定△ABC是等腰三角形的有( )
(第10题)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共15分)
11．命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是__________________________________________________________，
该逆命题是________命题(填“真”或“假”)．
12．用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B≠∠C，则AB≠AC”时，应首先假设________________．
13．如图，在△ABC中， AC＝BC ，过点A, B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.若AE＝CF＝3, BF＝4.5，则EF的长度为________．
(第13题) 
(第14题)
14．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD ，则△ADE是________三角形．
15.如图，△ABC为等边三角形，在△ABC内部作△MAC，使得MA＝MC，且MA⊥MC，连接BM，再以BM为一边作等边三角形MBN，点M，N分别在BC的两侧，若CN＝6，则BM＝________．
(第15题)
三、解答题(共75分)
16．(6分)如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心(用点D表示)的位置．
(第16题)
17．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BM平分∠ABC交AC于点M，求证：AM＝BM.
(第17题)
18．(8分)如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2.求线段CP的长．
(第18题)
19．(9分)如图，直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E.
(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？
(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
(第19题)
20．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
(第20题)
21．(10分)乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，有多少种剪法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形剪成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个顶点，请你帮助乐乐求出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积．
(第21题)
22．(12分)问题情境：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为△ABC外的一点，且BD＝BC，∠DBC＝30°，连接AD.
(1)若BC＝4，则D到BC边的距离为________．
(2)小明在图①的基础上，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABE，得到图②，连接CE，请判断△BCE的形状，并证明你的结论．
(3)在图②中，试猜想AE与AD的数量和位置关系，并证明你的猜想．
(第22题)
23．(13分)已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B、点C重合)．连接AD，以AD为边向逆时针方向作等边△ADE，连接CE.
(1)如图①，当点D在线段BC上时：
①求证：△ABD≌△ACE；
②AC、CD、CE之间的数量关系是____________________；
(2)如图②，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，判断AC，CD，CE之间的数量关系，并证明；
(3)如图③，当点D在BC的反向延长线上时，其他条件不变，则AC、CD、CE之间的数量关系为____________________．
(第23题)
答案
一、1.B 2.A
3．D 点拨：如图，过点D作DE⊥AB于E.
(第3题)
∵点D到AB的距离为3 cm，∴DE＝3 cm.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴DE＝DC＝3 cm.∵BC＝8 cm，∴BD＝BC－DC＝8－3＝5(cm)．
4．D 5.D 6.A 7.D 8.B
9．B 思路点睛：延长ED交AC于F，先根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝27°，再根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝27°，最后由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．
10．C 点拨：题图①中，∵∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－66°＝44°，
∴∠A，∠B与∠C互不相等，∴△ABC不是等腰三角形；
题图②中，∵∠B＋∠C＝140°，∠B＝70°，
∴∠C＝140°－70°＝70°，∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
题图③中，∵AD∥BC，∴∠C＝∠CAD＝50°.
∵∠B＝50°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；
题图④中，∵AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD＝30°，∠BAD＝180°－∠B＝180°－120°＝60°，
∴∠BAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝∠BCA，
∴△ABC是等腰三角形；
题图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°.
∵∠BCD＝∠A＋∠B＝60°，
∴∠B＝60°－∠A＝30°，∴∠B＝∠A，
∴△ABC是等腰三角形．
∴能判定△ABC是等腰三角形的有4个．
二、11.如果a2＝b2，那么a＝b；假
12．AB＝AC 13.7.5
14．等边 点拨：易证得△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形．
15．3 －3
三、16.解：如图，点D即为文化活动中心的位置．
(第16题)
17．证明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°.∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠MBC＝∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABM.∴AM＝BM.
18．解：如图，过点P作PE⊥OB于E.
(第18题)
∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，
∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝15°，PC＝PE.
∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO＝15°，
∴∠PDE＝∠BOP＋∠DPO＝30°.
∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1.
19．解：(1)∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE.
∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝AD＋DE＋BE＝AB＝10.
(2)∵AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE.
又∵∠ACB＝125°，∴∠A＋∠B＝180°－125°＝55°，
∴∠ACD＋∠BCE＝55°.
∴∠DCE＝∠ACB－(∠ACD＋∠BCE)＝125°－55°＝70°.
20．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC，∴∠B＝∠ACB.
(2)解：∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC.
∵AC＝CE，∴AB＝AC＝CE＝5.
在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，
∴DE＝DC＋CE＝8，BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11.
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4＝16＋4，
S△ABE＝×BE×AD＝×11×4＝22.
21．解：①如图①，当PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，
(第21题)
则S△ACP＝×4×4＝8.
②如图②，当AP＝BP时，△ABP是等腰三角形．
(第21题)
在△ACP中，∠C＝90°，∴AC2＋CP2＝AP2.
∵AC＝4，AP＝BP＝BC－CP＝6－CP，
∴42＋CP2＝(6－CP)2，解得CP＝，
∴S△ABP＝S△ABC－S△ACP＝×4×6－×4×＝.
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或.
22．解：(1)2
(2)△BCE为等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝45°－30°＝15°.
由轴对称的性质得△ABD≌△ABE，
∴∠ABE＝∠ABD＝15°，BE＝BD，
∴∠EBC＝15°＋15°＋30°＝60°.
∵BD＝BC，∴BE＝BC，∴△BCE为等边三角形．
(3)AE＝AD，AE⊥AD.
证明：∵△ABD≌△ABE，∴AE＝AD，∠DAB＝∠EAB.
∵△EBC是等边三角形，
∴∠BEC＝60°，BE＝CE.
∵AB＝AC，AE＝AE，∴△ABE≌△ACE，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠BEC＝30°.
由(2)得∠EBA＝15°，
∴∠EAB＝180°－∠AEB－∠EBA＝135°，
∴∠DAB＝135°，∴∠EAD＝360°－135°－135°＝90°，
∴AE⊥AD.
综上所述，AE＝AD，AE⊥AD.
23．(1)①证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
∴△ABD≌△ACE.
②AC＝CE＋CD
(2) 解：AC，CD，CE之间的数量关系是AC＝CE－CD.
证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.
∵BC＝BD－CD，∴AC＝CE－CD.
(3)AC＝CD－CE 点拨：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.
∵BC＝CD－BD，
∴AC＝CD－CE.