第五章学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列方程是分式方程的是(　　)

A．x＋1＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1

2．若分式有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠ D．x≠3

3．若a≠b，则下列各式从左到右成立的是(　　)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

4．下列分式中，是最简分式的是(　　)

A. B. C. D.

5．在求解方程－6＝时，在方程两边同乘(x－1)，把原方程化为5－6(x－1)＝3x，这一变形过程体现的数学思想主要是(　　)

A．类比思想 B．函数思想 C．方程思想 D．转化思想

6．计算－的结果是(　　)

A．－ B. C. D．－

7．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(　　)

A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍

C．不变 D．缩小为原来的

8．定义a⊗b＝2a＋，则方程3⊗x＝4⊗2的解为(　　)

A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝

9.若分式方程＝2＋有增根，则a的值为(　　)

A．5 B. 4 C．3 D．0

10．下面是一道分式化简的过程．

＋＝＋＝△＝.

则下列说法正确的是(　　)

A．A＝x B．B＝x＋3 C．△表示“＋”号 D．▲＝x

二、填空题(每题3分，共15分)

11．分式和的最简公分母是________．

12．若分式的值为0，则a的值为________．

13．若x²＋3x＝－1，则x－＝________．

14．若关于x的分式方程＝4的解是非负数，则b的取值范围是________________．

15．山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到12 600 kg，经过改良后，平均每亩产量是原来的1.5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为x kg，则可列方程为______________________．

三、解答题(共75分)

16．(8分)化简．

(1)÷；　　　　　　　　　　　　(2)－；

(3)a－b－； (4)·＋.

17．(8分)解方程：(1)－1＝；

(2)－＝0.

18．(7分)先化简，再求值：÷，其中a＝ .

19.(9分)下面是小彬同学进行一个式子化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

－

＝－ 第一步

＝－ 第二步

＝－ 第三步

＝2x－6－2x－1 第四步

＝－7. 第五步

任务一：

以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据是________________________________________________________________________；

任务二：

本题化简过程是否正确？答：________；

如果正确，请写出第四步变形的依据；如果错误，请写出该式子化简的正确步骤．

20．(9分)已知关于x的分式方程－＝无解，求a的值．

21．(10分)小张和同学相约“五一”到离小张家2 400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．

(1)求小张跑步的平均速度；

(2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？请说明理由．

22．(12分)为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．

(1)第一批头盔的进货单价是多少元？

(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？

23．(12分)阅读材料

若分式A与分式B的差等于它们的积，即A－B＝AB，则称分式B是分式A的“关联分式”．

例如：与，

∵－＝，

×＝，

∴是的“关联分式”．

解决问题

(1)分式________的“关联分式”(填“是”或“不是”)．

(2)和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：

解：设的“关联分式”为B，则－B＝×B，

∴B＝，

∴B＝.即分式的“关联分式”为.

请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．

拓展延伸

(3)观察(1)(2)的结果找出规律，直接写出分式的“关联分式”：________．

答案

一、1.C　2.A　3.D　4.D　5.D　6.A　7.C　8.B　9.A

10．D

二、11.3ab²　

12．1　思路点睛：分式的值为0，则分子为0，分母不为0.

13．－2　点拨：∵x²＋3x＝－1，

∴x²＝－3x－1.

∴x－＝＝＝＝－2.

14．b≤12且b≠6　15.－25＝

三、16. 解：(1)原式＝·＝.

(2)原式＝－＝＝＝－.

(3)原式＝a－b－＝a－b－a－b＝－2b.

(4)原式＝·＋＝＋＝.

17．解：(1)去分母，得x(x＋1)－(x²－1)＝2(x－1)，

去括号，得x²＋x－x²＋1＝2x－2，解得x＝3，

经检验，x＝3是原分式方程的解．

(2)去分母，得3x－(x＋2)＝0，解得x＝1,

检验：当x＝1时，x(x－1)＝0.

∴x＝1是原分式方程的增根，即原分式方程无解．

18．解：原式＝÷

＝÷

＝·＝.

当a＝时，原式＝＝.

19．解：任务一：三；分式的基本性质

任务二：否

－＝－

＝－＝－

＝＝＝－.

20．解：方程两边都乘(x－2)(x＋2)，得x(x＋2)－a(x－2)＝ x²，化简，得(a－2)x ＝2a.

①若分式方程去分母得到的方程无解，

则a－2＝0，解得a＝2.

②若分式方程有增根，则(x－2)(x＋2)＝0，解得

x＝2或x＝－2.

当x＝2时，2(a－2)＝2a，此时方程无解，舍去；

当x＝－2时，－2(a－2)＝2a ，解得a＝1.

综上所述，a的值为2或1.

21．解：(1)设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分，

根据题意，得－＝4，

解得x＝200，

经检验，x＝200是原方程的根，且符合题意．

答：小张跑步的平均速度为200米/分．

(2)不能，理由如下：

小张跑步的时间：2 400÷200＝12(分钟)，

小张骑车的时间：12－4＝8(分钟)．

∵12＋8＋6＝26＞25，

∴小张不能在电影开始前赶到电影院．

22．解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元．

根据题意，得＝3×，解得x＝60.

经检验，x＝60是原方程的根，且符合题意．

答：第一批头盔的进货单价为60元．

(2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×＝120(个)，

∵总利润不少于4 200元，

∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110.

答：销售单价至少为110元．

23．解：(1)是

(2)设的“关联分式”是N，则

－N＝·N.

∴·N＝.

∴N＝.

即分式的“关联分式”为.

(3)