第四章学情评估
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．24ab与4ab2的公因式是( )
A．1 B．4a C．4ab D．4ab2
2．下列从左到右的变形中是因式分解的是( )
A．x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1 B．x3＋x＝x(x2＋1)
C．(x－y)2＝x2－2xy＋y2 D．8x＝2×4x
3．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式(a＋1)的是( )
A．a2－1 B．a2＋a
C．a2－2a＋1 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
4．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是( )
A．(x＋y)(y－x)－4xy B．a2－2ab＋4b2
C．m2－m＋ D．(a－b)2－2a－2b＋1
5．将多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1 B．x2＋x＋1 C．x2－x－1 D．x2＋x－1
6．对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－15一定能( )
A．被2整除 B．被8整除
C．被m整除 D．被(2m＋5)整除
7．若多项式x2－ax＋12可因式分解为(x－3)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋b的值是( )
A．－11 B．－3 C．3 D．11
8．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a－b，m－n，8，a＋b，a2＋b2，m，分别对应下列六个字：太，原，我，爱，学，校．现将8m(a2－b2)－8n(a2－b2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱太原 B．爱太原 C．我爱学校 D．爱学校
9．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2＋2ab＋b2＝c2＋24，a＋b－c＝4，则△ABC的周长是( )
A．3 B．6 C．8 D．12
10．已知x＝a2＋b2＋20，y＝4(2b－a)，则x与y的大小关系是( )
A．x≥y B．x≤y C．x<y D．x>y
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．分解因式：x2＋x＝________．
12．一个长方形游泳池的面积是(x2－9)平方米(x>3)，长为(x＋3)米，则它的宽为________米．
13．若代数式x2－6x＋k是完全平方式，则k＝________．
14.已知x－y＝，xy＝4，则xy2－x2y＝________．
15．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形拼成一个大正方形(如图所示)，可得到一个因式分解的公式：________________________________．
(第15题)
三、解答题(共75分)
16．(8分) 因式分解：
(1) 4x2y－12xy; (2)9m2－25n2；
(3)－x2－4y2＋4xy; (4)16x2－(x2＋4)2.
17．(6分)利用因式分解计算：
(1)5352×4－4652×4; (2)1022＋102×196＋982.
18．(8分)下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
分解因式：(3x＋y)2－(x＋3y)2.
解：原式＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y)……第一步
＝(4x＋4y)(2x－2y)……第二步
＝8(x＋y)(x－y)……第三步
＝8(x2－y2)．……第四步
任务一：以上过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为____________；
任务二：①以上过程中，第________步出现错误，错误原因为____________；
②直接写出分解因式的正确结果．
19．(10分)已知x＋y＝4，x2＋y2＝14，求x3y－2x2y2＋xy3的值．
20.(10分)两名同学将一个二次三项式ax2＋bx＋c(其中a，b，c均为常数，且abc≠0)分解因式，一名同学因看错了一次项系数而分解成(x－1)(x－4)，另一名同学因看错了常数项而分解成(x－5)(x＋1)．
(1)求原多项式ax2＋bx＋c的二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值；
(2)将原多项式分解因式．
21. (8分)给出三个多项式：x3＋2x2－x，x3＋4x2＋x，x3－2x2，请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，再把结果因式分解．
22．(12分)观察猜想
如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的，请根据此图填空：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(______)(______)．
说理验证
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：
x2＋(p＋q)x＋pq＝x2＋px＋qx＋pq＝(x2＋px)＋(qx＋pq)＝____________________＝(______)(______)．
于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用
例题：把x2＋3x＋2因式分解．
解：x2＋3x＋2＝x2＋(2＋1)x＋2×1＝(x＋2)(x＋1)．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
(1)x2－7x＋12； (2)(y2＋y)2＋7(y2＋y)－18.
(第22题)
23．(13分)阅读与思考
-
给出下面五个等式：
32－12＝8＝8×1，
52－32＝16＝8×2，
72－52＝24＝8×3，
92－72＝32＝8×4，
112－92＝40＝8×5，
通过观察，可以得到结论：两个连续奇数的平方差一定能被8整除．
证明过程如下：
设这两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1(n为正整数)，
则(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)(依据：__________________)
＝4n×2
＝8n.
∵n为正整数，
∴8n一定能被8整除，
即两个连续奇数的平方差一定能被8整除．
(1)任务一：上面的“依据”是指________________________(用含字母a，b的式子表示)；
(2)任务二：事实上，任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数．请你给予证明；(提示：设这两个奇数分别为2m＋1，2n＋1(m，n均为整数，且m≠n))
(3)任务三：任意两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？如果是，请你给予证明；如果不是，请写出你认为正确的结论．
答案
一、1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.A
9．B 点拨：∵a2＋2ab＋b2＝c2＋24，
∴(a＋b)2－c2＝24.∴(a＋b＋c)(a＋b－c)＝24.
∵a＋b－c＝4，∴a＋b＋c＝6.
10．A 点拨：x－y＝a2＋b2＋20－8b＋4a＝(a＋2)2＋(b－4)2.∵(a＋2)2≥0，(b－4)2≥0，∴x－y≥0，
∴x≥y，故选A.
二、11.x(x＋1) 12.(x－3) 13.9 14.－2
15．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
三、16.解：(1)原式＝4xy(x－3)．
(2)原式＝(3m－5n)(3m＋5n)．
(3)原式＝－(x－2y)2.
(4)原式＝[4x－(x2＋4)] [4x＋(x2＋4)]＝－(x＋2)2(x－2)2 .
17．解：(1) 5352×4－4652×4＝4×(5352－4652)＝ 4×(535－465) (535＋465)＝4×70×1 000＝280 000.
(2)1022＋102×196＋982＝1022＋2×102×98＋982＝(102＋98)2＝40 000.
18．解：任务一：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
任务二：①四；进行乘法运算的过程多余
②8(x＋y)(x－y)．
19．解：∵x＋y＝4，∴(x＋y)2＝16.∴x2＋y2＋2xy＝16.
∵x2＋y2＝14，∴xy＝1.
∴x3y－2x2y2＋xy3＝xy(x2－2xy＋y2)＝1×(14－2×1)＝12.
20．解：(1)∵一名同学因看错了一次项系数而分解成(x－1)(x－4)，且(x－1)(x－4)＝x2－5x＋4，
∴a＝1，c＝4.
∵另一名同学因看错了常数项而分解成(x－5)(x＋1)，且(x－5)(x＋1)＝x2－4x－5，
∴a＝1，b＝－4.∴a＝1，b＝－4，c＝4.
(2)x2－4x＋4＝(x－2)2.
21．解：x3＋2x2－x＋x3＋4x2＋x＝x3＋6x2＝x2(x＋6)．
(或x3＋2x2－x＋x3－2x2＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x＋1)(x－1)或x3＋4x2＋x＋x3－2x2＝x3＋2x2＋x＝x(x2＋2x＋1)＝x(x＋1)2.)
22．解：观察猜想 x＋p；x＋q
说理验证 x(x＋p)＋q(x＋p)；x＋p；x＋q
尝试运用 (1)原式＝(x－3)(x－4)．
(2)原式＝(y2＋y＋9)(y2＋y－2)＝(y2＋y＋9)(y＋2)(y－1)．
23．(1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)证明：设这两个奇数分别为2m＋1，2n＋1(m，n均为整数，且m≠n)．
(2m＋1)2－(2n＋1)2
＝(2m＋1＋2n＋1)(2m＋1－2n－1)
＝(2m＋2n＋2)(2m－2n)
＝4(m＋n＋1)(m－n)．
∵m，n为整数，且m≠n，
∴m＋n＋1和m－n中必有一个奇数和一个偶数，
∴(m＋n＋1)(m－n)一定是偶数，
∴4(m＋n＋1)(m－n)一定能被8整除，
即任意两个奇数的平方差一定是8的倍数．
(3)解：不是．任意两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．