第三章学情评估

一、选择题(每题3分，共30分)

1．将点A(－5，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是(　　)

A．(8，－2) B．(－2，－2) C．(－5，1) D．(－8，－2)

2．下列图形中，是中心对称图形的是(　　)

3．如图所示的四个图形中，能通过基本图形平移得到的图形有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

(第3题)

4．如图，将△ABC沿BC方向平移1 cm得到对应的△A′B′C′.若B′C＝2 cm，则BC′的长是(　　)

(第4题)

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm

5．如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC＝3，OD＝4，则AB的长可能是(　　)

A．3 B．4 C．7 D．11

(第5题)

6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则其旋转中心的坐标是(　　)

(第6题)

A．(1.5，1.5) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1.5，－0.5)

7. 如图，在△AOB中，BO＝，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′，连接BB′，则线段BB′的长度为(　　)

(第7题)

A．1 B. C. D.

8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为(　　)

A．9 B．3 C．4 D．5

(第8题)

9．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，使点C的对应点D恰好落在边AB上，点E为点B的对应点．设∠BAC的度数为α，则∠BED的度数为(　　)

(第9题)

A．α B.α C.α D. α

10．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴； 线段OP的长度称为极径．点P的极坐标可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度(规定逆时针方向转动角度为正)来确定，即P(3，60°)或P(3，－300°)或P(3，420°)等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是(　　)

(第10题)

A．Q(3，240°) B．Q(3，－120°)

C．Q(3，600°) D．Q(3，－500°)

二、填空题(每题3分，共15分)

11．点P(－5，8)关于原点对称的点的坐标是________．

12．已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(－2，1)，则点B的对应点的坐标为________．

13．数学课上，老师要求在正方形纸上设计一个图案并写出设计步骤，小明的设计图案如图③所示，请你补全设计步骤：①将正方形均分八等份后画出一个四边形(如图①) ；②画出与第一个四边形关于正方形对角线的交点________的图形(如图②) ；③将图②中的图形绕正方形对角线的交点顺时针旋转________(不超过180°)得到完整图形．

(第13题)

14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，将Rt△ABC沿CB方向平移得到Rt△DEF，若BF＝2，DG＝，则阴影部分的面积为________．

(第14题)　　　　　　 (第15题)

15．如图，等边三角形ABC内有一点E，BE＝4，CE＝6，当∠AEB＝150°时，AE的长为________．

三、解答题(共75分)

16．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝50°，点D在斜边AB上．如果△ABC经过顺时针旋转后与△EBD重合，那么这一旋转的旋转中心是哪个点？旋转角是多少度？

(第16题)

17．(8分)如图，△ABC，△CEF都是由△BDE平移得到的，A，C，F三点在同一直线上，∠D＝70°，∠BED＝45°.

(第17题)

(1)BE＝AF成立吗？请说明理由；

(2)求∠ECF的度数．

18．(8分)如图是正在进行的俄罗斯方块游戏(网格由边长为1个单位长度的小正方形组成)，现出现一“T”形组合块向下运动．

(1)若该“T”形组合块向下平移了5个单位长度，请在图中画出平移后的图形(画上阴影)；

(2)为了使所有图案消除，在(1)的平移基础上还需进行怎样的平移？(俄罗斯方块游戏规则：①当方块排列成完整的一行时，该行便可消除；②方块在下落过程中，若碰到下方已有的方块便不可移动)

(第18题)

19．(10分)已知：如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．

(1)作出△ABC向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的△A₁B₁C₁，并直接写出C₁点的坐标；

(2)作出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂，并直接写出C₂点的坐标；

(3)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A₃B₃C₃，并直接写出B₃点的坐标．

(第19题)

20．(10分)在平面直角坐标系中，O为原点，点A(0，2)，B(－2，0)，C(4，0)．

(1)如图①，三角形ABC的面积为________；

(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D.

①求三角形ACD的面积；

②点P(m，3)是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积，请直接写出点P的坐标．

(第20题)

21．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，AC上，CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF.

(1)补充图形；

(2)若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°.

(第21题)

22．(11分)如图①所示，△ABC，△ECD都是等边三角形，点E在BC上．

(1)试确定AE，BD之间的大小关系；

(2)如果把△ECD绕点C按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，那么(1)中的结论还成立吗？请说明理由．

(第22题)

23．(12分)综合与实践——探索图形平移中的数学问题

问题情境：如图①，已知△ABC是等边三角形，AB＝6，点D是AC边的中点，以AD为边，

在△ABC外部作等边三角形ADE.

操作探究：将△ADE从图①的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′.

(1)如图②，善思小组的同学画出了BA′＝BD′时的情形，求此时△ADE平移的距离；

(2)如图③，点F是BC的中点，在△ADE平移的过程中，连接E′F交射线AC于点O，敏学小组的同学发现OE′＝OF始终成立，请你证明这一结论．

拓展延伸：(3)请从A，B两题中任选一题作答．

A．在△ADE平移的过程中，直接写出以 F，A′，D′为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离；

B．在△ADE平移的过程中，直接写出以 F，D′，E′为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE平移的距离．

(第23题)

答案

一、1.B　2.B　3.B　4.C　5.C　6.C　7.D　8.B　9.D　10.D

二、11.(5，－8)　12.(－1，－1)　13.中心对称；90°

14.　思路点睛：将阴影部分的面积转化为四边形ACEG的面积求解即可．

15．2　点拨：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°.如图，将△ABE绕点A逆时针旋转60°，使得E的对应点是F，连接EF，则B的对应点是C，

(第15题)

∴AF＝AE，∠EAF＝60°，

∠AFC＝∠AEB＝150°，CF＝BE＝4，

∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，∠AFE＝60°，

∴∠CFE＝90°，∴EF²＝CE²－CF²＝20，

∴EF＝2(负值已舍去)，∴AE＝2.

三、16.解：旋转中心是点B.

∵∠A＝50°，∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°－50°＝40°，∴旋转角为40°.

17. 解：(1)成立．理由：∵△ABC，△CEF都是由△BDE平移得到的，

∴AC＝BE，CF＝BE，

∴BE＝(AC＋CF)＝AF.

(2)∵∠D＝70°，∠BED＝45°，

∴∠DBE＝180°－70°－45°＝65°.

∵△CEF是由△BDE平移得到的，

∴∠ECF＝∠DBE＝65°.

18．解：(1)平移后的图形如图所示．

(第18题)

(2)先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度．

19．解：(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求．C₁(1，－2)．

(第19题)

(2)如图，△A₂B₂C₂即为所求．C₂(－1，1)．

(3)如图，△A₃B₃C₃即为所求．B₃(－3，－4)．

20．解：(1)6

(2)①连接OD，由题意得D(5，4)．

S_△ACD＝S_△AOD＋S_△COD－S_△AOC

＝×2×5＋×4×4－×2×4＝9.

②P(－4，3)或P(4，3) .

21．(1)解：如图所示．

(第21题)

(2)证明：由旋转的性质，

得∠DCF＝90°，DC＝FC，

∴∠DCE＋∠ECF＝90°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCE＋∠BCD＝90°.∴∠ECF＝∠BCD.

∵EF∥DC，∴∠EFC＋∠DCF＝180°.

∴∠EFC＝90°，

在△BDC和△EFC中，

∴△BDC≌△EFC.∴∠BDC＝∠EFC＝90°.

22．解：(1)∵△ABC和△ECD都是等边三角形，

∴AC＝ BC，∠ACB＝∠ECD＝60°，CE＝CD，

∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD.

(2)成立．理由如下：

由(1)知AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACE＝∠BCD.

∴△ACE≌△BCD，∴AE＝BD.

23．(1)解：∵△ABC是等边三角形，AB＝6，

∴∠BAC＝∠BCA，AC＝AB＝BC＝6.

∵BA′＝BD′，∴∠BA′D′＝∠BD′A′，

∵∠BA′D′＋∠BA′A＝∠BD′A′＋∠BD′C＝180°，

∴∠BA′A＝∠BD′C，

∴△BA′A≌△BD′C，∴AA′＝CD′.

∵点D是AC边的中点，∴AD＝AC＝3.

∵△ADE沿射线AC的方向平移得到△A′D′E′，

∴A′D′＝AD＝3.∴AA′＝CD′＝(AC－A′D′)＝1.5.

∴△ADE平移的距离为1.5.

(2)证明：∵△ABC与△ADE是等边三角形，

∴∠DAE＝∠BCA＝60°，AE＝AD.

由(1)得，AD＝AC，AC＝BC.

∵点F是BC边的中点，∴CF＝BC＝AD＝AE.

∵△ADE沿射线AC的方向平移得到△A′D′E′，

∴A′E′＝AE＝CF，∠D′A′E′＝∠DAE＝∠BCA，

∵∠E′OA′＝∠FOC，∴△E′OA′≌△FOC，∴OE′＝OF.

(3)解：(答案不唯一)选A.平移的距离为1.5或4.5.