第19章学情评估
一、选择题(每题3分，共24分)
1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
2．如图，矩形ABCD中，若AC＝2AB，则∠AOB的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
(第2题) 
(第4题) 
(第5题)
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形
4．如图，矩形ABCD中，AC＝20，BC＝16，则图中五个小矩形的周长之和为( )
A．32 B．36 C．40 D．56
5．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，P、Q分别是边BC、AD上的点，且四边形APCQ是菱形，则该菱形的面积为( )
A．128 B．48 C．60 D．80
6．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连结BF，则∠AFB＝( )
A．22.5° B．25° C．30° D．不能确定
(第6题) 
(第7题)
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝7，BC＝9，M是BC上的点，且CM＝2，将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点C′处，折痕为MN，则线段PA的长是( )
A．4 B．5 C．6 D．6.5
8．正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3，A4B4C4D4的边长分别为2，4，6，4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点A2，A3，A4分别是正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3的对角线的交点，则阴影部分的面积和为( )
A．12 B．13 C．14 D．18
(第8题) 
(第9题)
二、填空题(每题3分，共18分)
9．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB＝AC；③BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．
10．如图，点M是正方形ABCD内位于对角线BD上方的一点，∠1＝∠2，则∠AMD的度数为________．
(第10题)
11．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，BC＝3.若将其沿直线MN折叠，则点C与点A重合，此时CN的长为________．
(第11题) 
(第12题)
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，F在BC上，BFFC＝13，则△DEF的面积为________．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AE平分∠BAD交BC于点E，且BO＝BE，连结OE，则∠BOE＝________．
(第13题)
14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，P为边BC上一点，且P不与点B，C重合，过P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为________．
(第14题)
三、解答题(15、16题每题8分，17～21题每题10分，22题12分，共78分)
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形．
(第15题)
16．如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连结DE，BF，求证：∠ABF＝∠CDE.
(第16题)
17．如图，在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDF.求证：BE＝BF.
(第17题)
18．如图①②③均是5×5的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法)
(第18题)
(1)在图①中以线段AB为边画一个正方形ABCD.
(2)在图②中以线段AB为边画一个菱形ABEF.
(3)在图③中以A，B为顶点画一个平行四边形．
19．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连结PE，PB.
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；
(2)求出△BPE周长的最小值．
(第19题)
20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别相交于点E，F，连结DE，BF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)如果BD⊥EF，求证：四边形BEDF是菱形．
(第20题)
21．已知四边形ABCD是正方形，点E在DA的延长线上，连结CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.
(1)如图①，求证：CE＝BH；
(2)如图②，若AE＝AB，连结CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．
(第21题)
22．在▱ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，F，G，H四点，连结EG，GF，FH，HE.
(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；
(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，且AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．
(第22题)
答案
一、1.D 2.C 3.D 4.D 5.D 6.A
7．B 点拨：连结PM，设PA＝x(0≤x≤7)，
∵AB＝7，BC＝9，CM＝2，∴PB＝7－x，BM＝7.
由折叠性质可知，PC′＝CD＝7，C′M＝CM＝2，
在Rt△PBM中，PB2＋BM2＝PM2，即PM2＝(7－x)2＋72.在Rt△PC′M中，C′P2＋C′M2＝PM2，即PM2＝72＋22，∴(7－x)2＋72＝72＋22，解得x＝5或x＝9(舍去)，∴PA＝5.
8．C
二、9.② 10.135° 11. 12.5 13.75°
14．4.8 点拨：连结OP.∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝＝10.∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP.当OP⊥BC时，OP最小，即EF最小．此时S△OBC＝OB·OC＝BC·OP，∴OP＝4.8，∴EF的最小值为4.8.
三、15.证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴四边形CFDE是矩形．∵CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，∴四边形CFDE是正方形．
16．证明： ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD, AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在△ABF和△CDE中，
∵AB＝CD，∠BAF＝∠DCE，AF＝CE，
∴△ABF≌△CDE，∴∠ABF＝∠CDE.
17．证明： ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C.在△ADE和△CDF中，
∵∠A＝∠C，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，∴AE＝CF.
∵AB＝CB，∴AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF.
18．解：(1)如图①，四边形ABCD即为所求作．
(2)如图②，四边形ABEF即为所求作．
(3)如图③，四边形ABGH即为所求作．
(第18题)
19.
(第19题)
解：(1)如图，连结DE，交AC于点P′，连结BP′，则此时P′B＋P′E的值最小，即当点P在P′处时，△BPE的周长最小．
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴B，D关于AC对称，∴BP′＝DP′，∴P′B＋P′E＝DE.
∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6，∴AD＝AB＝6＋2＝8，
∴DE＝＝10，∴PB＋PE的最小值是10，
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12.
20．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD.∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO.
∴△EAO≌△FCO，∴AE＝CF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.由(1)知AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形．
21．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，
∠BCD＝∠ADC＝90°.∵BM⊥CE，∴∠HMC＝90°＝∠ADC，∴∠H＋∠HCM＝90°＝∠E＋∠ECD，∴∠H＝∠E.在△EDC和△HCB中，∵∠E＝∠H，∠EDC＝∠HCB＝90°，CD＝BC，∴△EDC≌△HCB，∴CE＝BH.
(2)解：△BCG，△DCF，△DHF，△ABF.
22．解：(1)四边形EGFH是平行四边形．
理由：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴点O是▱ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO，∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)菱形
(3)四边形EGFH是正方形．理由：∵AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，OB＝OC.∵AC⊥BD，∴矩形ABCD是正方形，∠BOC＝90°.∴∠GBO＝∠FCO＝45°.
∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°，∴∠BOG＝∠GOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF＝∠COF，∴△BOG≌△COF，∴OG＝OF，易得GH＝EF.又∵四边形EGFH是菱形，
∴四边形EGFH是正方形．