期末学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(　　)

2．若分式的值为0，则x的值为(　　)

A．4 B．－4 C．4或－4 D．0

3．不等式组的解集是(　　)

A．x＞3 B．x≥3 C．0≤x＜3 D．无解

4．下列因式分解正确的是(　　)

A．a²＋b²＝(a＋b)²

B．5m²－20mn＝m(5m－20n)

C．－x²＋y²＝(y－x)(x＋y)

D．a³－a＝a(a²－1)

5．下列不等式变形错误的是(　　)

A．若a＞b，则1－a＜1－b

B．若a＜b，则ax²≤bx²

C．若ac＞bc，则a＞b

D．若m＞n，则＞

6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，E是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　)

A．OE＝AB B．OB＝OD

C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE

(第6题)　　 (第7题)

7．如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后的对应点为P₁，将点P₁绕原点顺时针旋转180°后，得到的对应点为P₂，则点P₂的坐标为(　　)

A．(2.8，3.6) B．(－2.8，－3.6)

C．(3.8，2.6) D．(－3.8，－2.6)

8．如图，现有一块三角尺ABC，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，将该三角尺沿BC边翻转得到△A′BC，再将△A′BC沿A′C边翻转得到△A′B′C，则A与B′两点之间的距离为(　　)

A．8 B．16 C．8 D．16

9．我国古代著作《四元玉鉴》记载的“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6 210文(不含运费)．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(　　)

A．3(x－1)＝ B.＝3

C．3x－1＝ D.＝3

10．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为一组邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为(　　)

A．6 B．8 C．2 D．4

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，应假设________．

12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，ED是AB边的垂直平分线，垂足为D，交BC边于点E，连接AE，则△ACE的周长为________．

(第12题)　　 (第13题)

13．如图，已知函数y＝kx＋2与函数y＝mx－4的图象交于点A(－3，－2)，根据图象可知不等式kx＋2＜mx－4的解集是________．

14．一个机器人在平地上按如图设置的程序行走，则该机器人从开始到停止所行走的路程为________．

15．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A(a，b)，B(a－1，b＋2)，C(3，1)，则点D的坐标是________．

16．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为_______________________________________________．

三、解答题(本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)解方程：＋＝5.

18．(8分)解不等式组：并把解集在数轴上表示出来.

19．(8分)先化简，再求值：

20．(8分)如图，A，B，C三点均在10×10的正方形网格格点上(图中网格线的交点就是格点)．

(1)画出△ABC向右平移4格，再向下平移4格得到的△A₁B₁C₁；

(2)画出△ABC绕点C顺时针旋转180°得到的△A₂B₂C；

(3)在(1)(2)的条件下，四边形A₁B₁A₂B₂是否为中心对称图形？若是，请在图中标出它的对称中心P；若不是，请用所学知识简要说明理由．

21．(8分)如图，在△ABC中，∠CAB＝3∠B.

(1)在BC上求作一点P，使得PA＝PB；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，求证：△CAP是等腰三角形．

22．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．

(1)求证：∠ADE＝∠DFC；

(2)求证：CD＝BF.

23．(10分)毛笔书法是中国特有的一种传统艺术．某校书法兴趣小组计划购进一批毛笔，已知每支乙种毛笔的价格比每支甲种毛笔的价格多10元，且用600元购买甲种毛笔的数量与用1 000元购买乙种毛笔的数量相等．

(1)求甲、乙两种毛笔每支分别为多少元；

(2)若要求购进甲、乙两种毛笔共50支，且乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量的2倍，试求购买这两种毛笔总费用的最小值．

24. (12分)如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且F恰好为边AD的中点，连接AE.

(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；

(2)过点A作AG⊥BE于点G，BC＝6，AG＝2，求EF的长．

25. (14分)将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，此时点A，D，E在同一条直线上，连接DE，AB.

(1)如图①，求∠AEB的度数；

(2)如图②，CM为△CDE中DE边上的高，探究线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，在正方形ABCD中，AB＝.若点H满足HD＝1且∠BHD＝90°，请直接写出点A到BH的距离．

答案

一、1.D　2.A　3.C　4.C　5.C　6.D　7.A　8.C　9.A

10．D

二、11.∠B＝∠C　12.16　13.x＜－3

14．32 m　点拨：该机器人所经过的路径是一个正多边形，360°÷45°＝8，则所行走的路程为4×8＝32(m)．

15. (4，－1)　16.m>－6且m≠－4

三、17.解：去分母，得x－2－1＝5(x－3)，

解得x＝3，检验：当x＝3时，x－3＝0，

∴x＝3是原分式方程的增根，

∴原分式方程无解．

18. 解：

解不等式①，得x>－3.

解不等式②，得x≤2，

所以不等式组的解集为－3<x≤2.

不等式组的解集在数轴上表示如图．

19. 解：原式＝·＝·＝.当a＝＋1时，原式＝＝－.

20. 解：(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求．

(2)如图，△A₂B₂C即为所求．

(3)四边形A₁B₁A₂B₂是中心对称图形，如图，点P即为所求．

21. (1)解：如图，点P即为所求．

(2)证明：∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠B，∴∠APC＝2∠B，

∵∠CAB＝3∠B，∴∠CAP＝∠CAB－∠PAB＝3∠B－∠B＝2∠B，∴∠CPA＝∠CAP，

∴CA＝CP，∴△CAP是等腰三角形．

22. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.

∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，

∴∠EDF＝90°，∴∠ADE＋∠CDF＝90°，

∴∠ADE＝∠DFC.

(2)连接AE.∵线段EF是由线段AB平移得到的，

∴EF∥AB，EF＝AB，

∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF，

∴∠DAE＝∠ACB＝90°，∴∠DAE＝∠FCD.

∵△EFD是等腰三角形，∴DE＝DF.

在△ADE和△CFD中，

∴△ADE≌△CFD，

∴AE＝CD.∵AE＝BF，∴CD＝BF.

23. 解：(1)设甲种毛笔每支为a元，则乙种毛笔每支为(a＋10)元．根据题意可得＝，解得a＝15.

经检验a＝15是原方程的解，且符合实际，a＋10＝25.

答：甲、乙两种毛笔每支分别为15元、25元．

(2)设购进甲种毛笔x支，总费用为W元，由题意可得W＝15x＋25×(50－x)＝－10x＋1 250.

∵乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量的2倍，

∴50－x≥2x，解得x≤16.

∵x为正整数，∴x最大为16.

∵－10＜0，∴W随x的增大而减小，

∴当x＝16时，W最小，最小值为－10×16＋1 250＝1 090.

答：购买这两种毛笔总费用的最小值是1 090元．

24. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠ABF＝∠DEF.

∵F恰好为边AD的中点，∴AF＝DF.

∵∠AFB＝∠DFE，

∴△ABF≌△DEF，∴DE＝AB.

又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形．

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC＝6，AD∥CB，∴∠AFB＝∠CBF.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，

∴∠AFB＝∠ABE，∴AF＝AB.

∵AG⊥BF，∴BF＝2FG.

易知AF＝3，∴FG＝＝＝，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴EF＝BF＝2FG＝2 .

25. 解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∠CDA＝∠CEB，

∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠CEB＝∠CDA＝135°，∴∠AEB＝135°－45°＝90°.

(2)AE＝2CM＋BE.

理由：在等腰直角三角形DCE中，

∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM.∴CM＝DE.

由已知易得AD＝BE，∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.

(3)或.

点拨：情况1：当点H在如图①所示位置时，连接AH，

并在BH上取一点E，使BE＝DH＝1，连接AE.

易证△ABE≌△ADH，∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH，

∴∠EAH＝∠EAD＋∠DAH＝∠EAD＋∠BAE＝90°.

∴△AEH为等腰直角三角形．过点A作AF⊥BH于点F，连接BD.由已知易得BC＝CD＝，∠C＝90°，

∴BD＝2.在Rt△BHD中，BH＝＝.

由(2)的结论类比可得，BH＝2AF＋DH，

∴＝2AF＋1，∴AF＝.

∴点A到BH的距离为.

情况2：当点H在如图②所示位置时，连接CH，

并在BH上取一点E，使BE＝DH＝1，连接CE.

过点C作CF⊥BH于点F，过点A作AG⊥BH于点G.由情况1同理可得CF＝.易证△ABG≌△BCF，

∴AG＝BF＝BE＋EF.易知CF＝EF，

∴AG＝1＋＝.

∴点A到BH的距离为.

综上所述，点A到BH的距离为或.