期末学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)

1．下列计算正确的是(　　)

A．(2a²)³＝6a⁶ B．－a²b²·3ab³＝－3a²b⁵

C.＋＝－1 D.·＝－1

2．厦门市中小学开展了红色经典故事演讲比赛，某参赛小组6名同学的成绩分别为85，82，86，82，83，92，关于这组数据，下列说法错误的是(　　)

A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85

3．下列选项中，不正确的是(　　)

A．某种细胞的直径是0.000 067 cm，将0.000 067用科学记数法可表示为6.7×10^－5

B．若函数y＝有意义，则x≠±3

C．分式化为最简分式为

D．(－1)⁰－＝2 025

4．已知一次函数y₁＝ax＋b与反比例函数y₂＝的图象如图所示，当y₁<y₂时，x的取值范围是(　　)

(第4题)

A．x<2 B．x>5

C．2<x<5 D．0<x<2或x>5

5．已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为(　　)

A．k>1，b<0 B．k>1，b>0 C．k>0，b>0 D．k>0，b<0

6．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110 km，B，C两地间的距离为100 km，甲骑自行车的平均速度比乙快2 km/h，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x km/h.由题意列出方程为(　　)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．5

(第7题)　　　 (第8题)

　　　

8．如图，点A在x轴的负半轴上，点C在反比例函数y＝(x>0)的图象上，AC交y轴于点B，若点B是AC的中点，△AOB的面积为3，则k的值为(　　)

A．10 B．11 C．12 D．13

9．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE折叠至△AFE处，延长EF交BC于点G，连结AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③S_△EGC＝S_△AFE；④∠AGB＋∠AED＝145°.其中正确的个数是(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

(第9题)　　　 (第10题)

10．如图①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是(　　)

A．10 B．12 C．14 D．16

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

11．函数y＝中，自变量x的取值范围是________．

12.＋(－1)^{2 024}＋(6－π)⁰－＝________．

13．已知非零实数a，b满足b＝，则的值等于________．

14．学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们成绩的平均数及方差如下表：

	甲	乙
平均数(环)	9.5	9.5
方差	0.035	0.015

请你根据表中的数据选一人参加比赛，较适合的人选是________．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则ED的长为________．

(第15题)

16.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO.若∠BOC＝60°，FO＝FC，则下列结论：

　(第16题)

①AE＝CF；②四边形BFDE是菱形；③BF垂直平分线段OC；

④BE＝3AE.

其中结论正确的是________．(填序号)

三、解答题(本题共9小题，共86分)

17．(8分)解方程：－＝1.

18．(8分)化简－÷，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．

19．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连结BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.

　(第19题)

(1)求证：四边形ABCD为菱形；

(2)若OA＝4，OB＝3，求CE的长．

20．(8分)

如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1	某公司承接到21 600个旅行包的订单，策划部准备将其分配给甲、乙两个车间去完成．由于设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2	经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相同数量的工人．为了使抽走工人后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数就需要提高20%.因此，策划部决定将甲车间每天工资提高到3 400元，乙车间每天工资提高到1 560元．
问题解决
任务1	确定工作效率	甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2	探究抽走人数	甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3	确定设计方案	如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？

21．(8分)如图，已知正方形ABCD，点E在边AD上，且EB＝EC.

(第21题)

(1)用无刻度的直尺和圆规作出点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹)

(2)连结CE交BD于点F，连结AF和BE，求证：AF⊥BE.

22.(10分)阅读材料，并完成任务．

庞加莱和他的面包

亨利·庞加莱是法国著名数学家、天体力学家、物理学家、科学哲学家，是一位当之无愧的全才．庞加莱家庭背景显赫，他自己也很早就事业有成，不过作为一名整天和数字、公式打交道的人，庞加莱一直有严谨、仔细的习惯，哪怕日常生活中一些小事，他也都认真对待．

(第22题)

有一段时间，庞加莱每天从家附近的面包店买一条标注1 kg的面包．回到家后，庞加莱会给面包称重．第一周称重的数据(单位：g)分别是940，955，960，950，950，945，950.

经过计算发现，这组数据的平均数为a g，中位数为b g，众数为c g．也就是说，面包店老板在每条面包上都克扣了．庞加莱认为面包店老板的这种行为与小偷小摸无异，于是选择了报警．

在铁一般的事实面前，面包店老板只好承认自己的过错，并当着庞加莱和警察的面发誓，以后一定不再缺斤少两．经过这次事件后，庞加莱继续在这家面包店买面包，每次买回家后他也依然像过去那样重新称重．经过一段时间后，庞加莱又发现情况不对．第二周他称重的数据(单位：g)分别是1 049，1 050，1 054，1 053，1 047，1 051，1 046.

显然这些面包的质量都超过了1 kg，也就是说，庞加莱买到的面包都略重，这下他该满意了吧！可是，庞加莱还是把面包店老板举报了！

请同学们思考一下，庞加莱为什么再次举报面包店呢？原来，庞加莱计算了两组称重数据的方差，分别为：第一组数据：d；第二组数据：e，发现两组数据的方差相差悬殊．庞加莱认为方差可以代表面包师的技术水平，任何一位面包师的技术水平不可能一夜之间突飞猛进，所以他认为面包店老板并没有改变，极有可能是每次他去买面包，老板都会拿出早已准备好的面包卖给他．

任务一：【整理数据】

故事中的a＝__________，b＝__________，c＝__________，d＝__________，e＝__________；

任务二：【分析数据】

请从平均数、众数、中位数三个量中任选一个量，分析数学家庞加莱第一次选择报警的原因．

23．(10分)随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元，今年该型号自行车每辆售价预计比去年降低200元，若该型号自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10%.

(1)A型自行车去年每辆售价为多少元？

(2)该车行今年计划新进一批A型自行车和新款B型自行车共60辆(两种型号都要进)，且B型自行车的进货数量不超过A型自行车数量的2倍．已知A型自行车和B型自行车每辆的进货价格分别为1 500元和1 800元，计划B型自行车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？

24.(12分)如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(0，－3)，反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过点A，C.

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．

(第24题)

25．(14分)如图①，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.

(1)探究PG与PC的位置关系(直接写出结论，不需要证明)；

(2)如图②，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°.探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明；

(3)如图③，将图②中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变．你在(2)中得到的结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．

(第25题)

答案

一、1.C　2.C　3.D　4.D　5.A　6.A　7.B　8.C　9.C

10．B

二、11.x≠2　12.1　13.　14.乙　15.　16.①②③

三、17.解：去分母，得x－3＝3x－3，解得x＝0.

检验：当x＝0时，3x－3＝－3≠0.

所以x＝0是原方程的解．

18．解：原式＝－·＝－＝＝.

不等式x≤2的非负整数解有0，1，2，

因为当x＝1时原式无意义，所以x可取0或2.

所以当x＝0时，原式＝＝2(或当x＝2时，原式＝＝)．

19．(1)证明：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形，∠DCA＝∠BAC.

∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝CD，∴四边形ABCD为菱形．

(2)解：∵四边形ABCD为菱形，OA＝4，OB＝3，

∴AC⊥BD，AC＝2AO＝8，BD＝2OB＝6，

∴AB＝＝＝5.

∵S_菱形ABCD＝AC·BD＝AB·CE，

∴5CE＝×8×6，∴CE＝.

20．解：任务1：设乙车间原来每天生产x个旅行包，则甲车间原来每天生产2x个旅行包，由题意得－＝18，解得x＝600，所以2x＝1 200.

答：甲车间原来每天生产1 200个旅行包，乙车间原来每天生产600个旅行包．

任务2：由题意知甲车间共有＝20(人)，乙车间共有＝15(人)，甲车间剩下的工人每人每天生产旅行包60×(1＋20%)＝72(个)，乙车间剩下的工人每人每天生产旅行包40×(1＋20%)＝48(个)．

设甲、乙每个车间被抽走a人，则72(20－a)＋48(15－a)＝1 200＋600，解得a＝3.

答：甲、乙每个车间被抽走了3人．

任务3：设甲工作m天，乙工作n天，支付的总工资为W元，其中m，n为自然数，

则72×(20－3)m＋48×(15－3)n＝21 600，

整理，得17m＋8n＝300，所以m＝.

所以W＝3 400m＋1 560n＝－40n＋60 000.

因为－40<0，所以W随n的增大而减小，所以当n最大时，W的值最小．

易知当m＝4时，n取最大值29，

此时W＝－40×29＋60 000＝58 840.

答：当甲车间安排4天，乙车间安排29天时，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58 840元．

21．(1)解：如图，点E即为所求．

(第21题)

(2)证明：设AF交BE于点O，如图．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，∠ABC＝90°.

∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF.

∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠BAF＝∠EBC.

∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠BAF＋∠ABE＝90°，

∴∠AOB＝90°，∴AF⊥BE.

22．解：任务一：950；950；950；；

任务二：平均数为950 g，小于面包规定质量1 kg，面包店老板在每条面包上平均克扣50 g，属于欺诈行为，所以庞加莱选择了报警．(答案不唯一)

23．解：(1)设A型自行车去年每辆售价为x元，则今年每辆售价为(x－200)元，

由题意，得＝，解得x＝2 000.

经检验，x＝2 000是原方程的解．

答：A型自行车去年每辆售价为2 000元．

(2)设今年新进A型自行车a辆，获利y元．

由题意，得y＝(2 000－200－1 500)a＋(2 400－1 800)·(60－a)＝－300a＋36 000.

因为B型自行车的进货数量不超过A型自行车数量的2倍，所以60－a≤2a.所以a≥20，所以20≤a<60.

因为－300<0，所以y随a的增大而减小，

所以当a＝20时，y最大．

此时B型自行车的进货数量为60－20＝40(辆)．

答：当新进A型自行车20辆，B型自行车40辆时，才能使这批自行车获利最多．

24．解：(1)∵点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(0，－3)，

∴AB＝5.∵四边形ABCD为正方形，

∴BC＝AB＝5，∴点C的坐标为(5，－3)．

∵反比例函数y＝的图象经过点C，

∴－3＝，解得k＝－15.

∴反比例函数的表达式为y＝－.

∵一次函数y＝ax＋b的图象经过点A，C，

∴解得

∴一次函数的表达式为y＝－x＋2.

(2)设点P的坐标为(x，y)．

∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，

∴×OA·|x|＝5².∴×2·|x|＝25.

解得x＝±25.当x＝25时，y＝－＝－；

当x＝－25时，y＝－＝.

∴点P的坐标为或.

25．解：(1)PG与PC的位置关系是PG⊥PC.

(2)猜想：PG与PC的位置关系是PG⊥PC.

证明：如图①，延长GP交DC于点H.

∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP.

由题意可知DC∥GF，∴∠GFP＝∠HDP.

又∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP.

∴GP＝HP，GF＝HD.

∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB.

∵四边形BEFG是菱形，∴GB＝GF.∴GB＝HD.

∴CG＝CH.又∵GP＝HP，∴PG⊥PC.

(3)猜想：在(2)中得到的结论仍成立．

证明：如图②，延长GP到点H，使PH＝PG，

连结CH，CG，DH.

∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP.

又∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP.

∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP.

由题意易知CD∥EF，∴∠PFE＝∠PDC.

又∵易知∠GFP＋∠PFE＝180°－60°＝120°，

∴∠CDH＝∠HDP＋∠PDC＝120°.

∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB.

∵点A，B，G在一条直线上，∠ABC＝60°，

∴∠GBC＝120°.∴∠CDH＝∠GBC.

∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝GB，

∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG.

又∵PH＝PG，∴PG⊥PC.

(第25题)