第一章学情评估

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．在下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的是(　　)

A．2，2，4 B．3，4，5 C．6，7，8 D．2 ，3，6

2．若一个等腰三角形的顶角为60°，则它的一个底角的度数为(　　)

A．40° B．50° C．60° D．70°

3．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(　　)

A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC

(第3题)　　　　 (第4题)

4．莆田绶溪公园内的状元阁以北宋藏书楼太清楼为原型，参考结合了莆田现存的宋制建筑，采用钢硂结构和仿宋形式进行建设．如图，状元阁的顶端可看作等腰三角形ABC，其中AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　)

A．∠ADB＝∠ADC B．BD＝CD

C．BC＝2AD D．S_△ABD＝S_△ACD

5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝125°，则∠A的度数为(　　)

A．70° B．80° C．90° D．55°

6．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是(　　)

A．一定相等 B．当BD＝CD时相等

C．一定不相等 D．当DE＝DF时相等

(第6题)　　　 (第7题)

7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC＝6，则CD的长为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知△ABC(AC<BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是(　　)

9．如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝126°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数是(　　)

A．36° B．45° C．46° D．48°

(第9题)　　 (第10题)

10．如图，在△ABC中，BD，BE分别是AC边上的高和∠ABC的平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；② 2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C，其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)

11．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是____________________________，它是________(填“真”或“假”)命题．

12．如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把橡皮筋的中点C向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了________cm.

(第12题)　　 (第13题)

13．图①是两名同学玩跷跷板的场景，图②是跷跷板示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．若A端落地时，∠OAC＝25°，则跷跷板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是________．

14．如图，正方形的网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两个格点，若点C也是格点，且使△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数为________．

(第14题)　　 (第15题)

　　

(第16题)

15．“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，其中C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是________．

16．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．

三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(8分)如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．

18．(8分)如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

19．(8分)如图，AB⊥CD于点B，CF交AB于点E，CE＝AD，BE＝BD.

(1)求证：△CBE≌△ABD；

(2)求证：CF⊥AD；

(3)当∠C＝30°，CE＝8时，直接写出线段AE，CF的长度．

20．(8分)《淮南子·天文训》中记载了一种能够确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位)，在点B处立一根杆，日落时，在地面上沿着点B处杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆，取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．

(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D(保留作图痕迹)；

(2)在上图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在△ABC中，∵BA＝__________，D是CA的中点，

∴DB⊥CA(______________________)(填推理的依据)．

∵直线DB表示的方向为东西方向，

∴直线CA表示的方向为南北方向．

21．(10分)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16 cm，BC＝12 cm，AC＝20 cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为1 cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为2 cm/s，P，Q两点同时出发，设运动时间为t s.

(1)BP＝________(用含t的代数式表示)．

(2)当点Q在边BC上运动时，经过几秒后，△PQB是等腰三角形？

(3)当点Q在边CA上运动时，经过________s后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？

22．(10分)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点D为BC的中点．

(1)如图①，若E，F分别为边AB，AC上的点，且DE⊥DF，试探究BE和AF之间的数量关系，并说明四边形AEDF的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由；

(2)如果E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE和AF之间的数量关系是什么？请利用图②说明理由．

答案

一、1.B　2.C　3.D　4.C　5.A　6.D　7.B　8. D

9. B　思路点睛：延长ED交AC于F，先根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝27°，再根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝27°，最后由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．

10．B

二、11.两个锐角互余的三角形是直角三角形；真

12．2　13.50°　14. 8　15.50°

16．4 　点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，交AD于点M，易知此时EM＋CM的值最小，最小值为线段CE′的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.

∵△ABC是等边三角形，

∴AF＝AB＝6，

∴CF＝＝6 ，E′F＝AF－AE′＝2，

∴CE′＝＝4 .

三、17.解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝6.

∵BD是∠ABC的平分线，

∴CD＝AD＝AC＝×6＝3.

∵CE＝CD，∴CE＝3，∴BE＝BC＋CE＝6＋3＝9.

18. (1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

∵BE，CD是△ABC的两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.

又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB，

∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．

(2)解：点O在∠BAC的平分线上．

理由：由(1)知△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.

∵OB＝OC，∴OD＝OE.

又∵OD⊥AB，OE⊥AC，

∴点O在∠BAC的平分线上．

19. (1)证明：∵AB⊥CD，∴∠CBE＝∠ABD＝90°.

在Rt△CBE和Rt△ABD中，

∴Rt△CBE≌Rt△ABD (HL)．

(2)证明：∵Rt△CBE≌Rt△ABD，∴∠C＝∠A.

又∵∠AEF＝∠CEB，

∴易得∠AFE＝∠CBE＝90°，∴CF⊥AD.

(3)解：AE＝4 －4，CF＝6＋2 .

20. 解：(1)如图，点D即为所求作．

(2)BC；等腰三角形的底边上的中线及底边上的高线互相重合

21. 解：(1)(16－t)cm

(2)当点Q在边BC上运动，且△PQB是等腰三角形时，有BP＝BQ，

即16－t＝2t，解得t＝，

∴当点Q在边BC上运动时，经过 s后，△PQB是等腰三角形．

(3)11或12　点拨：①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时，CQ＝BQ，如图①所示，则∠C＝∠CBQ.

∵∠ABC＝90°，

∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°，

∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，

∴CQ＝AQ＝10 cm，∴BC＋CQ＝22 cm，

∴t＝22÷2＝11；

　　

②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时，QC＝BC＝12 cm，如图②所示，则BC＋CQ＝24 cm，∴t＝24÷2＝12.

22. 解：(1)BE＝AF，四边形AEDF的面积为定值．

理由：如图①，连接AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.

∵点D为BC的中点，

∴AD＝BC＝BD，∠FAD＝∠BAC＝45°，AD⊥BC.

∴∠BDE＋∠EDA＝90°，

∵DE⊥DF，∴∠EDA＋∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF.

在△BDE和△ADF中，

∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE＝AF，S_△ADF＝S_△BDE，

∴S_{四边形AEDF}＝S_△ADE＋S_△ADF＝S_△ADE＋S_△BDE＝S_△ABD＝××4×4＝4，

∴四边形AEDF的面积是定值，定值为4.

　　

(2)BE＝AF.理由：连接AD，如图②.

由(1)可知∠ABD＝∠CAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.

∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，

∴∠EDB＝∠FDA.

在△EDB和△FDA中，

∴△EDB≌△FDA(ASA)，∴BE＝AF.