第四章学情评估
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．x2－6x＋9＝(x－3)2
B．(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3
C．x2－9＋6x＝(x＋3)(x－3)＋6x
D．6ab＝2a·3b
2．下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a－1 B．a2＋1
C．x2－4y D．x2－4x＋4
3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－10x＋25
4．若将多项式x2＋mx－35分解因式为(x－7)(x＋5)，则m的值是( )
A．2 B．－2
C．12 D．－12
5．一次课堂练习中，小红同学做了如下4道因式分解题，你认为小红做得不够完整的一题是( )
A．a3－a＝a(a2－1)
B．m2－2mn＋n2＝(m－n)2
C．x2y－xy2＝xy(x－y)
D．x2－y2＝(x－y)(x＋y)
6．下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax)
B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2
D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)2
7．22 024－22 025的值是( )
A. B．－
C．－22 024 D．2
8．小明是一个密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条消息：a－b，m－n，8，a＋b，a2＋b2，m分别对应下列六个字：福，建，我，爱，学，校．现将8m(a2－b2)－8n(a2－b2)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱福建 B．爱福建 C．我爱学校 D．爱学校
9．已知a，b，c为三角形的三条边长，设m＝(a－b)2－c2，则m的值满足( )
A．m＜0 B．m＞0 C．m＝0 D．m＞0或m＜0
10．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
二、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分)
11．分解因式：x2＋x＝____________．
12．多项式ax2－4a与多项式x2－4x＋4的公因式是__________________．
13．若关于x的二次三项式x2＋ax＋是完全平方式，则a的值是________．
14．若x＋y＝2，xy＝－1，则x2y＋xy2＝____________．
15．已知a，b满足|a＋2|＋＝0，分解因式：(x2＋y2)－(axy＋b)＝__________________．
16．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形拼成一个大正方形(如图所示)，可得到一个因式分解的公式：______________________．
三、解答题(本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(8分)把下列各式因式分解：
(1)a3b＋2a2b2＋ab3；
(2)(x2＋4)2－16x2.
18．(8分)下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：(3x＋y)2－(x＋3y)2.
解：原式＝(3x＋y＋x＋3y)(3x＋y－x－3y)……第一步
＝(4x＋4y)(2x－2y)……第二步
＝8(x＋y)(x－y)……第三步
＝8(x2－y2)．……第四步
任务一：以上过程中，第一步依据的公式用字母a，b表示为________________________；
任务二：①以上过程中，第________步出现错误，错误原因为____________；
②直接写出因式分解的正确结果．
19．(8分)已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2＋b2－4a－6b＋13＝0，求这个等腰三角形的周长．
20．(8分)阅读下列材料：
因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，
则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
请你利用整体思想的方法解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝________________；
(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
21．(10分)如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长为b cm的小正方形，5块是长为a cm，宽为b cm的小长方形，且a>b.
(1)观察图形，可以发现代数式2a2＋5ab＋2b2可以因式分解为______________；
(2)若图中阴影部分的面积为242 cm2，大长方形纸板的周长为78 cm，求图中空白部分的面积．
22．(10分)阅读与思考
-
给出下面五个等式：
32－12＝8＝8×1，
52－32＝16＝8×2，
72－52＝24＝8×3，
92－72＝32＝8×4，
112－92＝40＝8×5.
通过观察，可以得到结论：两个连续奇数的平方差一定能被8整除．
证明过程如下：
设这两个连续奇数分别为2n－1，2n＋1(n为正整数)，
则(2n＋1)2－(2n－1)2
＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)(依据：__________________________________________________________)
＝4n×2
＝8n.
∵n为正整数，
∴8n一定能被8整除，
即两个连续奇数的平方差一定能被8整除．
(1)任务一：填空：上面的“依据”是指______________(用含字母a，b的式子表示)；
(2)任务二：事实上，任意两个奇数的平方差也一定是8的倍数．请你给予证明；(提示：设这两个奇数分别为2m＋1，2n＋1(m，n均为整数，且m≠n))
(3)任务三：任意两个连续偶数的平方差也一定是8的倍数吗？如果是，请你给予证明；如果不是，请写出你认为正确的结论．
答案
一、1.A 2.D 3.D 4.B 5.A 6. D 7. C 8.A 9.A
10．D 点拨：∵a2c2－b2c2＝a4－b4，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴(a＋b)(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∵a＋b>0，∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，即△ABC是等腰三角形或直角三角形．
二、11.x(x＋1) 12.x－2 13.±1 14.－2
15. (x＋y＋2)(x＋y－2) 16. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
三、17.解：(1)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
(2)原式＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)＝(x＋2)2(x－2)2.
18. 解：任务一：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
任务二：①四；进行乘法运算的过程多余
②8(x＋y)(x－y)．
19. 解：∵a2＋b2－4a－6b＋13＝a2－4a＋4＋b2－6b＋9＝(a－2)2＋(b－3)2＝0，
∴a＝2，b＝3.当腰长为2时，则底边长为3，周长为2＋2＋3＝7；当腰长为3时，则底边长为2，周长为3＋3＋2＝8，∴这个等腰三角形的周长为7或8.
20. (1)(x－y＋1)2
(2)解：令a＋b＝B，
则原式＝B(B－4)＋4＝B2－4B＋4＝(B－2)2，
∴(a＋b)(a＋b－4)＋4＝(a＋b－2)2.
(3)证明：(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋2)(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2.
∵n为正整数，∴n2＋3n＋1也为正整数，
∴式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
21. 解：(1)(a＋2b)(2a＋b)
(2)由题意得化简得
∵(a＋b)2－2ab＝a2＋b2，∴132－2ab＝121，∴ab＝24，
∴5ab＝120，∴空白部分的面积为120 cm2.
22. (1)a2－b2＝(a＋b)(a－b)
(2)证明：设这两个奇数分别为2m＋1，2n＋1(m，n均为整数，且m≠n)．
(2m＋1)2－(2n＋1)2
＝(2m＋1＋2n＋1)(2m＋1－2n－1)
＝(2m＋2n＋2)(2m－2n)
＝4(m＋n＋1)(m－n)．
∵m，n为整数，且m≠n，
∴m－n和m＋n＋1中必有一个奇数和一个偶数，
∴(m－n)(m＋n＋1)一定是偶数，
∴4(m＋n＋1)(m－n)一定能被8整除，
即任意两个奇数的平方差一定是8的倍数．
(3)解：不是．任意两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．